Кубическая взаимность

Условия, при которых сравнение x^3 равно p (mod q) разрешимо

Кубическая взаимность — это сборник теорем элементарной и алгебраической теории чисел , которые устанавливают условия, при которых сравнение x ³  ≡  p  (mod  q ) разрешимо; слово «взаимность» происходит от формы основной теоремы, которая гласит, что если p и q — простые числа в кольце целых чисел Эйзенштейна , оба взаимно простые с 3, то сравнение x ³ ≡ p (mod q ) разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо сравнение x ³ ≡ q (mod p ).

История

Где-то до 1748 года Эйлер выдвинул первые предположения о кубическом вычете малых целых чисел, но они были опубликованы только в 1849 году, через 62 года после его смерти. ^[1]

В опубликованных работах Гаусса кубические вычеты и взаимность упоминаются трижды: один результат, относящийся к кубическим вычетам, содержится в Disquisitiones Arithmeticae (1801). ^[2] Во введении к пятому и шестому доказательствам квадратичной взаимности (1818) ^[3] он сказал, что публикует эти доказательства, потому что их методы ( лемма Гаусса и гауссовы суммы соответственно) могут быть применены к кубической и биквадратичной взаимности. Наконец, в сноске во второй (из двух) монографии о биквадратичной взаимности (1832) говорится, что кубическая взаимность проще всего описывается в кольце целых чисел Эйзенштейна. ^[4]

Из его дневника и других неопубликованных источников следует, что Гаусс знал правила кубического и четвертого вычета целых чисел к 1805 году и открыл полноценные теоремы и доказательства кубической и биквадратной взаимности около 1814 года. ^{[5] [6]} Доказательства этих теорем были найдены в его посмертных работах, но неясно, принадлежат ли они ему или Эйзенштейну. ^[7]

Якоби опубликовал несколько теорем о кубическом вычете в 1827 году, но не привел доказательств. ^[8] В своих Кенигсбергских лекциях 1836–37 годов Якоби представил доказательства. ^[7] Первые опубликованные доказательства были получены Эйзенштейном (1844). ^{[9] [10] [11]}

Целые числа

Кубический вычет (mod p ) — это любое число, сравнимое с третьей степенью целого числа (mod p ). Если x ³ ≡ a (mod p ) не имеет целочисленного решения, a — кубический невычет (mod p ). ^[12]

Кубические вычеты обычно определяются только по модулю n таким образом, что ( лямбда-функция Кармайкла от n ) делится на 3, поскольку для других целых n все вычеты являются кубическими вычетами. ${\displaystyle \lambda (n)}$

Как это часто бывает в теории чисел, проще работать с модулями простых чисел, поэтому в этом разделе все модули p , q и т. д. предполагаются положительными нечетными простыми числами. ^[12]

Сначала отметим, что если q ≡ 2 (mod 3) — простое число, то каждое число является кубическим вычетом по модулю q . Пусть q = 3 n + 2; поскольку 0 = 0 ³ — очевидно, кубический вычет, предположим, что x не делится на q . Тогда по малой теореме Ферма ,

${\displaystyle x^{q}\equiv x{\bmod {q}},\qquad x^{q-1}\equiv 1{\bmod {q}}}$

Перемножая два сравнения, мы имеем

${\displaystyle x^{2q-1}\equiv x{\bmod {q}}}$

Теперь, подставляя 3 n + 2 вместо q, имеем:

${\displaystyle x^{2q-1}=x^{6n+3}=\left(x^{2n+1}\right)^{3}.}$

Следовательно, единственный интересный случай — это когда модуль p ≡ 1 (mod 3). В этом случае классы ненулевых вычетов (mod p ) можно разделить на три множества, каждое из которых содержит ( p −1)/3 чисел. Пусть e — кубический невычет. Первое множество — это кубические вычеты; второе — это e, умноженное на числа в первом множестве, а третье — это e ² , умноженное на числа в первом множестве. Другой способ описать это разделение — позволить e быть первообразным корнем (mod p ); тогда первое (соответственно второе, третье) множество — это числа, индексы которых относительно этого корня сравнимы с 0 (соответственно 1, 2) (mod 3). В словаре теории групп кубические вычеты образуют подгруппу индекса 3 мультипликативной группы , а три множества являются ее смежными классами. ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$

Простые числа ≡ 1 (mod 3)

Теорема Ферма ^{[13] [14]} утверждает, что каждое простое число p ≡ 1 (mod 3) можно записать в виде p = a ² + 3 b ² и (за исключением знаков a и b ) это представление единственно.

