Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.

Математический тест по теории систем управления

В теории систем управления критерий устойчивости Рауса-Гурвица представляет собой математический тест, который является необходимым и достаточным условием устойчивости линейной нестационарной ( ЛТИ) динамической системы или системы управления . Стабильная система — это система, выходной сигнал которой ограничен; положение, скорость или энергия не увеличиваются до бесконечности с течением времени. Тест Рауса — это эффективный рекурсивный алгоритм, который английский математик Эдвард Джон Раут предложил в 1876 году для определения того, все ли корни характеристического многочлена линейной системы имеют отрицательные действительные части. ^[1] Немецкий математик Адольф Гурвиц независимо предложил в 1895 году расположить коэффициенты многочлена в квадратную матрицу, называемую матрицей Гурвица , и показал, что многочлен стабилен тогда и только тогда, когда все последовательности определителей его главных подматриц положительны. . ^[2] Эти две процедуры эквивалентны: тест Рауса обеспечивает более эффективный способ вычисления определителей Гурвица ( ), чем их непосредственное вычисление. Полином, удовлетворяющий критерию Рауса–Гурвица, называется полиномом Гурвица . ${\displaystyle \Delta _{i}}$

Важность критерия состоит в том, что корни ^p характеристического уравнения линейной системы с отрицательными вещественными частями представляют собой устойчивые ( ограниченные ) решения ept системы . Таким образом, критерий позволяет определить, имеют ли уравнения движения линейной системы только устойчивые решения, не решая систему напрямую. Для дискретных систем соответствующий тест устойчивости можно выполнить с помощью критерия Шура – ​​Кона, теста Жюри и теста Бистрица . С появлением компьютеров этот критерий стал использоваться менее широко, поскольку альтернативой является численное решение полинома с непосредственным получением приближений к корням.

Тест Рауса можно получить с помощью алгоритма Евклида и теоремы Штурма при оценке индексов Коши . Гурвиц вывел свои условия иначе. ^[3]

Используя алгоритм Евклида

Критерий связан с теоремой Рауса–Гурвица . Из утверждения этой теоремы имеем где: ${\displaystyle p-q=w(+\infty )-w(-\infty )}$

• ${\displaystyle p}$– количество корней многочлена с отрицательной вещественной частью; ${\displaystyle f(z)}$
• ${\displaystyle q}$– число корней многочлена с положительной вещественной частью (согласно теореме предполагается, что он не имеет корней, лежащих на мнимой прямой); ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f}$
• w ( x ) — число вариаций обобщенной цепочки Штурма, полученной из и (последовательными евклидовыми делениями ), где для действительного y . ${\displaystyle P_{0}(y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$ ${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$

По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n должен иметь n корней в комплексной плоскости (т.е. для ƒ без корней на мнимой прямой p  +  q  =  n ). Таким образом, мы имеем условие, что ƒ является (Гурвиц) устойчивым полиномом тогда и только тогда, когда p  −  q  =  n (доказательство приведено ниже). Используя теорему Рауса–Гурвица, мы можем заменить условие на p и q условием на обобщенную цепочку Штурма, что, в свою очередь, даст условие на коэффициенты  ƒ .

Использование матриц

Пусть f ( z ) — комплексный полином. Процесс выглядит следующим образом:

1. Вычислите многочлены и такие, что где y — действительное число. ${\displaystyle P_{0}(y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$ ${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$
2. Вычислите матрицу Сильвестра, связанную с и . ${\displaystyle P_{0}(y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$
3. Переставьте каждую строку так, чтобы в нечетной строке и следующей за ней было одинаковое количество ведущих нулей.
4. Вычислите каждый главный минор этой матрицы.
5. Если хотя бы один из миноров отрицателен (или равен нулю), то многочлен f неустойчив.

