Относительная скорость

Скорость объекта или наблюдателя в системе покоя другого объекта или наблюдателя

Относительное движение человека в поезде

Относительная скорость , обозначаемая (также или ), представляет собой скорость объекта или наблюдателя B в системе отсчета покоя другого объекта или наблюдателя A. ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{BA}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\operatorname {rel} A}}$

Классическая механика

В одном измерении (нерелятивистский)

Начнем с относительного движения в классическом (или нерелятивистском , или ньютоновском) приближении , согласно которому все скорости намного меньше скорости света. Этот предел связан с преобразованием Галилея . На рисунке изображен мужчина на крыше поезда, у его заднего края. В 13:00 он начинает идти вперед со скоростью 10 км/ч (километров в час). Поезд движется со скоростью 40 км/ч. На фигуре изображен мужчина и поезд в два разных момента: сначала в начале пути, а также через час, в 14:00. Из рисунка следует, что мужчина находится на расстоянии 50 км от исходной точки после путешествия (пешком и на поезде) в течение одного часа. По определению это 50 км/ч, что предполагает, что рецепт для расчета относительной скорости таким способом состоит в сложении двух скоростей.

На диаграмме показаны часы и линейки, чтобы напомнить читателю, что, хотя логика, лежащая в основе этих вычислений, кажется безупречной, она делает ложные предположения о том, как ведут себя часы и линейки. (См. «Мысленный эксперимент с поездом и платформой» .) Чтобы признать, что эта классическая модель относительного движения нарушает специальную теорию относительности , мы обобщаем пример в уравнение:

${\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {{\vec {v}}_{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {{\vec {v}}_{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}$

где:

${\displaystyle {\vec {v}}_{M\mid E}}$- скорость М ан относительно Земли ,

${\displaystyle {\vec {v}}_{M\mid T}}$- скорость M an относительно T дождя,

${\displaystyle {\vec {v}}_{T\mid E}}$— скорость дождя относительно Земли .

Вполне законные выражения для «скорости А относительно В» включают «скорость А относительно В» и «скорость А в системе координат, где В всегда покоится». Нарушение специальной теории относительности происходит потому, что это уравнение относительной скорости ошибочно предсказывает, что разные наблюдатели будут измерять разные скорости при наблюдении движения света. ^{[примечание 1]}

В двух измерениях (нерелятивистский)

Относительные скорости между двумя частицами в классической механике

На рисунке показаны два объекта A и B , движущиеся с постоянной скоростью. Уравнения движения:

${\displaystyle {\vec {r}}_{A}={\vec {r}}_{Ai}+{\vec {v}}_{A}t,}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{B}={\vec {r}}_{Bi}+{\vec {v}}_{B}t,}$

где индекс i относится к начальному смещению (в момент времени t, равного нулю). Разница между двумя векторами смещения представляет собой местоположение B, если смотреть со стороны A. ${\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}=\underbrace {{\vec {r}}_{Bi}-{\vec {r}}_{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})t} _{\text{relative velocity}}.}$

Следовательно:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}.}$

После замены и имеем: ${\displaystyle {\vec {v}}_{A|C}={\vec {v}}_{A}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{B|C}={\vec {v}}_{B}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B\mid C}-{\vec {v}}_{A\mid C}\Rightarrow }$   ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid C}={\vec {v}}_{B\mid A}+{\vec {v}}_{A\mid C}.}$

Преобразование Галилея (нерелятивистское)

Чтобы построить теорию относительного движения, совместимую со специальной теорией относительности, мы должны принять другое соглашение. Продолжая работать в (нерелятивистском) ньютоновском пределе , мы начнем с преобразования Галилея в одном измерении: ^{[примечание 2]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

где x' - это позиция, видимая системой отсчета, движущейся со скоростью v, в системе отсчета без штриха (x). ^{[примечание 3]} Взяв дифференциал первого из двух приведенных выше уравнений, мы имеем , и то, что может показаться очевидным ^{[примечание 4]} утверждением, что , мы имеем: ${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$ ${\displaystyle dt'=dt}$

