Круговая орбита

Орбита с фиксированным расстоянием от барицентра

Пушечное ядро ​​Исаака Ньютона . Путь C изображает круговую орбиту.

Круговая орбита — это орбита с фиксированным расстоянием вокруг барицентра ; то есть в форме круга . В этом случае не только расстояние, но и скорость, угловая скорость , потенциальная и кинетическая энергия постоянны. Перицентра или апоцентра нет. Эта орбита не имеет радиальной версии .

Ниже приведена круговая орбита в астродинамике или небесной механике при стандартных предположениях. Здесь центростремительная сила — это сила тяготения , а упомянутая выше ось — это линия, проходящая через центр центральной массы перпендикулярно плоскости орбиты .

Круговое ускорение

Поперечное ускорение ( перпендикулярное скорости) вызывает изменение направления. Если оно постоянно по величине и меняется по направлению со скоростью, возникает круговое движение . Взяв две производные от координат частицы по времени, получим центростремительное ускорение

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}}$

где:

• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$радиус окружности​
• ${\displaystyle \omega \ }$— угловая скорость , измеряемая в радианах за единицу времени.

Формула безразмерна , описывая отношение, верное для всех единиц измерения, применяемых равномерно по всей формуле. Если численное значение измеряется в метрах в секунду в квадрате, то числовые значения будут в метрах в секунду, в метрах и в радианах в секунду. ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle \omega \ }$

Скорость

Скорость (или величина скорости) относительно центрального объекта постоянна: ^{[1] : 30}

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}}$

где:

• ${\displaystyle G}$, - гравитационная постоянная
• ${\displaystyle M}$, представляет собой массу обоих вращающихся тел , хотя в обычной практике, если большая масса значительно больше, то меньшая масса часто пренебрегается, что вносит минимальные изменения в результат. ${\displaystyle (M_{1}+M_{2})}$
• ${\displaystyle \mu =GM}$, — стандартный гравитационный параметр .

Уравнение движения

Уравнение орбиты в полярных координатах, которое в общем случае выражает r через θ , сводится к следующему: ^{[ необходимо пояснение ] [ необходима ссылка ]}

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}}$

где:

• ${\displaystyle h=rv}$— удельный момент импульса вращающегося тела.

Это потому что ${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

Угловая скорость и период обращения

${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu }$

Следовательно, орбитальный период ( ) можно вычислить как: ^{[1] : 28} ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

Сравните две пропорциональные величины: время свободного падения (время падения до состояния точечной массы из состояния покоя)

${\displaystyle T_{\text{ff}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(17,7% орбитального периода на круговой орбите)

и время падения до точки массы на радиальной параболической орбите

${\displaystyle T_{\text{par}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$(7,5% орбитального периода на круговой орбите)

Тот факт, что формулы отличаются только постоянным множителем, априори ясен из размерного анализа . ^{[ необходима ссылка ]}

Энергия

Круговая орбита изображена в верхнем левом квадранте этой диаграммы, где гравитационный потенциальный колодец центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия орбитальной скорости показана красным цветом. Высота кинетической энергии остается постоянной на протяжении всей круговой орбиты с постоянной скоростью.

Удельная орбитальная энергия ( ) отрицательна, и ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

Таким образом, теорема вириала ^{[1] : 72} применима даже без учета среднего по времени: ^{[ необходима ссылка ]}

• кинетическая энергия системы равна абсолютному значению полной энергии
• потенциальная энергия системы равна удвоенной полной энергии

Скорость убегания с любого расстояния равна √ 2 скорости на круговой орбите на этом расстоянии: кинетическая энергия в два раза больше, следовательно, полная энергия равна нулю. ^{[ необходима цитата ]}

Дельта-v для выхода на круговую орбиту

Маневрирование на большую круговую орбиту, например, геостационарную орбиту , требует большего значения delta-v, чем орбита ухода , хотя последняя подразумевает перемещение на произвольное расстояние и наличие большего количества энергии, чем необходимо для орбитальной скорости круговой орбиты. Это также вопрос маневрирования на орбиту. См. также орбита перехода Хохмана .

Орбитальная скорость в общей теории относительности

В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты с радиусом определяется следующей формулой: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

где - радиус Шварцшильда центрального тела. ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

Вывод

Для удобства вывод будет записан в единицах, в которых . ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$

Четырехскорость тела на круговой орбите определяется по формуле :

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

( постоянна на круговой орбите, а координаты можно выбрать так, что ). Точка над переменной обозначает вывод относительно собственного времени . ${\displaystyle \scriptstyle r}$ ${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$

Для массивной частицы компоненты четырехскорости удовлетворяют следующему уравнению:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1}$

Используем геодезическое уравнение:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0}$

Единственное нетривиальное уравнение — это уравнение для . Оно дает: ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

Из этого получаем:

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

Подставляя это в уравнение для массивной частицы, получаем:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1}$

Следовательно:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

Предположим, что у нас есть наблюдатель на радиусе , который не движется относительно центрального тела, то есть его 4-скорость пропорциональна вектору . Условие нормировки подразумевает, что он равен: ${\displaystyle \scriptstyle r}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

Скалярное произведение четырехскоростей наблюдателя и движущегося по орбите тела равно гамма-фактору для движущегося по орбите тела относительно наблюдателя, следовательно :

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

Это дает скорость :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

Или в единицах СИ:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

В верхней части диаграммы спутник на круговой орбите по часовой стрелке (желтое пятно) запускает объекты незначительной массы:
(1 - синий) к Земле,
(2 - красный) от Земли,
(3 - серый) в направлении движения и
(4 - черный) назад по направлению движения.

Пунктирные эллипсы - это орбиты относительно Земли. Сплошные кривые - это возмущения относительно спутника: на одной орбите (1) и (2) возвращаются к спутнику, сделав петлю по часовой стрелке с обеих сторон спутника. Неинтуитивно, (3) закручивается все дальше и дальше назад, тогда как (4) закручивается вперед.

Смотрите также

• Эллиптическая орбита
• Список орбит
• Задача двух тел

Ссылки

1. Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability . New York, NY, USA: Cambridge University Press. стр. 604. ISBN 9781108411981.