Математический тест по теории систем управления
В теории систем управления критерий устойчивости Рауса-Гурвица представляет собой математический тест, который является необходимым и достаточным условием устойчивости линейной нестационарной ( ЛТИ) динамической системы или системы управления . Стабильная система — это система, выходной сигнал которой ограничен; положение, скорость или энергия не увеличиваются до бесконечности с течением времени. Тест Рауса — это эффективный рекурсивный алгоритм, который английский математик Эдвард Джон Раут предложил в 1876 году для определения того, все ли корни характеристического многочлена линейной системы имеют отрицательные действительные части. [1] Немецкий математик Адольф Гурвиц независимо предложил в 1895 году расположить коэффициенты многочлена в квадратную матрицу, называемую матрицей Гурвица , и показал, что многочлен стабилен тогда и только тогда, когда все последовательности определителей его главных подматриц положительны. . [2] Эти две процедуры эквивалентны: тест Рауса обеспечивает более эффективный способ вычисления определителей Гурвица ( ), чем их непосредственное вычисление. Полином, удовлетворяющий критерию Рауса–Гурвица, называется полиномом Гурвица .![{\displaystyle \Delta _ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Важность критерия состоит в том, что корни p характеристического уравнения линейной системы с отрицательными вещественными частями представляют собой устойчивые ( ограниченные ) решения ept системы . Таким образом, критерий позволяет определить, имеют ли уравнения движения линейной системы только устойчивые решения, не решая систему напрямую. Для дискретных систем соответствующий тест устойчивости можно выполнить с помощью критерия Шура – Кона, теста Жюри и теста Бистрица . С появлением компьютеров этот критерий стал использоваться менее широко, поскольку альтернативой является численное решение полинома с непосредственным получением приближений к корням.
Тест Рауса можно получить с помощью алгоритма Евклида и теоремы Штурма при оценке индексов Коши . Гурвиц вывел свои условия иначе. [3]
Используя алгоритм Евклида
Критерий связан с теоремой Рауса–Гурвица . Из утверждения этой теоремы имеем где:![{\displaystyle pq=w (+\infty) -w (-\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
– количество корней многочлена с отрицательной вещественной частью;![{\ displaystyle f (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
– число корней многочлена с положительной вещественной частью (согласно теореме предполагается, что он не имеет корней, лежащих на мнимой прямой);![{\ displaystyle f (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- w ( x ) — число вариаций обобщенной цепочки Штурма, полученной из и (последовательными евклидовыми делениями ), где для действительного y .
![{\displaystyle P_{0}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P_{1}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n должен иметь n корней в комплексной плоскости (т.е. для ƒ без корней на мнимой прямой p + q = n ). Таким образом, мы имеем условие, что ƒ является (Гурвиц) устойчивым полиномом тогда и только тогда, когда p − q = n (доказательство приведено ниже). Используя теорему Рауса–Гурвица, мы можем заменить условие на p и q условием на обобщенную цепочку Штурма, что, в свою очередь, даст условие на коэффициенты ƒ .
Использование матриц
Пусть f ( z ) — комплексный полином. Процесс выглядит следующим образом:
- Вычислите многочлены и такие, что где y — действительное число.
![{\displaystyle P_{0}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P_{1}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Вычислите матрицу Сильвестра, связанную с и .
![{\displaystyle P_{0}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P_{1}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Переставьте каждую строку так, чтобы в нечетной строке и следующей за ней было одинаковое количество ведущих нулей.
- Вычислите каждый главный минор этой матрицы.
- Если хотя бы один из миноров отрицателен (или равен нулю), то многочлен f неустойчив.
Пример
- Пусть (для простоты мы берем вещественные коэффициенты) где (чтобы избежать корня из нуля и можно было использовать теорему Рауса–Гурвица). Сначала нам нужно вычислить действительные полиномы и :
![{\displaystyle f(z)=az^{2}+bz+c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P_{0}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P_{1}(y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Затем мы разделим эти полиномы, чтобы получить обобщенную цепочку Штурма:
урожайность![{\displaystyle P_{2}(y)=-c,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
дает результат , и евклидово деление прекращается.![{\displaystyle P_{3}(y)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что нам пришлось предположить, что b отличается от нуля в первом делении. Обобщенная цепь Штурма в этом случае . Положим , знак является противоположным знаку а , а знак by является знаком b . Когда мы положим , знак первого элемента цепочки снова будет противоположным знаку a , а знак by будет противоположным знаку b . Наконец, -c всегда имеет знак, противоположный c .![{\displaystyle (P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y=+\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (c-ay^{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (y=-\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Предположим теперь, что f устойчива по Гурвицу. Это означает, что (степень f ). По свойствам функции w это то же самое, что и . Таким образом, a , b и c должны иметь одинаковый знак. Таким образом, мы нашли необходимое условие устойчивости многочленов степени 2.![{\displaystyle w(+\infty) -w(-\infty)=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w(+\infty)=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w(-\infty)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Критерий Рауса–Гурвица для полиномов второго, третьего и четвертого порядка.
- Для полинома второго порядка все коэффициенты должны быть положительными, где для .
![{\displaystyle P(s)=a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{i}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (я = 0,1,2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Для полинома третьего порядка все коэффициенты должны быть положительными, где для , и .
![{\displaystyle P(s)=a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{i}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (я = 0,1,2,3)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Для полинома четвертого порядка все коэффициенты должны быть положительными, где для , и [4] (Когда это выводится, вы не знаете, что все коэффициенты должны быть положительными, и вы добавляете .)
