В геометрии и кристаллографии решетка Браве , названная в честь Огюста Браве (1850), [1] представляет собой бесконечный массив дискретных точек, созданный набором дискретных операций трансляции, описываемых в трехмерном пространстве формулой
где n i — любые целые числа, а a i — примитивные векторы трансляции или примитивные векторы , которые лежат в разных направлениях (не обязательно взаимно перпендикулярных) и охватывают решетку. Выбор примитивных векторов для данной решетки Браве не является уникальным. Фундаментальным аспектом любой решетки Браве является то, что для любого выбора направления решетка выглядит точно так же из каждой из дискретных точек решетки, если смотреть в этом выбранном направлении.
Концепция решетки Бравэ используется для формального определения кристаллического расположения и его (конечных) границ. Кристалл состоит из одного или нескольких атомов, называемых базисом или мотивом , в каждой точке решетки. Базис может состоять из атомов , молекул или полимерных цепочек твердого вещества , а решетка обеспечивает расположение базиса.
Две решетки Браве часто считаются эквивалентными, если они имеют изоморфные группы симметрии . В этом смысле существует 5 возможных решеток Браве в 2-мерном пространстве и 14 возможных решеток Браве в 3-мерном пространстве. 14 возможных групп симметрии решеток Браве — это 14 из 230 пространственных групп . В контексте классификации пространственных групп решетки Браве также называются классами Браве, арифметическими классами Браве или стаями Браве. [2]
В кристаллографии существует понятие элементарной ячейки, которая охватывает пространство между соседними точками решетки, а также любые атомы в этом пространстве. Элементарная ячейка определяется как пространство, которое при трансляции через подмножество всех векторов, описанных , заполняет пространство решетки без перекрытия или пустот. (То есть, пространство решетки является кратным элементарной ячейки.) [3]
В основном существует два типа элементарных ячеек: примитивные элементарные ячейки и обычные элементарные ячейки. Примитивная ячейка — это наименьший компонент решетки (или кристалла), который, будучи сложенным вместе с операциями трансляции решетки, воспроизводит всю решетку (или кристалл). [4] Обратите внимание, что трансляции должны быть операциями трансляции решетки, которые заставляют решетку выглядеть неизменной после трансляции. Если бы были разрешены произвольные трансляции, можно было бы сделать примитивную ячейку в два раза меньше истинной и транслировать в два раза чаще, например.
Другой способ определения размера примитивной ячейки, который избегает вызова операций трансляции решетки, состоит в том, чтобы сказать, что примитивная ячейка — это наименьший возможный компонент решетки (или кристалла), который может быть повторен для воспроизведения всей решетки (или кристалла) и который содержит ровно одну точку решетки. В любом определении примитивная ячейка характеризуется своим малым размером.
Очевидно, что существует множество вариантов ячеек, которые могут воспроизвести всю решетку при наложении друг на друга (например, две половинки решетки), и минимальное требование к размеру отличает примитивную ячейку от всех этих других допустимых повторяющихся единиц. Если решетка или кристалл двумерны, примитивная ячейка имеет минимальную площадь; аналогично в трехмерном пространстве примитивная ячейка имеет минимальный объем.
Несмотря на это жесткое требование минимального размера, не существует единственного выбора примитивной элементарной ячейки. Фактически, все ячейки, границы которых являются примитивными векторами трансляции, будут примитивными элементарными ячейками. Тот факт, что не существует единственного выбора примитивных векторов трансляции для данной решетки, приводит к множественности возможных примитивных элементарных ячеек. Обычные элементарные ячейки, с другой стороны, не обязательно являются ячейками минимального размера. Они выбираются исключительно для удобства и часто используются в целях иллюстрации. Они определены свободно.
