Квинтовый круг

Соотношение между тонами хроматической гаммы

Квинтовый круг, показывающий мажорную и минорную тональности

В теории музыки квинтовый круг ( иногда также квинтовый цикл ) — это способ организации звуков в виде последовательности чистых квинт . Начиная с C и используя стандартную систему настройки для западной музыки ( 12-тоновая равномерная темперация ), последовательность выглядит так: C, G, D, A, E, B, F ♯ / G ♭ , C ♯ /D ♭ , G ♯ / A ♭ , D ♯ / E ♭ , A ♯ /B ♭ , F и C. Этот порядок размещает наиболее тесно связанные ключевые знаки рядом друг с другом.

Двенадцатитоновая равнотемперированная настройка делит каждую октаву на двенадцать эквивалентных полутонов, а круг квинт приводит к ноте C на семь октав выше начальной точки. Если квинты настроены с точным соотношением частот 3:2 (система настройки, известная как просто интонация ), это не так (круг не «замыкается»).

Определение

Круг квинт организует высоты в последовательности чистых квинт , обычно показанных как круг с высотами (и соответствующими им тональностями) в порядке по часовой стрелке. Его можно рассматривать в направлении против часовой стрелки как круг кварт. Гармонические прогрессии в западной музыке обычно используют смежные тональности в этой системе, что делает ее полезным ориентиром для музыкальной композиции и гармонии. ^[1]

В верхней части круга показана тональность C Major без диезов и бемолей . По часовой стрелке ноты повышаются на квинты. Соответствующим образом изменяются ключевые знаки, связанные с этими тонами: в тональности G есть один диез, в тональности D есть 2 диеза и т. д. Против часовой стрелки от верхней части круга ноты изменяются на нисходящие квинты, и ключевые знаки соответственно изменяются: в тональности F есть один бемоль, в тональности B ♭ есть 2 бемоля и т. д. Некоторые тональности (в нижней части круга) могут быть обозначены либо диезами, либо бемолью .

Начиная с любой высоты и поднимаясь на квинту, генерируются все тона, прежде чем вернуться к начальному классу высоты (класс высоты состоит из всех нот, обозначенных данной буквой, независимо от октавы — все «C», например, принадлежат к одному и тому же классу высоты). Двигаясь против часовой стрелки, высоты понижаются на квинту, но подъем на чистую кварту приведет к той же ноте на октаву выше (следовательно, в том же классе высоты). Движение против часовой стрелки от C можно рассматривать как спуск на квинту к F или подъем на кварту к F.

Структура и использование

Диатонические тональности

Каждая высота тона может служить тоникой мажорной или минорной тональности, и каждая из этих тональностей будет иметь диатоническую гамму, связанную с ней. Круговая диаграмма показывает количество диезов или бемолей в каждой ключевой сигнатуре , при этом мажорная тональность обозначена заглавной буквой, а минорная — строчной. Мажорные и минорные тональности, имеющие одинаковую ключевую сигнатуру, называются относительными мажорными и относительными минорными по отношению друг к другу.

Модуляция и аккордовая прогрессия

Тональная музыка часто модулируется в новый тональный центр, чья ключевая подпись отличается от оригинала только одним бемолем или диезом. Эти тесно связанные тональности находятся на расстоянии квинты друг от друга и, следовательно, являются соседними в круге квинт. Аккордовые прогрессии также часто перемещаются между аккордами, корни которых связаны чистой квинтой, что делает круг квинт полезным для иллюстрации «гармонического расстояния» между аккордами.

Большая септаккорда прогрессирует на поверхности пупочного тора

Квинтовый круг используется для организации и описания гармонической или тональной функции аккордов . ^{[2] Аккорды} могут развиваться по схеме восходящих чистых кварт (поочередно рассматриваемых как нисходящие чистые квинт) в «функциональной последовательности». Это можно показать «...квинтовым кругом (в котором, следовательно, ступень II ближе к доминанте , чем ступень IV)». ^[3] С этой точки зрения тоникальный или тональный центр считается конечной точкой аккордовой прогрессии, полученной из квинтового круга.

