Циклотомное поле

В теории чисел круговое поле — числовое поле , полученное присоединением комплексного корня из единицы к $Q$ — полю рациональных чисел .

Циклотомные поля сыграли решающую роль в развитии современной алгебры и теории чисел из-за их связи с Великой теоремой Ферма . Именно в процессе своих глубоких исследований арифметики этих полей (для простых $n$ ) – а точнее, из-за невозможности однозначной факторизации в их кольцах целых чисел – Эрнст Куммер впервые ввел понятие идеального числа и доказал свои знаменитые совпадения .

Определение

Для $n \geq 1$ пусть $ζ n = e 2π i / n \in C$ ; это примитивный корень $n-$ й степени из единицы. Тогда $n-$ е круговое поле является расширением $Q (ζ n)$ поля $Q$ , порожденным $ζ n$ .

Характеристики

n $-$ й круговой полином

\Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(xe ^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x- { \zeta _{n}}^{k})

неприводим , поэтому это

минимальный

многочлен от

ζ

n над

Q.

Таким образом , сопряженные ζ n $в$ C $являются$ другими примитивными корнями $n- й степени$ $из единицы:$ $ζ$ $к н$ для $1 \leq k \leq n$ с $НОД(k, n) = 1$ .
Таким образом, степень Q (ζ n) равна [ Q ( $ζ n) :$ $Q] = deg Φ n = φ (n), где$ φ $—$ полная функция Эйлера .
Корни x $n$ $- 1$ являются степенями $ζ$ $n$ , поэтому $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ является полем расщепления $x$ $n$ $-$ $1$ (или Φ $($ $x$ $)$ ) над $Q$ .
Следовательно, $Q (ζ n)$ является расширением Галуа $Q$ .
Группа Галуа естественным образом изоморфна мультипликативной группе , которая состоит из обратимых вычетов по модулю $n$ , которые являются вычетами $a$ $mod$ $n$ с $1 \leq$ $a$ $\leq$ $n$ и $НОД($ $a$ $,$ $n$ $) = 1$ . Изоморфизм отправляет каждого из них по $модулю$ $n$ , где $a$ — целое число такое, что $σ$ $(ζ$ $n$ ) = $ζ$ $\operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q})$ $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z})^{\times }$ $\sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q})$ $н_$ .
Кольцо целых чисел Q $(ζ$ $n$ $)$ $—$ это $Z [ζ n]$ .
При $n > 2$ дискриминант расширения $Q$ $(ζ$ $n$ $)/$ $Q$ равен [ 1 ^]

(-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi ( п)/(p-1)}}}.

В частности, $Q (ζ n)/ Q$ неразветвлено выше любого простого числа, не делящего $n$ .
Если $n$ — степень простого числа $p$ , то $Q (ζ n)/ Q$ полностью разветвлено выше $p$ .
Если $q$ — простое число, не делящее $n$ , то элемент Фробениуса соответствует остатку $q$ в . $\operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q})$ $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z})^{\times }$
Группа корней из единицы в $Q (ζ n)$ имеет порядок $n$ или $2 n$ в зависимости от того, четно или нечетно $n .$
Единичная группа $Z [ζ n] \times$ является конечно порожденной абелевой группой ранга $φ (n)/2 - 1$ для любого $n > 2$ по теореме Дирихле о единице . В частности, $Z [ζ n] \times$ конечно только для $n \in {1, 2, 3, 4, 6$ }. Периодическая подгруппа группы $Z [ζn] \times —$ это группа корней из единицы в $Q (ζn),$ описанная в предыдущем пункте. Циклотомические единицы образуют явную подгруппу конечного индекса группы $Z$ $[ζ$ $n$ $]$ $\times$ .
Теорема Кронекера –Вебера утверждает, что каждое $конечное абелево расширение Q$ в C содержится в $Q$ ( $ζ$ $n$ $)$ $для$ некоторого $n$ . Эквивалентно, объединение всех круговых полей $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ является максимальным абелевым расширением $Q$ $ab$ поля $Q$ .

Связь с правильными многоугольниками

Гаусс сделал первые шаги в теории круговых полей в связи с проблемой построения правильного $n$ -угольника с помощью циркуля и линейки . Его удивительный результат, ускользнувший от его предшественников, заключался в том, что таким образом можно было построить правильный 17-угольник . В более общем смысле, для любого целого числа $n \geq 3$ следующие условия эквивалентны:

правильный $n$ -угольник конструктивен;
существует последовательность полей, начинающаяся с $Q$ и заканчивающаяся $Q (ζ n)$ , такая, что каждое является квадратичным расширением предыдущего поля;
$φ (n)$ — степень 2 ;
$n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ для некоторых целых чисел $a, r \geq 0$ и простых чисел Ферма . (Простое число Ферма — это нечетное простое число $p$ такое, что $p$ $- 1$ является степенью двойки. Известные простые числа Ферма — это 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , и вполне вероятно, что других нет.) $p_{1},\ldots,p_{r}$

