Круги Вилларсо

Пересечение тора и плоскости

Окружности Вилларсо как пересечение тора и плоскости

Разрезание тора специальной плоскостью выявляет пару окружностей, известных как окружности Вилларсо. Секущая плоскость проходит через центр тора и касается тора в двух антиподных точках; окружности пересекаются в этих точках.

В геометрии окружности Вилларсо ( / v iː l ɑːr ˈ s oʊ / ) представляют собой пару окружностей, полученных путем разрезания тора по косой через его центр под специальным углом.

Если на торе задана произвольная точка, через нее можно провести четыре окружности. Одна лежит в плоскости, параллельной экваториальной плоскости тора, а другая перпендикулярна этой плоскости (они аналогичны линиям широты и долготы на Земле). Две другие — окружности Вилларсо. Они получаются как пересечение тора с плоскостью, которая проходит через центр тора и касается его по касательной в двух антиподных точках. Если рассмотреть все эти плоскости, то на торе получится два семейства окружностей. Каждое из этих семейств состоит из непересекающихся окружностей, которые покрывают каждую точку тора ровно один раз и, таким образом, образуют одномерное слоение тора.

Круги Вилларсо названы в честь французского астронома и математика Ивона Вилларсо (1813–1883), который написал о них в 1848 году.

Пример

Рассмотрим горизонтальный тор в пространстве xyz с центром в начале координат и большим радиусом 5 и малым радиусом 3. Это означает, что тор является геометрическим местом некоторых вертикальных окружностей радиуса три, центры которых находятся на окружности радиуса пять в горизонтальной плоскости xy . Точки на этом торе удовлетворяют этому уравнению:

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2}).\,\!}$

Разрезание плоскостью z  = 0 дает две концентрические окружности, x ²  +  y ²  = 2 ² и x ²  +  y ²  = 8 ² , внешний и внутренний экватор. Разрезание плоскостью x  = 0 дает две соседние окружности, ( y  − 5) ²  +  z ²  = 3 ² и ( y  + 5) ²  +  z ²  = 3 ² .

Два примера окружностей Вилларсо могут быть получены путем разрезания плоскостью 3 y  = 4 z . Одна из них имеет центр в точке (+3, 0, 0), а другая в точке (−3, 0, 0); обе имеют радиус пять. Их можно записать в параметрической форме как

${\displaystyle (x,y,z)=(+3+5\cos \vartheta ,4\sin \vartheta ,3\sin \vartheta )\,\!}$

и

${\displaystyle (x,y,z)=(-3+5\cos \vartheta ,4\sin \vartheta ,3\sin \vartheta )\,\!}$

Плоскость разреза выбирается касательной к тору в двух точках, проходящих через его центр. Она касается в точках (0, 16/5, 12/5) и (0, -16/5, -12/5). Угол разреза однозначно определяется размерами выбранного тора. Вращение любой такой плоскости вокруг оси z дает все окружности Вилларсо для этого тора.

Существование и уравнения

Тор: круги Вилларсо
Для нижней картинки проекция ортогональна плоскости сечения. Отсюда видна истинная форма кругов.

Тор с двумя пучками окружностей Вилларсо

Окружности Вилларсо (пурпурный, зеленый) через заданную точку (красный). Для любой точки существуют 4 окружности на торе, содержащие эту точку.

Доказательство существования окружностей можно построить из того факта, что плоскость сечения касается тора в двух точках. Одной из характеристик тора является то, что он является поверхностью вращения . Без потери общности выберем систему координат так, чтобы осью вращения была ось z . [См. рисунок справа.] Начнем с окружности радиуса r в плоскости yz с центром в точке (0, R , 0):

${\displaystyle 0=(y-R)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!}$

Прохождение этой окружности вокруг оси z заменяет y на ( x ²  +  y ² ) ^1/2 , а очистка квадратного корня дает уравнение четвертой степени для тора:

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!}$

Поперечное сечение скользящей поверхности в плоскости yz теперь включает вторую окружность с уравнением

${\displaystyle 0=(y+R)^{2}+z^{2}-r^{2}\,\!}$

Эта пара окружностей имеет две общие внутренние касательные линии , с наклоном в начале координат, найденным из прямоугольного треугольника с гипотенузой R и противолежащей стороной r (которая имеет свой прямой угол в точке касания). Таким образом, на этих касательных линиях z / y равно ± r  / ( R ²  −  r ² ) ^1/2 , и выбор знака плюс дает уравнение плоскости, дважды касательной к тору:

${\displaystyle yr=z{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\,\!}$

Мы можем аналитически вычислить пересечение этой плоскости с тором и таким образом показать, что результатом является симметричная пара окружностей радиуса R с центром в точке ${\displaystyle (\pm r,0,0).}$

Параметрическое описание этих кругов:

${\displaystyle (x,y,z)={\big (}\pm r+R\cos \vartheta ,\ {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;\sin \vartheta ,\ r\sin \vartheta {\big )}\,\!}$

Эти окружности также можно получить, начав с окружности радиусом R в плоскости xy с центром в точке ( r ,0,0) или (- r ,0,0), а затем вращая эту окружность вокруг оси x на угол arcsin( r / R ).