прогрессия ii–V–I , в C, иллюстрирующая сходство между ними

Субдоминанта, вводный септаккорд и вводный аккорд

Согласно книге Ричарда Франко Голдмана « Гармония в западной музыке », «аккорд IV в простейших механизмах диатонических отношений находится на наибольшем расстоянии от I. В терминах [нисходящего] круга квинт он уводит от I, а не к нему». ^[4] Он утверждает, что прогрессия I–ii–V–I ( подлинная каденция ) будет ощущаться более окончательной или решенной, чем I–IV–I ( плагальная каденция ). Голдман ^[5] соглашается с Наттье, который утверждает, что «аккорд на четвертой ступени появляется задолго до аккорда на II, а последующий финал I, в прогрессии I–IV–vii ^o –iii–vi–ii–V–I», и там он также находится дальше от тоники. ^[6] (В этой и связанных статьях заглавные римские цифры обозначают мажорные трезвучия, а строчные римские цифры обозначают минорные трезвучия.)

Замыкание круга в неравных системах настройки

Использование точного соотношения частот 3:2 для определения чистой квинты ( просто интонации ) не совсем приводит к возвращению к классу высоты тона начальной ноты после обхода круга квинт. Двенадцатитоновая равномерная темперация создает квинты, которые возвращаются к тону ровно на семь октав выше начального тона и делает соотношение частот хроматического полутона таким же, как и у диатонического полутона. Стандартная темперированная квинта имеет соотношение частот 2 ^7/12 : 1 (или около 1,498307077: 1), примерно на два цента уже, чем правильно настроенная квинта.

Подъем на двенадцать справедливо настроенных квинт не позволяет замкнуть круг примерно на 23,46 цента , примерно на четверть полутона , интервал, известный как пифагорейская комма . Если ограничиться двенадцатью тонами на октаву, пифагорейская настройка заметно укорачивает ширину одной из двенадцати квинт, что делает ее сильно диссонирующей . Эта аномальная квинта называется волчьей квинтой — юмористическая ссылка на волка, воющего на нестандартную ноту. Нерасширенная четвертная комма означает, что она использует одиннадцать квинт, немного более узких, чем равномерно темперированная квинта, и требует гораздо более широкой и еще более диссонирующей волчьей квинты, чтобы замкнуть круг. Более сложные системы настройки, основанные только на интонации, такие как настройка с ограничением 5 , используют максимум восемь справедливо настроенных квинт и по крайней мере три не справедливых квинты (некоторые немного уже, а некоторые немного шире, чем справедливая квинта), чтобы замкнуть круг.

Равномерно темперированные строи с более чем двенадцатью нотами

В настоящее время, с появлением электронных изоморфных клавиатур , равнотемперированные настройки с более чем двенадцатью нотами на октаву могут использоваться для замыкания круга квинт для других настроек. Например, равнотемперированная настройка с 31 тоном близка к четверть-кома-между-тоном, а равнотемперированная настройка с 53 тоном близка к пифагорейской настройке.

История

Квинтовый круг в «Идее грамматики музыкальной» (Москва, 1679)

Музыкальный кружок Гейнихена (нем. Musicalischer Circul ) (1711)

Квинтовый круг был разработан в конце 1600-х и начале 1700-х годов для теоретизирования модуляции эпохи барокко (см. § Эпоха барокко).

Первая диаграмма квинтового круга появляется в « Грамматике » (1677) композитора и теоретика Николая Дилецкого , который намеревался представить музыкальную теорию как инструмент для композиции. ^[7] Это была «первая в своем роде, направленная на обучение русской аудитории тому, как писать полифонические композиции в западном стиле».

Диаграмма квинтового круга была независимо создана немецким композитором и теоретиком Иоганном Давидом Хайнихеном в его труде «Neu erfundene und gründliche Anweisung» (1711), ^[8] который он назвал «Музыкальным кругом» (нем. Musicalischer Circul ). ^{[9] [10]} Она также была опубликована в его труде «Der General-Bass in der Composition» (1728).