Небольшие примеры

$n = 3$ и $n = 6$ : уравненияипоказывают, что $Q$ $(ζ$ $3$ $) =$ $Q$ $(ζ$ $6$ $) =$ $Q$ $($ $\sqrt$ $-3$ $)$ , что является квадратичным расширением $Q$ . Соответственно, правильный 3-угольник и правильный 6-угольник конструктивны. $\zeta _{3}={\tfrac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ $\zeta _{6}={\tfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$
$n = 4$ : Аналогично, $ζ 4 = i$ , поэтому $Q (ζ 4) = Q (i)$ и правильный 4-угольник можно построить.
$n = 5$ : Поле $Q (ζ 5)$ не является квадратичным расширением $Q$ , но является квадратичным расширением квадратичного расширения $Q (\sqrt 5)$ , поэтому правильный 5-угольник можно построить.

Связь с Великой теоремой Ферма

Естественный подход к доказательству Великой теоремы Ферма состоит в том, чтобы факторизовать бином $xn + yn,$ где $n$ — нечетное простое число, входящее в одну часть уравнения Ферма $.$

x^{n}+y^{n}=z^{n}

следующее:

x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\cdots (x+\zeta ^{n-1}y)

Здесь $x$ и $y$ — обычные целые числа, тогда как множители — целые алгебраические числа в круговом поле $Q (ζ n)$ . Если в круговых целых числах $Z$ $[$ $ζ$ $n$ $] выполняется$ уникальная факторизация , то ее можно использовать, чтобы исключить существование нетривиальных решений уравнения Ферма.

Несколько попыток решить Великую теорему Ферма предпринимались в этом направлении, и как доказательство Ферма для $n = 4$ , так и доказательство Эйлера для $n = 3$ можно переформулировать в этих терминах. Полный список $n$ , для которых $Q (ζ n)$ имеет уникальную факторизацию, равен ^[2]

С 1 по 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Куммер нашел способ справиться с ошибкой уникальной факторизации. Он ввел замену простых чисел в круговых целых числах $Z [ζ n]$ , измерил неспособность однозначной факторизации через номер класса $h n$ и доказал, что если $h p$ не делится на простое число $p$ (такие $p$ называются регулярными простыми числами ) то теорема Ферма верна для показателя $n = p$ . Более того, он дал критерий определения того, какие простые числа являются правильными, и установил теорему Ферма для всех простых чисел $p$ меньше 100, за исключением неправильных простых чисел 37 , 59 и 67 . Работа Куммера о сравнениях чисел классов круговых полей была обобщена в двадцатом веке Ивасавой в теории Ивасавы, а также Куботой и Леопольдтом в их теории p -адических дзета-функций .

Список номеров классов круговых полей

(последовательность A061653 в OEIS ), или OEIS : A055513 или OEIS : A000927 для -части (для простого числа n ) $ч$

1-22:1
23:3
24-28:1
29:8
30:1
31:9
32-36:1
37:37
38:1
39:2
40:1
41:121
42:1
43:211
44:1
45:1
46:3
47:695
48:1
49:43
50:1
51:5
52:3
53:4889
54:1
55:10
56:2
57:9
58:8
59:41241
60:1
61:76301
62:9
63:7
64:17
65:64
66:1
67:853513
68:8
69:69
70:1
71:3882809
72:3
73:11957417
74:37
75:11
76:19
77:1280
78:2
79:100146415
80:5
81:2593
82:121
83:838216959
84:1
85:6205
86:211
87:1536
88:55
89:13379363737
90:1
91:53872
92:201
93:6795
94:695
95:107692
96:9
97: 411322824001
98:43
99:2883
100:55
101:3547404378125
102:5
103:9069094643165
104:351
105:13
106:4889
107:63434933542623
108:19
109:161784800122409
110:10
111:480852
112:468
113:1612072001362952
114:9
115:44697909
116:10752
117:132678
118:41241
119:1238459625
120:4
121:12188792628211
122:76301
123:8425472
124:45756
125:57708445601
126:7
127:2604529186263992195
128:359057
129:37821539
130:64
131: 28496379729272136525
132:11
133:157577452812
134:853513
135:75961
136:111744
137:646901570175200968153
138:69
139:1753848916484925681747
140:39
141:1257700495
142:3882809
143:36027143124175
144:507
145:1467250393088
146:11957417
147:5874617
148:4827501
149:687887859687174720123201
150:11
151:2333546653547742584439257
152:1666737
153:2416282880
154:1280
155: 84473643916800
156:156
157:56234327700401832767069245
158:100146415
159:223233182255
160:31365

Смотрите также

дальнейшее чтение

Коутс, Джон ; Суджата, Р. (2006). Циклотомные поля и дзета-значения . Монографии Спрингера по математике. Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-33068-2. Збл 1100.11002.
Вайсштейн, Эрик В. «Циклотомное поле». Математический мир .
«Циклотомное поле», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
О кольце целых вещественных круговых полей. Кодзи Ямагата и Масакадзу Ямагиси: Учебник, Японская академия, 92. Сера (2016)