критерий Лоусона

Критерий зажигания цепной реакции ядерного синтеза

Критерий Лоусона для важных экспериментов по термоядерному синтезу с магнитным удержанием

Критерий Лоусона — это показатель качества, используемый в исследованиях ядерного синтеза . Он сравнивает скорость выработки энергии в реакциях синтеза в термоядерном топливе со скоростью потерь энергии в окружающую среду. Когда скорость производства выше скорости потерь, система будет производить чистую энергию. Если достаточное количество этой энергии будет захвачено топливом, система станет самоподдерживающейся и, как говорят, воспламенится .

Эта концепция была впервые разработана Джоном Д. Лоусоном в секретной статье 1955 года ^[1] , которая была рассекречена и опубликована в 1957 году. ^[2] В первоначальной формулировке критерий Лоусона дает минимальное требуемое значение для произведения плотности плазмы (электронов) n _e и « времени удержания энергии » , которое приводит к чистому выходу энергии. ${\displaystyle \tau _{E}}$

Более поздний анализ показал, что более полезным показателем качества является тройное произведение плотности, времени удержания и температуры плазмы T. Тройное произведение также имеет минимально необходимое значение, и название «критерий Лоусона» может относиться к этому значению.

8 августа 2021 года исследователи из Национального центра зажигания Национальной лаборатории Лоуренса в Ливерморе в Калифорнии подтвердили, что осуществили первое в истории успешное зажигание реакции ядерного синтеза, превзойдя критерии Лоусона в эксперименте. ^{[3] [4]}

Энергетический баланс

Центральная концепция критерия Лоусона — это рассмотрение энергетического баланса для любой термоядерной электростанции, использующей горячую плазму. Это показано ниже:

Чистая мощность = Эффективность × (Синтез − Потери на излучение − Потери на проводимость)

1. Чистая мощность — это избыточная мощность сверх той, которая необходима для осуществления процесса на любой термоядерной электростанции.
2. Эффективность — это количество энергии, необходимое для работы устройства, и то, насколько хорошо оно собирает энергию реакций.
3. Синтез — это скорость выработки энергии в результате реакций синтеза.
4. Потери на излучение – это потери энергии, возникающие при выходе света (включая рентгеновские лучи ) из плазмы.
5. Потери проводимости — это потери энергии, возникающие при выходе частиц из плазмы, уносящих с собой энергию.

Лоусон рассчитал скорость синтеза, предположив, что термоядерный реактор содержит горячее плазменное облако, которое имеет гауссову кривую энергий отдельных частиц, распределение Максвелла-Больцмана, характеризующееся температурой плазмы. Основываясь на этом предположении, он оценил первый член, производимую термоядерную энергию, используя объемное уравнение термоядерного синтеза. ^[5]

Синтез = Плотность топлива A × Плотность топлива B × Поперечное сечение (температура) × Энергия на реакцию

1. Термоядерный синтез — это скорость термоядерной энергии, вырабатываемой плазмой.
2. Плотность числа — это плотность частиц на единицу объема соответствующего топлива (или только одного топлива, в некоторых случаях).
3. Поперечное сечение — это мера вероятности события термоядерного синтеза, которая основана на температуре плазмы.
4. Энергия на реакцию — это энергия, выделяемая в каждой реакции синтеза.

Это уравнение обычно усредняется по популяции ионов, имеющих нормальное распределение . Результатом является количество энергии, создаваемое плазмой в любой момент времени.

Затем Лоусон оценил ^[5] потери излучения, используя следующее уравнение:

${\displaystyle P_{B}=1.4\cdot 10^{-34}\cdot N^{2}\cdot T^{1/2}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {cm} ^{3}}}}$

где N — плотность облака, а T — температура. В своем анализе Лоусон игнорирует потери на проводимость. В действительности это почти невозможно; практически все системы теряют энергию за счет массы, покидающей плазму и уносящей ее энергию.

Приравнивая потери на излучение и объемные скорости синтеза, Лоусон оценил минимальную температуру синтеза для реакции дейтерия и трития (DT).

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{3}\mathrm {T} \rightarrow \,_{2}^{4}\mathrm {He} \left(3.5\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{0}^{1}\mathrm {n} \left(14.1\,\mathrm {MeV} \right)}$

быть 30 миллионов градусов (2,6 кэВ), а для реакции дейтерий-дейтерий (DD)

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{2}\mathrm {D} \rightarrow \,_{1}^{3}\mathrm {T} \left(1.0\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{1}^{1}\mathrm {p} \left(3.0\,\mathrm {MeV} \right)}$

быть 150 миллионов градусов (12,9 кэВ). ^{[2] [6]}

Расширения внτЭ

Время удержания измеряет скорость, с которой система теряет энергию в окружающую среду. Чем выше скорость потери энергии, тем короче время удержания энергии. Это плотность энергии (содержание энергии на единицу объема), деленная на плотность потери мощности (скорость потери энергии на единицу объема): ${\displaystyle \tau _{E}}$ ${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$

${\displaystyle \tau _{E}={\frac {W}{P_{\mathrm {loss} }}}}$

Для работы термоядерного реактора в устойчивом состоянии необходимо поддерживать постоянную температуру термоядерной плазмы. Поэтому тепловая энергия должна добавляться с той же скоростью, с которой плазма теряет энергию, чтобы поддерживать условия термоядерного синтеза. Эта энергия может поставляться самими термоядерными реакциями, в зависимости от типа реакции, или путем подачи дополнительного нагрева различными способами.