Хайнихен поместил относительную минорную тональность рядом с мажорной, что не отражало фактической близости тональностей. Иоганн Маттезон (1735) и другие попытались улучшить это — Дэвид Кельнер (1737) предложил разместить мажорные тональности на одном круге, а относительные минорные тональности на втором, внутреннем круге. Позже это было развито в аккордовое пространство , включающее также и параллельный минор. ^[11]

Некоторые источники подразумевают, что круг квинт был известен в древности Пифагору . ^{[12] [13] [14]} Это недоразумение и анахронизм. ^[15] Настройка по квинтам (так называемая пифагорейская настройка ) восходит к Древней Месопотамии; ^[16] см. Музыка Месопотамии § Теория музыки , хотя они не распространили ее на двенадцатитоновую шкалу, остановившись на семи. Пифагорейская комма была вычислена Евклидом и китайскими математиками (в Хуайнаньцзы ); см. Пифагорейская комма § История . Таким образом, в древности было известно, что цикл из двенадцати квинт составлял почти ровно семь октав (более практически, чередование восходящих квинт и нисходящих кварт составляло почти ровно октаву). Однако это было теоретическое знание и не использовалось ни для построения повторяющейся двенадцатитоновой шкалы, ни для модуляции. Это было сделано позже в темперации мензуры и равномерной темперации двенадцати тонов , которая позволяла модуляцию при сохранении строя, но не получила развития в Европе до 1500 года. Хотя она была популяризирована как квинтовый круг, ее англосаксонское этимологическое происхождение восходит к названию «колесо квинт».

Использовать

В музыкальных произведениях эпохи барокко и классической музыки , а также в западной популярной музыке , традиционной музыке и народной музыке , когда пьесы или песни модулируются в новую тональность, эти модуляции часто связаны с квинтовым кругом.

На практике композиции редко используют весь квинтовый круг. Чаще всего композиторы используют «композиционную идею «цикла» квинт, когда музыка последовательно движется через меньший или больший сегмент тональных структурных ресурсов, которые абстрактно представляет круг». ^[17] Обычная практика заключается в том, чтобы вывести круг квинтовой прогрессии из семи тонов диатонической гаммы, а не из полного диапазона из двенадцати тонов, присутствующих в хроматической гамме. В этой диатонической версии круга одна из квинт не является истинной квинтой: это тритон (или уменьшенная квинта), например, между F и B в «естественной» диатонической гамме (т. е. без диезов или бемолей). Вот как выводится круг квинт посредством перестановки из диатонической мажорной гаммы:

Диатоническая гамма и производный от нее квинтовый круг – мажор

И из (натуральной) минорной гаммы:

Диатоническая гамма и производный от нее квинтовый круг – минор

Ниже приведена основная последовательность аккордов, которые можно построить поверх основной басовой линии:

Круг квинт аккордовая прогрессия – мажор

И над минором:

Круг квинт аккордовая прогрессия – минор

Добавление септаккордов к аккордам усиливает ощущение поступательного движения гармонии:

Круг квинт аккордовая прогрессия – минор с добавленными септаккордами

Эпоха барокко

По словам Ричарда Тарускина , Арканджело Корелли был самым влиятельным композитором, который установил этот шаблон в качестве стандартного гармонического «тропа» : «Именно во времена Корелли, в конце семнадцатого века, квинтовый круг «теоретизировался» как главный двигатель гармонического движения, и именно Корелли больше, чем какой-либо другой композитор, воплотил эту новую идею в жизнь». ^[18]

Круг квинтовой прогрессии часто встречается в музыке И. С. Баха . Ниже, из Jauchzet Gott в Аллене Ландене , BWV 51 , даже когда сольная басовая линия подразумевает, а не утверждает задействованные аккорды:

Бах из Кантаты 51

Гендель использует прогрессию квинтового круга в качестве основы для части «Пассакалия» из своей Сюиты для клавесина № 6 соль минор.