Полагая m = a + b и n = a − b , мы видим, что это эквивалентно p = m ² − mn + n ² (что равно ( n − m ) ² − ( n − m ) n + n ² = m ² + m ( n − m ) + ( n − m ) ² , поэтому m и n не определяются однозначно). Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}\end{aligned}}}$

и это простое упражнение, чтобы показать, что ровно одно из чисел m , n или m − n кратно 3, поэтому

${\displaystyle p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}),}$

и это представление уникально с точностью до знаков L и M. ^[15 ]

Для взаимно простых целых чисел m и n определим символ рационального кубического вычета как

${\displaystyle \left[{\frac {m}{n}}\right]_{3}={\begin{cases}1&m{\text{ is a cubic residue }}{\bmod {n}}\\-1&m{\text{ is a cubic non-residue }}{\bmod {n}}\end{cases}}}$

Важно отметить, что этот символ не обладает мультипликативными свойствами символа Лежандра; для этого нам нужен истинный кубический символ, определенный ниже.

Гипотезы Эйлера. Пусть p = a ² + 3 b ² — простое число. Тогда справедливо следующее: ^{[16] [17] [18]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\tfrac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 3\mid b\\\left[{\tfrac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm b)\\\left[{\tfrac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 15\mid b{\text{ or }}3\mid b{\text{ and }}5\mid a{\text{ or }}15\mid (a\pm b){\text{ or }}15\mid (2a\pm b)\\\left[{\tfrac {6}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm 2b)\\\left[{\tfrac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad (3\mid b{\text{ and }}7\mid a){\text{ or }}21\mid (b\pm a){\text{ or }}7\mid (4b\pm a){\text{ or }}21\mid b{\text{ or }}7\mid (b\pm 2a)\end{aligned}}}$

Первые два можно переформулировать следующим образом. Пусть p — простое число, сравнимое с 1 по модулю 3. Тогда: ^{[19] [20] [21]}

• 2 является кубическим вычетом p тогда и только тогда, когда p = a ² + 27 b ² .
• 3 является кубическим вычетом p тогда и только тогда, когда 4 p = a ² + 243 b ² .

Теорема Гаусса. Пусть p — положительное простое число, такое что

${\displaystyle p=3n+1={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).}$

Тогда ^{[22] [23]} ${\displaystyle L(n!)^{3}\equiv 1{\bmod {p}}.}$

Легко видеть, что теорема Гаусса подразумевает:

${\displaystyle \left[{\tfrac {L}{p}}\right]_{3}=\left[{\tfrac {M}{p}}\right]_{3}=1.}$

Теорема Якоби (изложенная без доказательства). ^[24] Пусть q ≡ p ≡ 1 (mod 6) — положительные простые числа. Очевидно, что и p, и q также сравнимы с 1 по модулю 3, поэтому предположим:

${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),\qquad q={\tfrac {1}{4}}\left(L'^{2}+27M'^{2}\right).}$

Пусть x — решение x ² ≡ −3 (mod q ). Тогда

${\displaystyle x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\bmod {q}},}$

и у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {{\frac {L+3Mx}{2}}p}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {L+3Mx}{L-3Mx}}{q}}\right]_{3}=1\\\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {LM'+L'M}{LM'-L'M}}{q}}\right]_{3}=1\end{aligned}}}$

Теорема Лемера. Пусть q и p — простые числа,тогда: ^[25] ${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).}$

${\displaystyle \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad q\mid LM{\text{ or }}L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}}M{\bmod {q}},}$

где

${\displaystyle u\not \equiv 0,1,-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}}{\bmod {q}}\quad {\text{and}}\quad 3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\bmod {q}}.}$

Обратите внимание, что первое условие подразумевает: любое число, делящее L или M, является кубическим вычетом (mod p ).