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

Чтобы восстановить предыдущие выражения для относительной скорости, мы предполагаем, что частица A следует по пути, определенному dx/dt в незаштрихованной системе отсчета (и, следовательно, dx '/ dt ' в штрихованной системе отсчета). Таким образом , и , где и относятся к движению A , как его видит наблюдатель в незаштрихованной и заштрихованной системе координат соответственно. Напомним, что v — это движение неподвижного объекта в штрихованном кадре, как видно из незаштрихованного кадра. Таким образом, мы имеем , и: ${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$ ${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O'}$ ${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

где последняя форма имеет желаемую (легко обучаемую) симметрию.

Специальная теория относительности

Как и в классической механике, в специальной теории относительности относительная скорость — это скорость объекта или наблюдателя B в системе покоя другого объекта или наблюдателя A. Однако, в отличие от классической механики, в специальной теории относительности, как правило, не так. ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }=-{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }}$

Это своеобразное отсутствие симметрии связано с прецессией Томаса и тем фактом, что два последовательных преобразования Лоренца вращают систему координат. Это вращение не влияет на величину вектора, и, следовательно, относительная скорость симметрична.

${\displaystyle \|{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }\|=\|{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}$

Параллельные скорости

В случае, когда два объекта движутся в параллельных направлениях, релятивистская формула относительной скорости по форме аналогична формуле сложения релятивистских скоростей.

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

Относительная скорость определяется формулой:

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

Перпендикулярные скорости

В случае, когда два объекта движутся в перпендикулярных направлениях, релятивистская относительная скорость определяется формулой: ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}$

где

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

Относительная скорость определяется формулой

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}$

Общий случай

Общая формула относительной скорости объекта или наблюдателя B в системе покоя другого объекта или наблюдателя A задается формулой: ^[1] ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }+{\vec {v}}_{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

где

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

Относительная скорость определяется формулой

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}$

Смотрите также

• Эффект Допплера
• Неевклидова геометрия § Кинематическая геометрия
• Своеобразная скорость
• Правильное движение
• Скорость диапазона
• Радиальная скорость
• Быстрота
• Релятивистская скорость
• Космическая скорость (астрономия)

Примечания

1. Например, замените «Человека» на фотон, движущийся со скоростью света.
2. Этот результат действителен, если все движение ограничено осью X, но его можно легко обобщить, заменив первое уравнение на ${\displaystyle {\vec {r}}\,'={\vec {r}}-{\vec {v}}t}$
3. Легко запутаться в знаке минус перед v или в том, определяется ли v в простой или нештрихованной системе отсчета. Это могло бы помочь визуализировать тот факт, что если x  =  vt , то x ′ = 0, а это означает, что частица, следующая по пути x  =  vt , покоится в штрихованной системе отсчета.
4. Имейте в виду, что из-за замедления времени dt =  dt  ′ справедливо только в том приближении, что скорость намного меньше скорости света.

Рекомендации

1. Фок, 1964. Теория пространства-времени и гравитации, получено с https://archive.org/details/TheTheoryOfSpaceTimeGravitation.

дальнейшее чтение

• Алонсо и Финн, ISBN  фундаментальной университетской физики 0-201-56518-8
• Гринвуд, Дональд Т., Принципы динамики.
• Гудман и Уорнер, Динамика.
• Бир и Джонстон, Статика и динамика.
• Физико-математический словарь Макгроу Хилла.
• Риндлер, В., Существенная теория относительности.
• ХУРМИ РС, Механика, Инженерная механика, Статика, Динамика

Внешние ссылки

• Относительное движение в гиперфизике
• Java-апплет, иллюстрирующий относительную скорость, автор Эндрю Даффи.
• Relatív mozgás (1)...(3) Относительное движение двух поездов (1)...(3). Видео на портале ФизКапу. (на венгерском языке)
• Sebességek összegzése Относительное спокойствие форели в ручье. Видео на портале ФизКапу. (на венгерском языке)