Для иллюстрации здесь будет выведен критерий Лоусона для реакции DT, но тот же принцип может быть применен к другим видам термоядерного топлива. Также предполагается, что все виды имеют одинаковую температуру, что нет никаких ионов, кроме топливных ионов (никаких примесей и никакой гелиевой золы), и что D и T присутствуют в оптимальной смеси 50-50. ^a Плотность ионов тогда равна плотности электронов, а плотность энергии как электронов, так и ионов вместе определяется как

${\displaystyle W=3nT}$

где — температура в электронвольтах (эВ), — плотность частиц. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

Объемная скорость (реакций на объем за время) реакций синтеза равна ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=n_{\mathrm {d} }n_{\mathrm {t} }\langle \sigma v\rangle ={\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle }$

где — сечение плавления , — относительная скорость , а обозначает среднее значение по распределению скоростей Максвелла при температуре . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \langle \rangle }$ ${\displaystyle T}$

Объемная скорость нагрева за счет синтеза равна умножить на энергию заряженных продуктов синтеза (нейтроны не могут помочь нагреть плазму). В случае реакции DT, . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }=3.5\,\mathrm {MeV} }$

Критерий Лоусона, или минимальное значение (электронная плотность * время удержания энергии), необходимое для саморазогрева, для трех реакций синтеза. Для DT nτ _E минимизируется вблизи температуры 25 кэВ (300 миллионов кельвинов).

Критерий Лоусона требует, чтобы нагрев при плавлении превышал потери:

${\displaystyle fE_{\rm {ch}}\geq P_{\rm {loss}}}$

Подставляя известные величины, получаем:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle E_{\rm {ch}}\geq {\frac {3nT}{\tau _{E}}}}$

Перестановка уравнения дает:

Величина является функцией температуры с абсолютным минимумом. Замена функции ее минимальным значением дает абсолютный нижний предел для продукта . Это критерий Лоусона. ${\displaystyle T/\langle \sigma v\rangle }$ ${\displaystyle n\tau _{E}}$

Для реакции дейтерия и трития физическое значение составляет не менее

${\displaystyle n\tau _{E}\geq 1.5\cdot 10^{20}{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$

Минимум произведения достигается вблизи . ${\displaystyle T=26\,\mathrm {keV} }$

Расширение в «тройной продукт»

Еще более полезным показателем качества является «тройное произведение» плотности, температуры и времени удержания, nTτ _E . Для большинства концепций удержания, будь то инерциальное , зеркальное или тороидальное удержание, плотность и температура могут изменяться в довольно широком диапазоне, но максимально достижимое давление p является константой. В таком случае плотность мощности термоядерного синтеза пропорциональна p ² <σ v >/ T  ² . Таким образом, максимальная мощность термоядерного синтеза, доступная для данной машины, достигается при температуре T , где <σ v >/ T  ² является максимумом. Продолжая приведенный выше вывод, легко получается следующее неравенство:

${\displaystyle nT\tau _{\rm {E}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$

Условие образования тройного продукта для трех реакций синтеза

Величина также является функцией температуры с абсолютным минимумом при температуре немного ниже, чем . ${\displaystyle {\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$ ${\displaystyle {\frac {T}{\langle \sigma v\rangle }}}$

Для реакции DT минимум достигается при T  = 14 кэВ. Среднее значение <σ v > в этой области температур можно аппроксимировать как ^[7]

${\displaystyle \left\langle \sigma v\right\rangle =1.1\cdot 10^{-24}T^{2}\;{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}\,{\rm {,}}\quad {\rm {T\,in\,keV}}{\rm {,}}}$

поэтому минимальное значение тройного произведения при T  = 14 кэВ составляет около

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\geq &{\frac {12\cdot 14^{2}\cdot {\rm {keV}}^{2}}{1.1\cdot 10^{-24}{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}14^{2}\cdot 3500\cdot {\rm {keV}}}}\approx 3\cdot 10^{21}{\mbox{keV s}}/{\mbox{m}}^{3}\\\end{matrix}}(3.5\cdot 10^{28}{\mbox{K s}}/{\mbox{m}}^{3})}$

Это число еще не было достигнуто ни в одном реакторе, хотя последние поколения машин приблизились к нему. JT-60 сообщил о 1,53x10 ²¹ кэВ.см ⁻³ . ^[8] Например, TFTR достиг плотности и времени жизни энергии, необходимых для достижения Лоусона при температурах, которые он может создать, но он не может создавать эти температуры одновременно. ITER стремится сделать и то, и другое.