Первые несколько примеров ^[26] эквивалентны предположениям Эйлера:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad L\equiv M\equiv 0{\bmod {2}}\\\left[{\frac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {3}}\\\left[{\frac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {5}}\\\left[{\frac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {7}}\end{aligned}}}$

Поскольку очевидно, что L ≡ M (mod 2), критерий для q = 2 можно упростить следующим образом:

${\displaystyle \left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {2}}.}$

Теорема Мартине. Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 3) — простые числа, Тогда ^[27] ${\displaystyle pq={\tfrac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}).}$

${\displaystyle \left[{\frac {L}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {L}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {p}{q}}\right]_{3}=1.}$

Теорема Шарифи. Пусть p = 1 + 3 x + 9 x ² — простое число. Тогда любой делитель x является кубическим вычетом (mod p ). ^[28]

Целые числа Эйзенштейна

Фон

В своей второй монографии о биквадратичном принципе взаимности Гаусс говорит:

Теоремы о биквадратичных вычетах блистают наибольшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики распространяется на мнимые числа, так что без ограничений числа вида a + bi составляют объект изучения... мы называем такие числа целочисленными комплексными числами . ^[29] [жирный шрифт в оригинале]

Эти числа теперь называются кольцом гауссовых целых чисел и обозначаются как Z [ i ]. Обратите внимание, что i — это корень четвертой степени из 1.

В сноске он добавляет:

Теория кубических вычетов должна быть основана аналогичным образом на рассмотрении чисел вида a + bh , где h — мнимый корень уравнения h ³ = 1... и аналогично теория вычетов более высоких степеней приводит к введению других мнимых величин. ^[30]

В своей первой монографии о кубической взаимности ^[31] Эйзенштейн разработал теорию чисел, построенных из кубического корня из единицы; теперь они называются кольцом целых чисел Эйзенштейна . Эйзенштейн сказал, что для исследования свойств этого кольца достаточно обратиться к работе Гаусса о Z [ i ] и изменить доказательства. Это неудивительно, поскольку оба кольца являются уникальными областями факторизации .

«Другие мнимые величины», необходимые для «теории вычетов высших степеней», — это кольца целых чисел циклотомических числовых полей ; простейшими примерами таких чисел являются гауссовы и эйзенштейновские целые числа.

Факты и терминология

Позволять

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}},\qquad \omega ^{3}=1.}$

И рассмотрим кольцо целых чисел Эйзенштейна :

${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]=\left\{a+b\omega \ :\ a,b\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Это евклидова область с функцией нормы , заданной формулой:

${\displaystyle N(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Обратите внимание, что норма всегда конгруэнтна 0 или 1 (mod 3).

Группа единиц в (элементы с мультипликативной инверсией или, что эквивалентно, элементы с единичной нормой) является циклической группой корней шестой степени из единицы, ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

${\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$является уникальной областью факторизации . Простые числа делятся на три класса: ^[32]

• 3 — особый случай:

${\displaystyle 3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}.}$

Это единственное простое число в , делящееся на квадрат простого числа в . Говорят, что простое число 3 разветвляется в . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

• Положительные простые числа в конгруэнтном 2 (mod 3) также являются простыми числами в . Говорят, что эти простые числа остаются инертными в . Обратите внимание, что если — любое инертное простое число, то: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle N(q)=q^{2}\equiv 1{\bmod {3}}.}$

• Положительные простые числа в конгруэнтном 1 (mod 3) являются произведением двух сопряженных простых чисел в . Говорят, что эти простые числа расщепляются в . Их факторизация задается формулой: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

${\displaystyle p=N(\pi )=N({\overline {\pi }})=\pi {\overline {\pi }}.}$

например

${\displaystyle 7=(3+\omega )(2-\omega ).}$

Число является первичным , если оно взаимно просто с 3 и сравнимо с обычным целым числом по модулю, что то же самое, что сказать, что оно сравнимо с модулем 3. Если одно из или является первичным. Более того, произведение двух первичных чисел является первичным, и сопряженное первичному числу также является первичным. ${\displaystyle (1-\omega )^{2},}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle \gcd(N(\lambda ),3)=1}$ ${\displaystyle \lambda ,\omega \lambda ,}$ ${\displaystyle \omega ^{2}\lambda }$