Гендель Пассакайль из Сюиты соль минор, такты 1–4

Композиторы эпохи барокко научились усиливать «движущую силу» гармонии, порождаемой квинтовым кругом «путем добавления септим к большинству составляющих аккордов». «Эти септимы, будучи диссонансами, создают необходимость разрешения, тем самым превращая каждое движение круга в одновременное средство ослабления и повторного стимулятора гармонического напряжения... Следовательно, они используются в целях выразительности». ^[19] Яркие отрывки, иллюстрирующие использование септим, встречаются в арии «Pena tiranna» в опере Генделя 1715 года «Amadigi di Gaula» :

Гендель, ария «Пена Тиранна» из оперы Амадиги , оркестровое вступление.

– и в клавирной аранжировке Баха Концерта для гобоя и струнных Алессандро Марчелло .

Бах адажио BWV 974 (по мотивам Марчелло)

Девятнадцатый век

Экспромт Франца Шуберта ми-бемоль мажор, D 899, содержит гармонии, которые движутся по измененному квинтовому кругу:

Часть Интермеццо из струнного квартета № 2 Мендельсона содержит короткий сегмент с движением по квинтовому кругу (ii° заменено на iv):

В произведении Роберта Шумана «Засыпающий ребенок» из его сборника «Детские годы» используется эта прогрессия, но в конце она изменена — произведение заканчивается на аккорде ля минор вместо ожидаемого тоники ми минор.

В опере Вагнера « Гибель богов » цикл квинтовой прогрессии происходит в музыке, которая переходит от конца пролога к первой сцене первого акта, происходящей в величественном зале богатых Гибичунгов. «Статус и репутация написаны во всех мотивах, назначенных Гунтеру», ^[20] вождю клана Гибичунгов:

Джаз и популярная музыка

Неизменная популярность квинтового круга как формообразующего устройства и как выразительного музыкального тропа очевидна в ряде " стандартных " популярных песен, написанных в течение двадцатого века. Он также популярен как средство импровизации джазовых музыкантов, поскольку квинтовый круг помогает авторам песен понимать интервалы, аккордовые отношения и прогрессии.

• Барт Ховард , « Отправь меня на Луну »

Песня открывается рисунком нисходящих фраз — по сути, хуком песни — представленным с успокаивающей предсказуемостью, почти как если бы будущее направление мелодии диктовалось начальными пятью нотами. Гармоническая прогрессия, со своей стороны, редко отходит от круга квинт. ^[21]

• Джером Керн , « Все, чем ты являешься » ^[22]
• Рэй Нобл , « Чероки ». Многие джазовые музыканты обнаружили, что это особенно сложно, поскольку средняя восьмерка так быстро прогрессирует по кругу, «создавая серию прогрессий II–V–I , которые временно проходят через несколько тональностей ». ^[23]
• Косма, Превер и Мерсер, « Осенние листья » ^[24]
• The Beatles , « You Never Give Me Your Money » ^{[25] [ необходим неосновной источник ]}
• Майк Олдфилд , « Заклинания » ^[26]
• Карлос Сантана , « Европа (Крик Земли, Улыбка Небес) » ^{[ необходима цитата ]}
• Глория Гейнор , « Я выживу » ^{[27] [ необходим неосновной источник ]}
• Pet Shop Boys , « Это грех » ^{[28] [ необходим неосновной источник ]}
• Донна Саммер , « Люблю любить тебя, детка » ^{[29] [ необходим неосновной источник ]}

Связанные концепции

Диатонический круг квинт

Диатонический круг квинт — это круг квинт, охватывающий только члены диатонической гаммы. Поэтому он содержит уменьшенную квинту в C мажоре между B и F. См. структура подразумевает множественность . Круговая прогрессия обычно представляет собой круг квинт через диатонические аккорды, включая один уменьшенный аккорд . Ниже показана круговая прогрессия в C мажоре с аккордами I–IV–vii ^o –iii–vi–ii–V–I.

