Кубическая плоская кривая

Тип математической кривой

Выборка кубических кривых. Щелкните изображение, чтобы увидеть информационную страницу для получения подробной информации.

В математике кубическая плоская кривая — это плоская алгебраическая кривая C, определяемая кубическим уравнением

⁠ ⁠ ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$

примененный к однородным координатам ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x:y:z)}$ для проективной плоскости ; или неоднородная версия для аффинного пространства , определяемая установкой z = 1 в таком уравнении. Здесь F — ненулевая линейная комбинация мономов третьей степени

⁠ ⁠ ${\displaystyle x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz}$

Их десять; поэтому кубические кривые образуют проективное пространство размерности 9 над любым заданным полем K. Каждая точка P накладывает одно линейное условие на F , если мы попросим, ​​чтобы C проходило через P. Следовательно, мы можем найти некоторую кубическую кривую через любые девять заданных точек, которая может быть вырожденной и может не быть уникальной, но будет уникальной и невырожденной, если точки находятся в общем положении ; сравните с двумя точками, определяющими прямую, и тем, как пять точек определяют конику . Если две кубики проходят через заданный набор из девяти точек, то на самом деле пучок кубик проходит, и точки удовлетворяют дополнительным свойствам; см. теорему Кэли–Бахараха .

Сингулярная кубическая функция y ² = x ² ⋅ ( x + 1) . Параметризация задается как t ↦ ( t ² – 1, t ⋅ ( t ² – 1)) .

Кубическая кривая может иметь особую точку , в этом случае она имеет параметризацию в терминах проективной прямой . В противном случае известно, что неособая кубическая кривая имеет девять точек перегиба над алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа . Это можно показать, взяв однородную версию матрицы Гессе , которая снова определяет кубику, и пересечь ее с C ; затем пересечения подсчитываются по теореме Безу . Однако только три из этих точек могут быть действительными, так что остальные нельзя увидеть в действительной проективной плоскости, рисуя кривую. Девять точек перегиба неособой кубики обладают тем свойством, что каждая линия, проходящая через две из них, содержит ровно три точки перегиба.

Действительные точки кубических кривых изучались Исааком Ньютоном . Действительные точки невырожденной проективной кубики попадают в один или два «овала». Один из этих овалов пересекает каждую действительную проективную прямую и, таким образом, никогда не ограничен, когда кубика рисуется на евклидовой плоскости ; он выглядит как одна или три бесконечные ветви, содержащие три действительные точки перегиба. Другой овал, если он существует, не содержит никакой действительной точки перегиба и выглядит либо как овал, либо как две бесконечные ветви. Как и для конических сечений , линия пересекает этот овал максимум в двух точках.

Неособая плоская кубика определяет эллиптическую кривую над любым полем K , для которого она имеет определенную точку. Эллиптические кривые теперь обычно изучаются в некотором варианте эллиптических функций Вейерштрасса , определяя квадратичное расширение поля рациональных функций, сделанное путем извлечения квадратного корня из кубика. Это зависит от наличия K - рациональной точки , которая служит точкой на бесконечности в форме Вейерштрасса. Существует много кубических кривых, которые не имеют такой точки, например, когда K - поле рациональных чисел .

Особые точки неприводимой плоской кубической кривой весьма ограничены: одна двойная точка или один касп . Приводимая плоская кубическая кривая является либо коникой и прямой, либо тремя прямыми, и соответственно имеет две двойные точки или такноду (если коникой и прямой), или до трех двойных точек или одну тройную точку ( конкурирующие прямые ), если три прямые.