Аналогичное рассмотрение можно найти у Коксетера (1969). ^[1]

Более абстрактный — и более гибкий — подход был описан Хиршем (2002), ^[2] с использованием алгебраической геометрии в проективной постановке. В однородном уравнении четвертой степени для тора,

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}w^{2}-r^{2}w^{2})^{2}-4R^{2}w^{2}(x^{2}+y^{2}),\,\!}$

Установка w в ноль дает пересечение с «плоскостью в бесконечности» и сводит уравнение к виду

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}.\,\!}$

Это пересечение является двойной точкой, фактически двойной точкой, посчитанной дважды. Более того, оно включено в каждую бикасательную плоскость. Две точки касания также являются двойными точками. Таким образом, кривая пересечения, которая, согласно теории, должна быть квартикой, содержит четыре двойные точки. Но мы также знаем, что квартика с более чем тремя двойными точками должна факторизоваться (она не может быть неприводимой ), и по симметрии факторами должны быть две конгруэнтные коники , которые являются двумя окружностями Вилларсо.

Хирш распространяет этот аргумент на любую поверхность вращения, образованную коникой, и показывает, что пересечение с двойной касательной плоскостью должно давать две коники того же типа, что и образующая, когда кривая пересечения является действительной.

Заполнение пространства и расслоение Хопфа

Тор играет центральную роль в расслоении Хопфа 3-сферы, S ³ , над обычной сферой, S ² , которая имеет окружности, S ¹ , как волокна. Когда 3-сфера отображается в евклидово 3-пространство с помощью стереографической проекции , обратный образ круга широты на S ² при отображении волокон является тором, а сами волокна являются окружностями Вилларсо. ^[3] Банчофф исследовал такой тор с помощью компьютерной графики изображений. ^[4] Один из необычных фактов об окружностях, составляющих расслоение Хопфа, заключается в том, что каждая связана со всеми остальными, не только через окружности в своем собственном торе, но и через окружности, составляющие все торы, заполняющие все пространство; у Бергера есть обсуждение и рисунок. ^[5]

Дополнительные свойства

Мангейм (1903) показал, что окружности Вилларсо пересекают все параллельные круговые сечения тора под одним и тем же углом, результат, который, по его словам, полковник Шельшер представил на конгрессе в 1891 году. ^[6]

Смотрите также

• Торическое сечение
• Vesica piscis

Цитаты

1. Коксетер 1969.
2. Хирш 2002.
3. Дорст 2019, § 6. Расслоение Хопфа и стереографическая проекция из 4D.
4. Банчофф 1990.
5. Бергер 1987, стр. 304–305, §18.9: Круги Вилларсо и паратаксия.
6. Мангейм 1903.

Ссылки

• Банчофф, Томас Ф. (1990). За пределами третьего измерения . Scientific American Library. ISBN 978-0-7167-5025-3.
• Бергер, Марсель (1987). Геометрия II . Springer. ISBN 978-3-540-17015-0.
• Коксетер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Wiley. стр. 132–133. ISBN 978-0-471-50458-0.
• Хирш, Антон (2002). «Расширение сечения Вилларсо на поверхности вращения с образующей коникой». Журнал геометрии и графики . 6 (2). Лемго, Германия: Heldermann Verlag: 121–132. ISSN  1433-8157.
• Мангейм, Массачусетс (1903). «Сюр ле теорема Шельшера». Новые анналы математики . 4-я серия, том 3. Париж: Carilian-Gœury et Vor. Далмонт: 105–107.
• Stachel, Hellmuth (2002). «Замечания к статье А. Хирша относительно сечений Вилларсо». Журнал геометрии и графики . 6 (2). Лемго, Германия: Heldermann Verlag: 133–139. ISSN  1433-8157.
• Ивон Вильярсо, Антуан Жозеф Франсуа (1848). «Теорема сюр ле тор». Новые анналы математики . Серия 1. 7 . Париж: Готье-Виллар: 345–347. ОКЛК: 2449182.
• Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вилларсо». Достижения в прикладной алгебре Клиффорда . 29 (44). doi : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID  253592159.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Круги Вилларсо». MathWorld .
• Плоский тор в трехсфере
• (на французском) Круги тора ( Les cercles du tore )