Хроматический круг

Квинтовый круг тесно связан с хроматическим кругом , который также располагает равномерно темперированные классы высоты тона определенной настройки в круговом порядке. Ключевое различие между двумя кругами заключается в том, что хроматический круг можно понимать как непрерывное пространство, где каждая точка на круге соответствует мыслимому классу высоты тона , а каждый мыслимый класс высоты тона соответствует точке на круге. Напротив, квинтовый круг по сути является дискретной структурой, организованной через различные интервалы , и нет очевидного способа назначить классы высоты тона каждой из его точек. В этом смысле эти два круга математически совершенно различны.

Однако для любого положительного целого числа N классы высоты тона в N -тоновой равномерной темперации могут быть представлены циклической группой порядка N или, что эквивалентно, классами остатков по модулю, равным N . В двенадцатитонной равномерной темперации группа имеет четыре генератора, которые можно отождествить с восходящими и нисходящими полутонами и восходящими и нисходящими чистыми квинтами. Полутоновый генератор порождает хроматический круг , в то время как чистая кварта и чистая квинта порождают круг квинт. В большинстве других настроек, таких как в 31 равномерной темперации , в качестве генератора можно использовать гораздо больше интервалов, и в результате возможно гораздо больше кругов. ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$

Связь с хроматической гаммой

Круг квинт, нарисованный внутри хроматического круга в виде звездной додекаграммы . ^[30]

Круг квинт или кварт может быть отображен из хроматической гаммы путем умножения , и наоборот. Для отображения между кругом квинт и хроматической гаммой (в целочисленной нотации ) умножьте на 7 ( M7 ), а для круга кварт умножьте на 5 (P5).

В двенадцатитоновой равномерной темперации можно начать с упорядоченного двенадцатикортежа ( ряда тонов ) целых чисел:

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)

представляющие ноты хроматической гаммы: 0 = C, 2 = D, 4 = E, 5 = F, 7 = G, 9 = A, 11 = B, 1 = C ♯ , 3 = D ♯ , 6 = F ♯ , 8 = G ♯ , 10 = A ♯ . Теперь умножим всю двенадцатерку на 7:

(0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77)

и затем применяем сокращение по модулю 12 к каждому из чисел (вычитаем 12 из каждого числа столько раз, сколько необходимо, пока число не станет меньше 12):

(0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5)

что эквивалентно

(С, Соль, Ре, Ля, Ми, Си, Ф ♯ , С ♯ , Соль ♯ , Ре ♯ , Ля ♯ , Ф)

что есть квинтовый круг. Это энгармонически эквивалентно:

(С, Соль, Ре, А, Э, С, С ♭ , Д ♭ , А ♭ , Э ♭ , С ♭ , Ф).

Энгармонические эквиваленты, теоретические тональности и спираль квинт

Если энгармонические ноты не эквивалентны, как в случае просто интонации, квинты образуют спираль, а не круг.

Последовательность из двенадцати квинт на хроматическом круге не может замкнуться (размер зазора равен пифагорейской запятой ), в результате чего получается «разорванный» квинтовый круг.

Равномерно темперированные настройки не используют точное соотношение частот 3:2, которое определяет чистую квинту, тогда как просто интонирование использует это точное соотношение. Подъем по квинтам в равномерно темперированном строе приводит к возврату к начальному классу высоты тона — начиная с C и поднимаясь по квинтам, после определенного количества итераций приходит к другой C. Этого не происходит, если используется точное соотношение 3:2 (только интонирование). Корректировка, сделанная в равномерно темперированном строе, называется пифагорейской коммой . Из-за этой разницы высоты тона, которые энгармонически эквивалентны в равномерно темперированных строях (например, C ♯ и D ♭ в 12-тоновой равномерно темперированной строе или C ♯ и Dв 19 ​​равномерно темперированных строях ) не эквивалентны при использовании только интонации.

В простом интонировании последовательность квинт может быть визуализирована как спираль, а не круг — последовательность из двенадцати квинт приводит к " комма-насосу " пифагорейской коммы, визуализируемой как подъем на уровень в спирали. См. также § Замыкание круга в неравных системах настройки.

Без энгармонических эквивалентностей продолжение последовательности квинт приводит к нотам с двойными знаками альтерации (двойные диезы или двойные бемоли) или даже тройными или четверными знаками альтерации. В большинстве равнотемперированных строев их можно заменить энгармонически эквивалентными нотами.