Кубические кривые в плоскости треугольника

Предположим, что △ ABC — треугольник со сторонами Относительно △ ABC многие именованные кубики проходят через известные точки. В примерах, показанных ниже, используются два вида однородных координат: трилинейные и барицентрические . ${\displaystyle a=|BC|,}$ ${\displaystyle b=|CA|,}$ ${\displaystyle c=|AB|.}$

Чтобы преобразовать трилинейное уравнение в барицентрическое в кубическом уравнении, выполните следующую замену:

${\displaystyle x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;}$

для преобразования из барицентрического в трилинейный используйте

${\displaystyle x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.}$

Многие уравнения для кубических имеют вид

${\displaystyle f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.}$

В приведенных ниже примерах такие уравнения записаны более кратко в «циклической суммарной записи», например так:

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0}$.

Кубики, перечисленные ниже, можно определить в терминах изогонального сопряжения , обозначаемого X* , точки X, не лежащей на боковой линии △ ABC . Далее следует построение X* . Пусть L _A будет отражением прямой XA относительно внутренней биссектрисы угла A , и аналогично определим L _B и L _C . Тогда три отраженные прямые пересекаются в точке X* . В трилинейных координатах, если , то ${\displaystyle X=x:y:z,}$ ${\displaystyle X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.}$

Нойберг кубический

Кубическая кривая Нойберга треугольника △ ABC : геометрическое место точек X , такое, что если X _A , X _B , X _C являются точками, симметричными X относительно сторон BC, CA, AB , то прямые AX _A , BX _B , CX _C пересекаются в одной точке.

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

Кубик Нойберга (названный в честь Жозефа Жана Батиста Нойберга ) — это геометрическое место точек X, таких, что X* находится на прямой EX , где E — это точка бесконечности Эйлера ( X (30) в Энциклопедии центров треугольников ). Кроме того, этот кубик — это геометрическое место точек X, таких, что треугольник △ X _A X _B X _C является перспективным по отношению к △ ABC , где △ X _A X _B X _C — это отражение X относительно прямых BC, CA, AB соответственно .

Кубик Нойберга проходит через следующие точки: инцентр , центр описанной окружности , ортоцентр , обе точки Ферма , обе изодинамические точки , точку бесконечности Эйлера, другие центры треугольников, центры вневписанных окружностей, точки симметрии A, B, C относительно сторон треугольника △ ABC и вершины шести равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника △ ABC .

Графическое представление и обширный список свойств кубики Нойберга см. в K001 книги Берхарда Жиберта «Кубики на плоскости треугольника».

Томсон кубический

Пример кубики Томсона (черная кривая). X находится на кубике, так что изогональное сопряжение X ( X ′) находится на прямой X (2) – X .

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

Кубик Томсона — это геометрическое место точек X, таких, что X* находится на прямой GX , где G — центр тяжести.

Кубик Томсона проходит через следующие точки: инцентр, центроид, центр описанной окружности, ортоцентр, точку симедиан, другие центры треугольников, вершины A, B, C, центры вневписанных окружностей, середины сторон BC, CA, AB и середины высот △ ABC . Для каждой точки P на кубике, но не на боковой линии кубика, изогональное сопряжение P также находится на кубике.

Графики и свойства см. в K002 в разделе Кубики в плоскости треугольника.

Дарбу кубический

Кубик Дарбу треугольника △ ABC : геометрическое место точек X , такое, что если D, E, F — основания перпендикуляров из X к сторонам BC, CA, AB , то прямые AD, BE, CF пересекаются в одной точке.

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

Кубика Дарбу — это геометрическое место точек X, таких, что X* лежит на прямой LX , где L — точка де Лоншана . Кроме того, эта кубика — это геометрическое место точек X , таких, что педальный треугольник X является чевианом некоторой точки (которая лежит на кубике Люка). Кроме того, эта кубика — это геометрическое место точек X , таких, что педальный треугольник X и антицевиан X являются перспективными; перспектива лежит на кубике Томсона.

Кубик Дарбу проходит через инцентр, центр описанной окружности, ортоцентр, точку Лоншана, другие центры треугольников, вершины A, B, C, центры вневписанных окружностей и антиподы A, B, C на описанной окружности. Для каждой точки P на кубике, но не на боковой линии кубика, изогональное сопряжение P также находится на кубике.