Теорема единственной факторизации для имеет вид: если тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0,}$

${\displaystyle \lambda =\pm \omega ^{\mu }(1-\omega )^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots ,\qquad \mu \in \{0,1,2\},\quad \nu ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \geqslant 0}$

где каждое из них является первичным (по определению Эйзенштейна) простым числом. И это представление уникально, с точностью до порядка множителей. ${\displaystyle \pi _{i}}$

Понятия сравнения ^[33] и наибольшего общего делителя ^[34] определяются так же, как и для обычных целых чисел . Поскольку единицы делят все числа, сравнение по модулю также верно по модулю любого ассоциированного элемента , а любой ассоциированный элемент НОД также является НОД. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Характер кубического остатка

Определение

Аналог малой теоремы Ферма верен в : если не делится на простое число , ^[35] ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \alpha ^{N(\pi )-1}\equiv 1{\bmod {\pi }}.}$

Теперь предположим, что так что Или, говоря иначе, тогда мы можем записать: ${\displaystyle N(\pi )\neq 3}$ ${\displaystyle N(\pi )\equiv 1{\bmod {3}}.}$ ${\displaystyle 3\mid N(\pi )-1.}$

${\displaystyle \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\bmod {\pi }},}$

для уникальной единицы Эта единица называется кубическим вычетом по модулю и обозначается ^[36] ${\displaystyle \omega ^{k}.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}{\bmod {\pi }}.}$

Характеристики

Символ кубического вычета имеет формальные свойства, аналогичные свойствам символа Лежандра :

• Если тогда ${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\pi }}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.}$
• ${\displaystyle {\overline {\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}}=\left({\tfrac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}\right)_{3},}$где черта обозначает комплексное сопряжение.
• Если и являются ассоциированными, то ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\theta }}\right)_{3}}$
• Сравнение имеет решение тогда и только тогда, когда ^[37] ${\displaystyle x^{3}\equiv \alpha {\bmod {\pi }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1.}$
• Если таковы, что тогда ^{[38] [39]} ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,3)=1,}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)_{3}=1.}$
• Кубический символ может быть расширен мультипликативно до составных чисел (взаимно простых с 3) в «знаменателе» таким же образом, как символ Лежандра обобщается в символ Якоби . Как и в случае с символом Якоби, это расширение жертвует значением «числитель является кубическим вычетом по модулю знаменателя»: символ по-прежнему гарантированно равен 1, когда «числитель» является кубическим вычетом, но обратное больше не выполняется.

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right)_{3}^{\alpha _{1}}\left({\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right)_{3}^{\alpha _{2}}\cdots ,}$

где

${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots }$

Формулировка теоремы

Пусть α и β — первичные. Тогда

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}$

Имеются дополнительные теоремы ^{[40] [41]} для единиц и простого числа 1 − ω:

Пусть α = a + b ω будет первичным, a = 3 m + 1 и b = 3 n . (Если a ≡ 2 (mod 3), замените α на его ассоциированный −α; это не изменит значения кубических символов.) Тогда

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.}$

Смотрите также

• Квадратичная взаимность
• Квартальная взаимность
• Октичная взаимность
• Эйзенштейн взаимность
• Артин взаимность