Тональности с двойными или тройными диезами и бемолями в ключевых знаках называются теоретическими ; в 12-тоновой равномерной темперации они избыточны, поэтому их применение крайне редко, но если число нот в октаве не кратно 12, они различаются. Нотация в этих случаях не стандартизирована.

Поведение LilyPond по умолчанию (изображено выше) записывает одинарные диезы или бемоли в порядке квинтового круга, прежде чем перейти к двойным диезам или бемолям. Это формат, используемый в « A World Requiem » Джона Фулдса , соч. 60, ^[31], который заканчивается ключевой нотой G ♯ мажор, как показано выше. Диезы в ключевой ноте G ♯ мажор здесь следуют C ♯ , G ♯ , D ♯ , A ♯ , E ♯ , B ♯ , F.

Одиночные диезы или бемоли в ключевых знаках иногда повторяются в качестве любезности, например, « Приложение к теории модуляции» Макса Регера , которое содержит минорные ключевые знаки D ♭ на стр. 42–45. Они имеют B ♭ в начале, а также Bв конце (с символом дабл-бемоль), переходя к B ♭ , E ♭ , A ♭ , D ♭ , G ♭ , C ♭ , F ♭ , B. Соглашение ЛилиПонд и Фулдса подавило бы начальную B ♭ . Иногда двойные знаки пишутся в начале ключевого знака, за которыми следуют одинарные знаки. Например, ключевой знак F ♭ обозначается как B, E ♭ , A ♭ , D ♭ , G ♭ , C ♭ , F ♭ . Это соглашение используется Виктором Эвальдом ^[32] , программой Finale и некоторыми теоретическими работами.

Смотрите также

• Подход аккорда
• Сонатная форма
• Хороший темперамент
• Текстовая таблица квинтового круга
• Созвездие питча
• Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
• Умножение (музыка)
• Круг третей

Примечания

Ссылки

1. Майкл Пилхофер и Холли Дэй (23 февраля 2009 г.). «Квинтовый круг: краткая история», www.dummies.com.
2. Broekhuis, Rogier (2022-10-11). "Wheel of Fifths – Harmonic Function". Wheel of Fifths . Получено 2023-10-05 .
3. Наттиез 1990, стр. 225.
4. Голдман 1965, стр. 68.
5. Голдман 1965, глава 3.
6. Наттиез 1990, стр. 226.
7. Йенсен 1992, стр. 306–307
8. Иоганн Давид Хайнихен, Neu erfundene und gründliche Anweisung (1711), стр. 261
9. Барнетт 2002, стр. 444.
10. Лестер 1989, стр. 110–112.
11. Лердаль, Фред (2005). Тональное пространство высоты тона. Нью-Йорк: Oxford University Press. стр. 42. ISBN 0195178297.
12. «Полное руководство по квинтовому кругу!». 17 января 2021 г.
13. «Квинтовый круг прояснен».
14. «Чайники — легкое обучение».
15. Фрейзер, Питер А. (2001), Развитие музыкальных систем настройки (PDF) , стр. 9, 13, архивировано из оригинала (PDF) 1 июля 2013 г. , извлечено 24 мая 2020 г.
16. Дамбрилл, Ричард Дж. (2005). Археомузыкология Древнего Ближнего Востока . Виктория, Британская Колумбия, стр. 18. ISBN 978-1412055383.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
17. Уиттолл, А. (2002, стр. 259) «Circle of Fifths», статья в Latham, E. (ред.) The Oxford Companion to Music . Oxford University Press.
18. Тарускин 2010, стр. 184.
19. Тарускин 2010, стр. 188.
20. Скрутон, Р. (2016, стр. 121) Кольцо истины: мудрость «Кольца нибелунга» Вагнера . Лондон, Аллен Лейн.
21. Джоя 2012, стр. 115.
22. Джоя 2012, стр. 16.
23. Скотт, Ричард Дж. (2003, стр. 123) Последовательности аккордов для авторов песен . Блумингтон, Индиана, Writers Club Press.
24. Костка, Стефан ; Пейн, Дороти; Альмен, Байрон (2013). Тональная гармония с введением в музыку двадцатого века (7-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 46, 238. ISBN 978-0-07-131828-0.
25. «You Never Give Me Your Money» (1989, стр. 1099–1100, такты 1–16) The Beatles Complete Scores . Хэл Леонард.
26. Оукс, Тим (июнь 1980 г.). «Майк Олдфилд». International Musician and Recording World . Получено 19 февраля 2021 г. – через Tubular.net.
27. Фекарис, Д. и Перрен, Ф. Дж. (1978) «Я выживу». Polygram International Publishing.
28. Теннант, Н. и Лоу, К. (1987, такты 1–8) «It’s a Sin». Sony/ATV Music Publishing (UK) Ltd.
29. Мородер, Г. , Беллоте, П. и Саммер, Д. (1975, такты 11–14) «Люблю любить тебя, детка» 1976, Bulle Music
30. Маккартин 1998, стр. 364.
31. "Фоулдс, Джон, Всемирный реквием, соч. 60, стр. 153 и далее".
32. "Эвальд, Виктор, Квинтет № 4 в A-бемоль мажор, соч. 8 для духового квинтета [211.01]".