Для получения графических сведений и сведений о свойствах см. K004 в разделе Кубики в плоскости треугольника.

Кубическая система Наполеона–Фейербаха

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

Кубика Наполеона–Фейербаха — это геометрическое место точек X*, лежащих на прямой NX , где N — центр девяти точек ( N = X (5) в Энциклопедии центров треугольников ).

Кубик Наполеона–Фейербаха проходит через инцентр, центр описанной окружности, ортоцентр, первую и вторую точки Наполеона, другие центры треугольников, вершины A, B, C, центры вневписанных окружностей, проекции центроида на высоты и центры 6 равносторонних треугольников, построенных на сторонах △ ABC .

Графику и свойства см. в K005 в разделе Кубики в треугольной плоскости.

Лукас кубический

Кубик Люка треугольника △ ABC : геометрическое место точек X , таких что чевианский треугольник X является педальным треугольником некоторой точки X' ; точка X' лежит на кубике Дарбу.

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Кубик Люка — это геометрическое место точек X, таких, что чевианский треугольник точки X является педальным треугольником некоторой точки; точка лежит на кубике Дарбу.

Кубик Люка проходит через центроид, ортоцентр, точку Жергонна, точку Нагеля, точку де Лоншана, другие центры треугольников, вершины антикомплементарного треугольника и фокусы окружности Штейнера.

Для получения графических изображений и свойств см. K007 в разделе Кубики в плоскости треугольника.

1-й кубик Брокара

Первая кубическая грань Брокара: Это геометрическое место точек X, таких, что пересечения XA', XB', XC' со сторонами BC, CA, CB, где △ A'B'C' — первый треугольник Брокара треугольника △ ABC , лежат на одной прямой. На рисунке Ω и Ω′ — первая и вторая точки Брокара.

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

Пусть △ A'B'C' — первый треугольник Брокара. Для произвольной точки X пусть X _A , X _B , X _C — пересечения прямых XA′, XB′, XC′ со сторонами BC, CA, AB соответственно. Первая кубика Брокара — это геометрическое место точек X, для которых точки X _A , X _B , X _C лежат на одной прямой.

Первая кубика Брокара проходит через центроид, точку симедиан, точку Штейнера, другие центры треугольников и вершины первого и третьего треугольников Брокара.

Для получения графических изображений и свойств см. K017 в разделе Кубики в плоскости треугольника.

2-й куб Брокара

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0}$

Вторая кубика Брокара — это геометрическое место точек X , для которых полюс прямой XX* в описанной конике, проходящей через X и X*, лежит на линии центра описанной окружности и точки симедианы (т. е. оси Брокара). Кубика проходит через центроид, точку симедианы, обе точки Ферма, обе изодинамические точки, точку Парри, другие центры треугольников и вершины 2-го и 4-го треугольников Брокара.

Графику и свойства см. в K018 в разделе Кубики в плоскости треугольника.

1-й кубический равновеликий

Первая равновеликая кубическая фигура треугольника △ ABC : геометрическое место точек X , таких, что площадь чевианского треугольника X равна площади чевианского треугольника X* .

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}$

Первая равновеликая кубика — это геометрическое место точек X , таких, что площадь чевианского треугольника X равна площади чевианского треугольника X* . Кроме того, эта кубика — это геометрическое место точек X , для которых X* находится на прямой S*X , где S — точка Штейнера. ( S = X (99) в Энциклопедии центров треугольников ).

Первая равновеликая кубическая окружность проходит через инцентр, точку Штейнера, центры других треугольников, первую и вторую точки Брокара и центры вневписанных окружностей.

Графику и свойства см. в K021 в разделе Кубики в плоскости треугольника.