Примитивные элементарные ячейки определяются как элементарные ячейки с наименьшим объемом для данного кристалла. (Кристалл — это решетка и базис в каждой точке решетки.) Чтобы иметь наименьший объем ячейки, примитивная элементарная ячейка должна содержать (1) только одну точку решетки и (2) минимальное количество базисных компонентов (например, минимальное количество атомов в базисе). Для первого требования подсчет количества точек решетки в элементарной ячейке таков, что если точка решетки является общей для m соседних элементарных ячеек вокруг этой точки решетки, то точка считается как 1/ m . Последнее требование необходимо, поскольку существуют кристаллы, которые можно описать более чем одной комбинацией решетки и базиса. Например, кристалл, рассматриваемый как решетка с одним видом атома, расположенным в каждой точке решетки (простейшая форма базиса), может также рассматриваться как решетка с базисом из двух атомов. В этом случае примитивная элементарная ячейка — это элементарная ячейка, имеющая только одну точку решетки в первом способе описания кристалла, чтобы обеспечить наименьший объем элементарной ячейки.
Может быть более одного способа выбрать примитивную ячейку для данного кристалла, и каждый выбор будет иметь различную примитивную форму ячейки, но примитивный объем ячейки одинаков для каждого выбора, и каждый выбор будет обладать свойством, что может быть установлено однозначное соответствие между примитивными элементарными ячейками и дискретными точками решетки по связанной решетке. Все примитивные элементарные ячейки с различными формами для данного кристалла имеют одинаковый объем по определению; Для данного кристалла, если n - плотность точек решетки в решетке, обеспечивающая минимальное количество базисных компонентов, а v - объем выбранной примитивной ячейки, то nv = 1, в результате чего v = 1/ n , поэтому каждая примитивная ячейка имеет одинаковый объем 1/ n . [3]
Среди всех возможных примитивных ячеек для данного кристалла очевидной примитивной ячейкой может быть параллелепипед , образованный выбранным набором примитивных векторов трансляции. (Опять же, эти векторы должны составлять решетку с минимальным количеством базисных составляющих.) [3] То есть, набор всех точек , где и является выбранным примитивным вектором. Эта примитивная ячейка не всегда показывает четкую симметрию данного кристалла. В этом случае часто используется условная элементарная ячейка, легко отображающая симметрию кристалла. Условный объем элементарной ячейки будет целым кратным объема примитивной элементарной ячейки.
В двух измерениях любая решетка может быть определена длиной ее двух примитивных векторов трансляции и углом между ними. Существует бесконечное количество возможных решеток, которые можно описать таким образом. Желателен какой-то способ категоризации различных типов решеток. Один из способов сделать это — признать, что некоторые решетки обладают внутренней симметрией. Можно наложить условия на длину примитивных векторов трансляции и на угол между ними, чтобы получить различные симметричные решетки. Эти симметрии сами по себе подразделяются на различные типы, такие как точечные группы (которые включают зеркальные симметрии, инверсионные симметрии и симметрии вращения) и трансляционные симметрии. Таким образом, решетки можно классифицировать на основе того, какая точечная группа или трансляционная симметрия к ним применяется.
В двух измерениях самая базовая точечная группа соответствует вращательной инвариантности относительно 2π и π, или 1- и 2-кратной вращательной симметрии. Это фактически автоматически применяется ко всем 2D-решеткам и является самой общей точечной группой. Решетки, содержащиеся в этой группе (технически все решетки, но традиционно все решетки, которые не попадают ни в одну из других точечных групп), называются косыми решетками. Отсюда следует 4 дополнительных комбинации точечных групп с трансляционными элементами (или, что эквивалентно, 4 типа ограничений на длины/углы примитивных векторов трансляции), которые соответствуют 4 оставшимся категориям решеток: квадратная, шестиугольная, прямоугольная и центрированная прямоугольная. Таким образом, всего существует 5 решеток Браве в 2 измерениях.
Аналогично, в 3 измерениях существует 14 решеток Браве: 1 общая категория «мусорной корзины» (триклинная) и еще 13 категорий. Эти 14 типов решеток классифицируются по их точечным группам в 7 систем решеток (триклинная, моноклинная, орторомбическая, тетрагональная, кубическая, ромбоэдрическая и гексагональная).