![{\displaystyle P(s)=a_{4}s^{4}+a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0 }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{i}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (я = 0,1,2,3,4)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}-a_{4}a_{1}^{2}-a_{3}^{2}a_{0}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- В общем, критерий устойчивости Рауса утверждает, что полином имеет все корни в открытой левой полуплоскости тогда и только тогда, когда все элементы первого столбца массива Рауса имеют одинаковый знак.
- Наличие всех положительных (или всех отрицательных) коэффициентов необходимо для того, чтобы все корни располагались в открытой левой полуплоскости. Вот почему здесь зафиксировано значение 1, которое является положительным. Когда это предполагается, мы можем удалить полином четвертого порядка и упростить условия для пятого и шестого порядка. Для пятого порядка нам нужно только проверить это, а для шестого порядка нам нужно только проверить , и это дополнительно оптимизируется с помощью критерия Льенара – Шипарта . [5] Действительно, некоторые положительные коэффициенты не являются независимыми, а главные миноры являются положительными, например, проверку можно удалить для полинома третьего порядка.
![{\displaystyle a_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta _{2}>0,\Delta _{4}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta _{3}>0,\Delta _{5}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{2}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример высшего порядка
Табличный метод можно использовать для определения устойчивости, когда корни характеристического полинома более высокого порядка получить трудно. Для полинома n -й степени
![{\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
таблица имеет n + 1 строк и имеет следующую структуру:
где элементы и можно вычислить следующим образом:![{\displaystyle b_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_ {n-1}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_ {1}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По завершении количество смен знаков в первом столбце будет равно количеству неотрицательных корней.
В первом столбце есть две смены знака (0,75 → −3 и −3 → 3), таким образом, есть два неотрицательных корня, в которых система неустойчива.
Характеристическое уравнение следящей системы имеет вид: [6]
![{\displaystyle b_{0}s^{4}+b_{1}s^{3}+b_{2}s^{2}+b_{3}s+b_{4}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для стабильности все элементы первого столбца массива Рауса должны быть положительными. Итак, условия, которым должна удовлетворяться устойчивость данной системы, следующие: [6]
[6]
Мы видим, что если
![{\displaystyle (b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
затем
![{\displaystyle b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доволен.
[7]
У нас есть следующая таблица:
есть две смены знаков. Система неустойчива, так как имеет два полюса в правой полуплоскости и два полюса в левой полуплоскости. Система не может иметь jω полюсов, так как в таблице Рауса не появился ряд нулей. [7]
Иногда наличие полюсов на воображаемой оси создает ситуацию предельной устойчивости. В этом случае коэффициенты «массива Рауса» во всей строке становятся равными нулю и дальнейшее решение многочлена для нахождения изменения знака невозможно. Тогда в игру вступает другой подход. Строка полинома, которая находится чуть выше строки, содержащей нули, называется «вспомогательным полиномом».
![{\displaystyle s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
У нас есть следующая таблица:
В таком случае вспомогательный многочлен снова равен нулю. Следующим шагом является дифференцирование приведенного выше уравнения, которое дает полином . Коэффициенты строки, содержащей ноль, теперь становятся «8» и «24». Процесс массива Рауса продолжается с использованием этих значений, которые дают две точки на мнимой оси. Эти две точки на воображаемой оси являются основной причиной предельной устойчивости. [8]![{\displaystyle A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B(s)=8с^{3}+24с^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Раут, Э.Дж. (1877). Трактат об устойчивости данного состояния движения: особо устойчивое движение. Макмиллан.
- ^ Гурвиц, А. (1895). «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negentn reellen Theilen besitzt». Математика. Анна. 46 (2): 273–284. дои : 10.1007/BF01446812. S2CID 121036103. (Английский перевод «Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными действительными частями», сделанный Х.Г. Бергманном в « Избранных статьях о математических тенденциях в теории управления», ред. Р. Беллмана и Р. Калабы. Нью-Йорк: Дувр, 1964, стр. 70– 82.)
- ^ Гопал, М. (2002). Системы управления: принципы и конструкция, 2-е изд. Тата МакГроу-Хилл Образование. п. 14. ISBN 0070482896.
- ^ «Критерий Рауса-Гурвица». math24.net . Проверено 19 июля 2022 г.
- ^ «Инструменты анализа устойчивости» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 января 2015 г. Проверено 19 июля 2022 г.
- ^ abc КУМАР, Ананд (2007). СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ . Обучение PHI. ISBN 9788120331976.
- ^ Аб Найз, Норман (2015). Инженерия систем управления . Уайли. ISBN 9781118800829.
- ^ Саид, Саид Хасан (2008). Системы автоматического управления . Дели: Издательство Katson. стр. 206, 207. ISBN. 978-81-906919-2-5.
- Феликс Гантмахер (переводчик Дж. Л. Бреннера) (1959). Приложения теории матриц , стр. 177–80, Нью-Йорк: Interscience.
- Пиппард, AB; Дике, Р.Х. (1986). «Отклик и стабильность, введение в физическую теорию». Американский журнал физики . 54 (11): 1052. Бибкод : 1986AmJPh..54.1052P. дои : 10.1119/1.14826. Архивировано из оригинала 14 мая 2016 г. Проверено 7 мая 2008 г.
- Ричард К. Дорф , Роберт Х. Бишоп (2001). Современные системы управления (9-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-030660-6.
- Рахман, QI; Шмайссер, Г. (2002). Аналитическая теория полиномов . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 26. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853493-0. Збл 1072.30006.
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Рауса-Гурвица». MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
- Стивен Барнетт (1983). Полиномы и линейные системы управления , Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc.
Внешние ссылки
- Сценарий MATLAB, реализующий тест Рауса-Гурвица.
- Онлайн-реализация критерия Рауса-Гурвица