2-й кубический равновеликий

Трилинейное уравнение: ${\displaystyle (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)}$

Барицентрическое уравнение: ${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0}$

Для любой точки (трилинейки) пусть и Вторая равновеликая кубическая функция — это геометрическое место точек X , такое, что площадь чевианского треугольника точки X _Y равна площади чевианского треугольника точки X _Z . ${\displaystyle X=x:y:z}$ ${\displaystyle X_{Y}=y:z:x}$ ${\displaystyle X_{Z}=z:x:y.}$

Вторая равновеликая кубическая треугольная окружность проходит через инцентр, центроид, точку симедианы и точки в Энциклопедии центров треугольников, проиндексированные как X (31), X (105), X (238), X (292), X ( 365), X (672), X (1453), X (1931), X (2053) и другие.

Графику и свойства см. в K155 в разделе Кубики в плоскости треугольника.

Смотрите также

• Теорема Кэли–Бахараха о пересечении двух кубических плоских кривых
• Скрученная кубическая кривая , кубическая пространственная кривая
• Эллиптическая кривая
• Ведьма Агнеси
• Каталог треугольных кубиков

Ссылки

• Бикс, Роберт (1998), Конические и кубические сечения: конкретное введение в алгебраические кривые , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-98401-1.
• Серин, Звонко (1998), «Свойства локуса кубики Нойберга», Журнал геометрии , 63 (1–2): 39–56, doi :10.1007/BF01221237, S2CID  116778499.
• Серин, Звонко (1999), «О кубической системе Наполеона», Журнал геометрии , 66 (1–2): 55–71, doi :10.1007/BF01225672, S2CID  120174967.
• Канди, Х. М. и Парри, Сирил Ф. (1995), «Некоторые кубические кривые, связанные с треугольником», Журнал геометрии , 53 (1–2): 41–66, doi :10.1007/BF01224039, S2CID  122633134.
• Канди, Х. М. и Парри, Сирил Ф. (1999), «Геометрические свойства некоторых эйлеровых и круговых кубик (часть 1)», Журнал геометрии , 66 (1–2): 72–103, doi :10.1007/BF01225673, S2CID  119886462.
• Канди, Х. М. и Парри, Сирил Ф. (2000), «Геометрические свойства некоторых эйлеровых и круговых кубик (часть 2)», Журнал геометрии , 68 (1–2): 58–75, doi :10.1007/BF01221061, S2CID  126542269.
• Эрманн, Жан-Пьер и Жибер, Бернар (2001), «Конфигурация Морли», Forum Geometricorum , 1 : 51–58..
• Эрманн, Жан-Пьер и Жибер, Бернар (2001), «Кубик Симсона», Forum Geometricorum , 1 : 107–114..
• Жибер, Бернар (2003), «Ортосоответствие и ортоопорные кубики», Forum Geometricorum , 3 : 1–27.
• Кимберлинг, Кларк (1998), «Центры треугольников и центральные треугольники», Congressus Numerantium , 129 : 1–295. См. Главу 8 для кубических уравнений.
• Кимберлинг, Кларк (2001), «Кубики, связанные с треугольниками равной площади», Forum Geometricorum , 1 : 161–171.
• Ланг, Фред (2002), «Геометрия и групповые структуры некоторых кубик», Forum Geometricorum , 2 : 135–146.
• Пинкернелл, Гвидо М. (1996), «Кубические кривые в плоскости треугольника», Журнал геометрии , 55 (1–2): 142–161, doi :10.1007/BF01223040, S2CID  123411561.
• Салмон, Джордж (1879), Высшие плоские кривые (3-е изд.), Дублин: Ходжес, Фостер и Фиггис.

Внешние ссылки

• Каталог кривых кубической плоскости (архивная версия)
• Точки на кубиках
• Кубики в треугольной плоскости
• Специальные изокубики в плоскости треугольника (pdf), Жан-Пьер Эрманн и Бернар Жибер
• «Действительные и комплексные кубические кривые — Джон Милнор, Университет Стоуни-Брук [2016]». YouTube . Graduate Mathematics. 27 июня 2018 г.лекция в июле 2016 г., ICMS, Эдинбург на конференции в честь 70-летия Дузы Макдафф