Что касается токамаков , то здесь есть особая мотивация для использования тройного произведения. Эмпирически время удержания энергии τ _E оказывается почти пропорциональным n ^1/3 / P  ^{2/3 [ требуется ссылка ]} . В зажженной плазме вблизи оптимальной температуры мощность нагрева P равна мощности синтеза и, следовательно, пропорциональна n ² T  ² . Тройное произведение масштабируется как

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\propto &nT\left(n^{1/3}/P^{2/3}\right)\\&\propto &nT\left(n^{1/3}/\left(n^{2}T^{2}\right)^{2/3}\right)\\&\propto &T^{-1/3}\\\end{matrix}}}$

Тройной продукт слабо зависит от температуры, как T  ^-1/3 . Это делает тройной продукт адекватной мерой эффективности схемы удержания.

Инерционное удержание

Критерий Лоусона применим к инерциальному удержанию термоядерного синтеза (ICF), а также к магнитному удержанию термоядерного синтеза (MCF), но в инерциальном случае его более полезно выразить в другой форме. Хорошим приближением для времени инерциального удержания является время, которое требуется иону, чтобы преодолеть расстояние R с его тепловой скоростью ${\displaystyle \tau _{E}}$

${\displaystyle v_{th}={\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}$

где m _i обозначает среднюю ионную массу. Время инерционного удержания может быть, таким образом, приближенно определено как ${\displaystyle \tau _{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau _{E}&\approx &{\frac {R}{v_{th}}}\\\\&=&{\frac {R}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}\\\\&=&R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{\rm {B}}T}}}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

Подставляя приведенное выше выражение в соотношение ( 1 ), получаем

${\displaystyle {\begin{matrix}n\tau _{E}&\approx &n\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{B}T}}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {k_{\rm {B}}T}{\langle \sigma v\rangle }}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle \cdot m_{i}^{1/2}}}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle }}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

Это произведение должно быть больше значения, связанного с минимумом T  ^3/2 /<σv>. Это же требование традиционно выражается через плотность массы ρ  = < нм _i >:

${\displaystyle \rho \cdot R\geq 1\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}}$

Удовлетворение этого критерия при плотности твердого DT (0,2 г/см3 ⁾ потребовало бы лазерного импульса неправдоподобно большой энергии. Предполагая, что требуемая энергия масштабируется с массой термоядерной плазмы ( E _laser ~ ρR ³ ~ ρ ⁻² ), сжатие топлива до 10 ³ или 10 ⁴ плотности твердого тела уменьшило бы требуемую энергию в 10 ⁶ или 10 ⁸ раз , что привело бы ее в реалистичный диапазон. При сжатии в 10 ³ сжатая плотность составит 200 г/см3 ^, а сжатый радиус может быть всего 0,05 мм. Радиус топлива до сжатия составит 0,5 мм. Первоначальная таблетка будет, возможно, вдвое больше, поскольку большая часть массы будет унесена во время сжатия.

Мощность синтеза, умноженная на плотность, является хорошим показателем качества для определения оптимальной температуры для магнитного удержания, но для инерционного удержания, вероятно, более полезным будет дробное выгорание топлива. Выгорание должно быть пропорционально удельной скорости реакции ( n ² < σv >), умноженной на время удержания (которое масштабируется как T  ^-1/2 ), деленное на плотность частиц n :

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{burn-up fraction }}&\propto &n^{2}\langle \sigma v\rangle T^{-1/2}/n\\&\propto &\left(nT\right)\langle \sigma v\rangle /T^{3/2}\\\end{matrix}}}$

Таким образом, оптимальная температура для инерционного удержания ядерного синтеза максимизирует <σv>/ T ^3/2 , что немного выше оптимальной температуры для магнитного удержания.

Нетепловые системы

Анализ Лоусона основан на скорости синтеза и потери энергии в термализованной плазме. Существует класс машин для синтеза, которые не используют термализованную плазму, а вместо этого напрямую ускоряют отдельные ионы до требуемых энергий. Наиболее известными примерами являются migma , fusor и polywell .

Применительно к фузору анализ Лоусона используется как аргумент в пользу того, что потери на проводимость и излучение являются ключевыми препятствиями для достижения чистой мощности. Фузоры используют падение напряжения для ускорения и столкновения ионов, что приводит к синтезу. ^[9] Падение напряжения создается проволочными клетками, и эти клетки отводят частицы.