Источники

• Барнетт, Грегори (2002). «Тональная организация в музыкальной теории семнадцатого века». В Томасе Кристенсене (ред.). Кембриджская история западной музыкальной теории . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 407–455.
• Джойя, Тед (2012). Джазовые стандарты: путеводитель по репертуару . Oxford University Press. ISBN 9780199769155.
• Голдман, Ричард Франко (1965). Гармония в западной музыке . Нью-Йорк: WW Norton.
• Дженсен, Клаудия Р. (лето 1992 г.). «Теоретическая работа о поздней Московии семнадцатого века: «Грамматика» Николая Дилецкого и самый ранний круг квинт». Журнал Американского музыковедческого общества . 45 (2): 305–331. doi :10.2307/831450. JSTOR  831450.
• Лестер, Джоэл (1989). Между ладами и тональностями: немецкая теория 1592–1802 гг . Stuyvesant: Pendragon Press.
• McCartin, Brian J. (ноябрь 1998 г.). «Прелюдия к музыкальной геометрии». The College Mathematics Journal . 29 (5): 354–370. doi :10.1080/07468342.1998.11973971. JSTOR  2687250. Архивировано из оригинала 2008-05-17 . Получено 2008-07-29 .
• Nattiez, Jean-Jacques (1990). Music and Discourse: Toward a Semiology of Music , перевод Carolyn Abbate. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-02714-5 . (Первоначально опубликовано на французском языке как Musicologie générale et sémiologie . Paris: C. Bourgois, 1987. ISBN 2-267-00500-X ).  
• Тарускин, Ричард (2010). Оксфордская история западной музыки: музыка в семнадцатом и восемнадцатом веках . Oxford University Press.

Дальнейшее чтение

• Д'Инди, Винсент (1903). Курс музыкальной композиции . Париж: А. Дюран и др.
• Лестер, Джоэл. Между ладами и тональностями: немецкая теория, 1592–1802. 1990.
• Миллер, Майкл. Полное руководство по теории музыки для идиотов, 2-е изд. [Индианаполис, Индиана]: Alpha, 2005. ISBN 1-59257-437-8 . 
• Purwins, Hendrik (2005). «Профили классов высоты тона: цикличность относительной высоты тона и тональности — эксперименты, модели, компьютерный анализ музыки и перспективы». Кандидатская диссертация. Берлин: Технический университет Берлина .
• Purwins, Hendrik, Benjamin Blankertz и Klaus Obermayer (2007). «Тороидальные модели в тональной теории и анализе класса высоты тона». в: Computing in Musicology 15 («Тональная теория для цифровой эпохи»): 73–98.

Внешние ссылки

• Расшифровка Круга Vths
• Интерактивный круг квинт
• Интерактивный инструмент для сочинения квинтового круга
• Интерактивный квинтовый круг для гитаристов