Пример

• Пусть (для простоты мы берем вещественные коэффициенты) где (чтобы избежать корня из нуля и можно было использовать теорему Рауса–Гурвица). Сначала нам нужно вычислить действительные полиномы и : ${\displaystyle f(z)=az^{2}+bz+c}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle P_{0}(y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$

${\displaystyle f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by).}$

Затем мы разделим эти полиномы, чтобы получить обобщенную цепочку Штурма:

• ${\displaystyle P_{0}(y)=((-a/b)y)P_{1}(y)+c,}$урожайность ${\displaystyle P_{2}(y)=-c,}$
• ${\displaystyle P_{1}(y)=((-b/c)y)P_{2}(y),}$дает результат , и евклидово деление прекращается. ${\displaystyle P_{3}(y)=0}$

Обратите внимание, что нам пришлось предположить, что b отличается от нуля в первом делении. Обобщенная цепь Штурма в этом случае . Положим , знак является противоположным знаку а , а знак by является знаком b . Когда мы положим , знак первого элемента цепочки снова будет противоположным знаку a , а знак by будет противоположным знаку b . Наконец, -c всегда имеет знак, противоположный c . ${\displaystyle (P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)}$ ${\displaystyle y=+\infty }$ ${\displaystyle (c-ay^{2})}$ ${\displaystyle (y=-\infty )}$

Предположим теперь, что f устойчива по Гурвицу. Это означает, что (степень f ). По свойствам функции w это то же самое, что и . Таким образом, a , b и c должны иметь одинаковый знак. Таким образом, мы нашли необходимое условие устойчивости многочленов степени 2. ${\displaystyle w(+\infty )-w(-\infty )=2}$ ${\displaystyle w(+\infty )=2}$ ${\displaystyle w(-\infty )=0}$

Критерий Рауса–Гурвица для полиномов второго, третьего и четвертого порядка.

• Для полинома второго порядка все коэффициенты должны быть положительными, где для . ${\displaystyle P(s)=a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle (i=0,1,2)}$
• Для полинома третьего порядка все коэффициенты должны быть положительными, где для , и . ${\displaystyle P(s)=a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle (i=0,1,2,3)}$ ${\displaystyle a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0}$
• Для полинома четвертого порядка все коэффициенты должны быть положительными, где для , и ^[4] (Когда это выводится, вы не знаете, что все коэффициенты должны быть положительными, и вы добавляете .) ${\displaystyle P(s)=a_{4}s^{4}+a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle (i=0,1,2,3,4)}$ ${\displaystyle a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0}$ ${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}-a_{4}a_{1}^{2}-a_{3}^{2}a_{0}>0}$ ${\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{1}}$
• В общем, критерий устойчивости Рауса утверждает, что полином имеет все корни в открытой левой полуплоскости тогда и только тогда, когда все элементы первого столбца массива Рауса имеют одинаковый знак.
• Наличие всех положительных (или всех отрицательных) коэффициентов необходимо для того, чтобы все корни располагались в открытой левой полуплоскости. Вот почему здесь зафиксировано значение 1, которое является положительным. Когда это предполагается, мы можем удалить полином четвертого порядка и упростить условия для пятого и шестого порядка. Для пятого порядка нам нужно только проверить это, а для шестого порядка нам нужно только проверить , и это дополнительно оптимизируется с помощью критерия Льенара – Шипарта . ^[5] Действительно, некоторые положительные коэффициенты не являются независимыми, а главные миноры являются положительными, например, проверку можно удалить для полинома третьего порядка. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{1}}$ ${\displaystyle \Delta _{2}>0,\Delta _{4}>0}$ ${\displaystyle \Delta _{3}>0,\Delta _{5}>0}$ ${\displaystyle a_{2}>0}$

Пример высшего порядка

Табличный метод можно использовать для определения устойчивости, когда корни характеристического полинома более высокого порядка получить трудно. Для полинома n -й степени

• ${\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}$

таблица имеет n  + 1 строк и имеет следующую структуру:

где элементы и можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

• ${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_{n-1}}}.}$
• ${\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.}$

По завершении количество смен знаков в первом столбце будет равно количеству неотрицательных корней.

В первом столбце есть две смены знака (0,75 → −3 и −3 → 3), таким образом, есть два неотрицательных корня, в которых система неустойчива.

Характеристическое уравнение следящей системы имеет вид: ^[6]

• ${\displaystyle b_{0}s^{4}+b_{1}s^{3}+b_{2}s^{2}+b_{3}s+b_{4}=0}$

для стабильности все элементы первого столбца массива Рауса должны быть положительными. Итак, условия, которым должна удовлетворяться устойчивость данной системы, следующие: ^[6]

${\displaystyle b_{1}>0,b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0,(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}>0,b_{4}>0}$^[6]

Мы видим, что если

${\displaystyle (b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}\geq 0}$

затем

${\displaystyle b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0}$

Доволен.