Polywells — это усовершенствованная версия этой конструкции, разработанная для снижения потерь проводимости путем удаления проволочных каркасов, которые их вызывают. ^[10] Несмотря на это, утверждается, что излучение по-прежнему является серьезным препятствием. ^[11]

Смотрите также

• Коэффициент усиления энергии термоядерного синтеза ( Q )

Примечания

^a Легко ослабить эти предположения. Самый сложный вопрос — как определить,когда ион и электроны различаются по плотности и температуре. Учитывая, что это расчет производства и потери энергии ионами, и что любая концепция удержания плазмы должна содержать силы давления плазмы, кажется целесообразным определить эффективную (электронную) плотностьчерез (полное) давлениекак. Множительвключен, посколькуобычно относится только к плотности электронов, ноздесь относится к полному давлению. Учитывая два вида с плотностью ионов, атомными номерами, температурой ионови температурой электронов, легко показать, что мощность синтеза максимизируется топливной смесью, заданной. Значения для,и плотность мощности должны быть умножены на коэффициент. Например, с протонами и бором () в качестве топлива в формулы должен быть включен еще один коэффициент. С другой стороны, для холодных электронов все формулы должны быть разделены на(без дополнительного коэффициента для). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=p/2T_{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n_{1,2}}$ ${\displaystyle Z_{1,2}}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle n_{1}/n_{2}=(1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })}$ ${\displaystyle n\tau }$ ${\displaystyle nT\tau }$ ${\displaystyle (1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })\cdot (1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/4}$ ${\displaystyle Z=5}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle Z>1}$

Ссылки

1. Lawson, JD (декабрь 1955 г.). Некоторые критерии полезного термоядерного реактора (PDF) (Технический отчет). Atomic Energy Research Establishment, Harwell, Berkshire, UK^{[ мертвая ссылка ]}
2. Lawson, JD (декабрь 1955 г.). «Некоторые критерии для термоядерного реактора, производящего энергию». Труды Физического общества, раздел B. 70 ( 1): 6–10. Bibcode : 1957PPSB...70....6L. doi : 10.1088/0370-1301/70/1/303.
3. «Ученые добились самоподдерживающегося ядерного синтеза… но теперь они не могут его повторить». Sciencealert. 16 августа 2022 г.
4. Абу-Шавареб, Х.; Акри, Р.; Адамс, П.; Адамс, Дж.; Аддис, Б.; Аден, Р.; Адриан, П.; Афеян, BB; Агглтон, М.; Агаян, Л.; Агирре, А.; Айкенс, Д.; Акре, Дж.; Альберт, Ф.; Альбрехт, М. (2022-08-08). "Критерий Лоусона для зажигания превышен в эксперименте по инерционному синтезу". Physical Review Letters . 129 (7): 075001. Bibcode : 2022PhRvL.129g5001A. doi : 10.1103/PhysRevLett.129.075001 . hdl : 10044/1/99300 . ISSN  0031-9007. PMID  36018710.
5. Spitzer, Lyman; Seeger, Raymond J. (ноябрь 1963 г.). «Физика полностью ионизированных газов». American Journal of Physics . 31 (11): 890–891. Bibcode : 1963AmJPh..31..890S. doi : 10.1119/1.1969155. ISSN  0002-9505.
6. "Energy Converter". www.phys.ksu.edu . Университет штата Канзас . Получено 2023-02-17 .
7. Wesson, J. (2004). «Токамаки». Oxford Engineering Science Series (48) (3-е изд.). Oxford: Clarendon Press.
8. "Самый высокий в мире продукт тройного синтеза отмечен в плазме с высоким βp H-режима". Архивировано из оригинала 2013-01-06.
9. Хирш, Роберт Л. (октябрь 1967 г.). «Инерционно-электростатическое удержание ионизированных термоядерных газов». Журнал прикладной физики . 38 (11): 4522–4534. Bibcode : 1967JAP....38.4522H. doi : 10.1063/1.1709162. ISSN  0021-8979.
10. Буссард, Роберт В. (2006-10-02). «Появление чистого ядерного синтеза: сверхпроизводительная космическая энергетика и движение». 57-й Международный астронавтический конгресс . Рестон, Вирджиния: Американский институт аэронавтики и астронавтики. doi :10.2514/6.iac-06-d2.8.05. ISBN 978-1-62410-042-0.
11. Райдер, Тодд Х. (1997-04-01). «Фундаментальные ограничения плазменных систем синтеза, не находящихся в термодинамическом равновесии». Physics of Plasmas . 4 (4): 1039–1046. Bibcode : 1997PhPl....4.1039R. doi : 10.1063/1.872556. hdl : 1721.1/11412 . ISSN  1070-664X.

Внешние ссылки

• Математический вывод, архив 2019 г. из оригинала