Примечания

1. Эйлер, Трактат ... , §§ 407–410.
2. Гаусс, Д.А., сноска к статье 358.
3. Гаусс, Фундаментальная теорема ...
4. Гаусс, BQ, § 30
5. Кокс, стр. 83–90.
6. Леммермейер, стр. 199–201, 222–224.
7. Lemmermeyer, стр. 200
8. Якоби, De residuis кубический ... .
9. Эйзенштейн, Beweis des Reciprocitätssatzes ...
10. Эйзенштейн, Nachtrag zum cubischen...
11. Эйзенштейн, Приложение алгебры...
12. см. Гаусс, BQ § 2
13. Гаусс, DA, Статья 182
14. Кокс, Пример 1.4–1.5
15. Айрленд и Розен, предложения 8.3.1 и 8.3.2
16. Эйлер, Трактат , §§ 407–401.
17. Леммермейер, стр. 222–223
18. Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim, quae supersunt , 411 , сноска (глава 11) [1]
19. Кокс, стр. 2, Теория 4.15, Пример 4.15
20. Ирландия и Розен, Предложение 9.6.2, Доп. 9.23
21. Леммермейер, предложения 7.1 и 7.2.
22. Гаусс, Д.А. сноска к ст. 358
23. Леммермейер, Пример 7.9
24. Якоби, De residuis cubicis...
25. Леммермейер, Предложение 7.4
26. Леммермейер, стр. 209–212, Реквизит 7.1–7.3.
27. Леммермейер, Пример 7.11
28. Леммермейер, Пример 7.12
29. Гаусс, BQ, § 30, перевод в Коксе, стр. 83
30. Гаусс, BQ, § 30, перевод в Коксе, стр. 84
31. Айрленд и Розен, стр. 14
32. Ирландия и Розен Предложение 9.1.4
33. см. Гаусс, BQ, §§ 38–45
34. см. Гаусс, BQ, §§ 46–47
35. Ирландия и Розен. Предложение 9.3.1
36. Айрленд и Розен, стр. 112
37. Ирландия и Розен, Предложение 9.3.3
38. Ирландия и Розен, Предложение 9.3.4
39. Леммермейер, Предложение 7.7
40. Леммермейер, Ф. 6.9
41. Айрленд и Розен, Ex. 9.32–9.37

Ссылки

Ссылки на оригинальные работы Эйлера, Якоби и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке данной статьи.

Эйлер

• Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numeroroom doctrina capita sedecim quae supersunt , Комментарий. Арифметика. 2

На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но опубликовано только посмертно; оно находится в томе V, стр. 182–283

• Эйлер, Леонард (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, Vols I–V , Лейпциг и Берлин: Teubner

Гаусс

Две монографии Гаусса, опубликованные по биквадратичной взаимности, имеют последовательно пронумерованные разделы: первый содержит §§ 1–23, а второй §§ 24–76. Сноски, ссылающиеся на них, имеют вид "Gauss, BQ, § n ". Сноски, ссылающиеся на Disquisitiones Arithmeticae, имеют вид "Gauss, DA, Art. n ".

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Геттинген: Комментарий. Соц. Regiae Sci, Геттинген 6

• Гаусс, Карл Фридрих (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Геттинген: Комментарий. Соц. Regiae Sci, Геттинген 7

Они находятся в книге Гаусса «Werke» , том II, стр. 65–92 и 93–148.

Пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности Гаусса находятся в

• Гаусс, Карл Фридрих (1818), «Фундаментальная теория в доктрине квадратичных остатков и новых ампликациях»

Это в книге Гаусса «Werke» , т. II, стр. 47–64.

Ниже приведены немецкие переводы всех трех вышеупомянутых трудов, в которые также включены Disquisitiones Arithmeticae и другие работы Гаусса по теории чисел.

• Гаусс, Карл Фридрих (1965), «Рассуждения об арифметике и другие работы по теории чисел» (Второе издание) , перевод Мазера, Х., Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8

Эйзенштейн

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1844), Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen , J. Reine Angew. Математика. 27, стр. 289–310 (Журнал Крелля)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1844), Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien des cubischen Персонажи der Zahl 3 и ихрер Тейлер , Дж. Рейн Ангью. Математика. 28, стр. 28–35 (Журнал Крелля)

• Эйзенштейн, Фердинанд Готтольд (1845), Применение алгебры к трансцендентной арифметике , Ж. Рейн Ангью. Математика. 29 стр. 177–184 (Журнал Крелля)

Все эти статьи находятся в первом томе его «Werke» .

Якоби

• Якоби, Карл Гюстав Джейкоб (1827), De residuis Cubicis Commentatio numerosa , Дж. Рейн Ангью. Математика. 2 стр. 66–69 (Журнал Крелля)

Об этом говорится в VI томе его «Werke» .

Современные авторы

• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа вида x ² + ny ² , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

• Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-97329-X

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer , ISBN 3-540-66957-4

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Кубическая теорема взаимности». MathWorld .