• ${\displaystyle s^{4}+6s^{3}+11s^{2}+6s+200=0}$^[7]

У нас есть следующая таблица:

есть две смены знаков. Система неустойчива, так как имеет два полюса в правой полуплоскости и два полюса в левой полуплоскости. Система не может иметь jω полюсов, так как в таблице Рауса не появился ряд нулей. ^[7]

Иногда наличие полюсов на воображаемой оси создает ситуацию предельной устойчивости. В этом случае коэффициенты «массива Рауса» во всей строке становятся равными нулю и дальнейшее решение многочлена для нахождения изменения знака невозможно. Тогда в игру вступает другой подход. Строка полинома, которая находится чуть выше строки, содержащей нули, называется «вспомогательным полиномом».

• ${\displaystyle s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,}$

У нас есть следующая таблица:

В таком случае вспомогательный многочлен снова равен нулю. Следующим шагом является дифференцирование приведенного выше уравнения, которое дает полином . Коэффициенты строки, содержащей ноль, теперь становятся «8» и «24». Процесс массива Рауса продолжается с использованием этих значений, которые дают две точки на мнимой оси. Эти две точки на воображаемой оси являются основной причиной предельной устойчивости. ^[8] ${\displaystyle A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16\,}$ ${\displaystyle B(s)=8s^{3}+24s^{1}}$

Смотрите также

• Техника управления
• Получение массива Рауса
• Критерий устойчивости Найквиста
• Теорема Рауса – Гурвица
• Корневой локус
• Функция передачи
• Критерий Льенара – Шипарта (вариант, требующий меньшего количества вычислений)
• Теорема Харитонова (вариант для неизвестных коэффициентов, ограниченных интервалами)
• Критерий устойчивости Жюри (аналог для систем LTI с дискретным временем)
• Критерий устойчивости Бистрица (аналог для систем LTI с дискретным временем)

Рекомендации

1. Раут, Э.Дж. (1877). Трактат об устойчивости данного состояния движения: особо устойчивое движение. Макмиллан.
2. Гурвиц, А. (1895). «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negentn reellen Theilen besitzt». Математика. Анна. 46 (2): 273–284. дои : 10.1007/BF01446812. S2CID  121036103. (Английский перевод «Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными действительными частями», сделанный Х.Г. Бергманном в « Избранных статьях о математических тенденциях в теории управления», ред. Р. Беллмана и Р. Калабы. Нью-Йорк: Дувр, 1964, стр. 70– 82.)
3. Гопал, М. (2002). Системы управления: принципы и конструкция, 2-е изд. Тата МакГроу-Хилл Образование. п. 14. ISBN 0070482896.
4. «Критерий Рауса-Гурвица». math24.net . Проверено 19 июля 2022 г.
5. «Инструменты анализа устойчивости» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 января 2015 г. Проверено 19 июля 2022 г.
6. КУМАР, Ананд (2007). СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ . Обучение PHI. ISBN 9788120331976.
7. Найз, Норман (2015). Инженерия систем управления . Уайли. ISBN 9781118800829.
8. Саид, Саид Хасан (2008). Системы автоматического управления . Дели: Издательство Katson. стр. 206, 207. ISBN. 978-81-906919-2-5.

• Феликс Гантмахер (переводчик Дж. Л. Бреннера) (1959). Приложения теории матриц , стр. 177–80, Нью-Йорк: Interscience.
• Пиппард, AB; Дике, Р.Х. (1986). «Отклик и стабильность, введение в физическую теорию». Американский журнал физики . 54 (11): 1052. Бибкод : 1986AmJPh..54.1052P. дои : 10.1119/1.14826. Архивировано из оригинала 14 мая 2016 г. Проверено 7 мая 2008 г.
• Ричард К. Дорф , Роберт Х. Бишоп (2001). Современные системы управления (9-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-030660-6.
• Рахман, QI; Шмайссер, Г. (2002). Аналитическая теория полиномов . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 26. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853493-0. Збл  1072.30006.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Рауса-Гурвица». MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
• Стивен Барнетт (1983). Полиномы и линейные системы управления , Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc.

Внешние ссылки

• Сценарий MATLAB, реализующий тест Рауса-Гурвица.
• Онлайн-реализация критерия Рауса-Гурвица