В двумерном пространстве существует 5 решеток Бравэ, [5], сгруппированных в четыре решеточные системы , показанные в таблице ниже. Под каждой диаграммой находится символ Пирсона для этой решетки Бравэ.
Примечание: На диаграммах элементарных ячеек в следующей таблице узлы решетки изображены с помощью черных кружков, а элементарные ячейки изображены с помощью параллелограммов (которые могут быть квадратами или прямоугольниками), обведенных черным. Хотя каждый из четырех углов каждого параллелограмма соединен с узлом решетки, технически только один из четырех узлов решетки принадлежит данной элементарной ячейке, а каждый из трех других узлов решетки принадлежит одной из соседних элементарных ячеек. Это можно увидеть, представив, что параллелограмм элементарной ячейки перемещается немного влево и немного вниз, при этом все черные кружки узлов решетки остаются неподвижными.
Элементарные ячейки определяются в соответствии с относительными длинами ребер ячейки ( a и b ) и углом между ними ( θ ). Площадь элементарной ячейки может быть рассчитана путем оценки нормы ‖ a × b ‖ , где a и b — векторы решетки. Свойства решетчатых систем приведены ниже:
В трехмерном пространстве существует 14 решеток Браве. Они получаются путем объединения одной из семи систем решеток с одним из типов центрирования. Типы центрирования определяют расположение точек решетки в элементарной ячейке следующим образом:
Не все комбинации систем решеток и типов центрирования необходимы для описания всех возможных решеток, поскольку можно показать, что некоторые из них фактически эквивалентны друг другу. Например, моноклинная решетка I может быть описана моноклинной решеткой C с помощью различного выбора кристаллических осей. Аналогично, все решетки с A- или B-центрированием могут быть описаны либо с помощью C-, либо с помощью P-центрирования. Это сокращает количество комбинаций до 14 обычных решеток Браве, показанных в таблице ниже. [6] : 744 Под каждой диаграммой приведен символ Пирсона для этой решетки Браве.
Примечание: На диаграммах элементарных ячеек в следующей таблице показаны все точки решетки на границе ячейки (углы и грани); однако не все эти точки решетки технически принадлежат данной элементарной ячейке. Это можно увидеть, представив себе небольшое перемещение элементарной ячейки в отрицательном направлении каждой оси, при этом сохраняя фиксированными точки решетки. Грубо говоря, это можно представить как перемещение элементарной ячейки немного влево, немного вниз и немного за пределы экрана. Это показывает, что только одна из восьми угловых точек решетки (а именно передняя, левая, нижняя) принадлежит данной элементарной ячейке (остальные семь точек решетки принадлежат соседним элементарным ячейкам). Кроме того, только одна из двух точек решетки, показанных на верхней и нижней грани в столбце Base-centered, принадлежит данной элементарной ячейке. Наконец, только три из шести точек решетки на гранях в столбце Face-centered принадлежат данной элементарной ячейке.
Элементарные ячейки определяются в соответствии с шестью параметрами решетки , которые являются относительными длинами ребер ячейки ( a , b , c ) и углами между ними ( α , β , γ ), где α — угол между b и c , β — угол между a и c , а γ — угол между a и b . Объем элементарной ячейки можно вычислить, оценив тройное произведение a · ( b × c ) , где a , b и c — векторы решетки. Свойства решетчатых систем приведены ниже:
Некоторая базовая информация о системах решеток и решетках Бравэ в трех измерениях обобщена на диаграмме в начале этой страницы. Семисторонний многоугольник (гептагон) и число 7 в центре обозначают семь систем решеток. Внутренние семиугольники обозначают углы решетки, параметры решетки, решетки Бравэ и обозначения Шенфлиса для соответствующих систем решеток.
В четырех измерениях существует 64 решетки Браве. Из них 23 примитивные и 41 центрированная. Десять решеток Браве разбиты на энантиоморфные пары. [7]
