Купол (геометрия)

Твердое тело, полученное путем соединения n- и 2n-угольников с треугольниками и квадратами.

В геометрии купол — это тело, образованное соединением двух многоугольников , один из которых (основание) имеет вдвое больше ребер , чем другой, чередующейся полосой равнобедренных треугольников и прямоугольников . Если треугольники равносторонние , а прямоугольники — квадраты , а основание и его противоположная грань — правильные многоугольники , то треугольные , квадратные и пятиугольные купола относятся к телам Джонсона и могут быть образованы путем взятия сечений кубооктаэдра , ромбокубооктаэдра и ромбоикосододекаэдра соответственно .

Купол можно рассматривать как призму , в которой один из многоугольников был сжат пополам путем слияния чередующихся вершин.

Куполу можно задать расширенный символ Шлефли { n } || t{ n }, представляющий правильный многоугольник { n }, соединенный параллельной линией его усечения , t{ n } или {2 n }.

Купола являются подклассом призматоидов .

Его двойственный элемент содержит форму, которая является своего рода сварным швом между половиной n -гранного трапецоэдра и 2 n -гранной пирамидой .

Примеры

Плоскость " шестиугольные купола" в ромбо-гексагональной мозаике

Вышеупомянутые три многогранника являются единственными нетривиальными выпуклыми куполами с правильными гранями: « шестиугольный купол» — это плоская фигура, а треугольная призма может считаться «куполом» степени 2 (куполом отрезка прямой и квадрата). Однако купола многоугольников более высокой степени могут быть построены с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.

Координаты вершин

Четырехугольный купол имеет:

  40 равнобедренных треугольников ;

  40 прямоугольников;

  Верхний правильный тетраконтагон ;

и нижний правильный восьмиугольник (скрытый).

Определение купола не требует, чтобы основание (или сторона, противоположная основанию, которую можно назвать вершиной) было правильным многоугольником, но удобно рассмотреть случай, когда купол имеет максимальную симметрию, C _{n v} . В этом случае вершина является правильным n -угольником, в то время как основание является либо правильным 2 n -угольником, либо 2 n -угольником, который имеет две разные длины сторон, чередующиеся и те же углы, что и правильный 2 n -угольник. Удобно зафиксировать систему координат так, чтобы основание лежало в плоскости xy , а вершина - в плоскости, параллельной плоскости xy . Ось z является осью n -кратности, а плоскости зеркал проходят через ось z и делят пополам стороны основания. Они также делят пополам либо стороны, либо углы верхнего многоугольника, либо и то, и другое. (Если n четное, то половина зеркальных плоскостей делит пополам стороны верхнего многоугольника, а половина — углы, а если n нечетное, то каждая зеркальная плоскость делит пополам одну сторону и один угол верхнего многоугольника.) Вершины основания можно обозначить ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{1}}$ по ⁠ ⁠, ${\displaystyle V_{2n},}$ а вершины верхнего многоугольника можно обозначить ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{2n+1}}$ по ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{3n}.}$ С этими соглашениями координаты вершин можно записать как: $${\displaystyle {\begin{array}{rllcc}V_{2j-1}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2j}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2n+j}:&{\biggl (}r_{t}\cos {\frac {\pi j}{n}},&r_{t}\sin {\frac {\pi j}{n}},&h{\biggr )}\end{array}}}$$

для j = 1, 2, ..., n .

Поскольку многоугольники ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{1}V_{2}V_{2n+2}V_{2n+1},}$ и т. д. являются прямоугольниками, это накладывает ограничение на значения ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{b},r_{t},\alpha .}$ Расстояние равно ${\displaystyle {\bigl |}V_{1}V_{2}{\bigr |}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{b}{\sqrt {\left[\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\cos \alpha \right]^{2}+\left[\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\sin \alpha \right]^{2}}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\cos \left({\tfrac {2pi}{n}}-\alpha \right)\cos \alpha +\cos ^{2}\alpha \right]+\left[\sin ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\cos \alpha -\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}\end{aligned}}}$$

в то время как расстояние равно ${\displaystyle {\bigl |}V_{2n+1}V_{2n+2}{\bigr |}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{t}{\sqrt {\left[\cos {\tfrac {\pi }{n}}-1\right]^{2}+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {\left[\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}-2\cos {\tfrac {\pi }{n}}+1\right]+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}\end{aligned}}}$$

Они должны быть равны, и если это общее ребро обозначить как s , $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}}\\[4pt]r_{t}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}}\end{aligned}}}$$

Эти значения необходимо подставить в выражения для координат вершин, приведенные ранее.

Звездно-купольные

Звездные купола существуют для любого верхнего основания { n / d } , где 6/5 < n / d < 6 , а d нечетно. В этих пределах купола схлопываются в плоские фигуры. За пределами этих пределов треугольники и квадраты больше не могут охватывать расстояние между двумя базовыми многоугольниками (его все еще можно сделать с помощью неравносторонних равнобедренных треугольников и неквадратных прямоугольников). Если d четно, нижнее основание {2 n / d } становится вырожденным; тогда мы можем образовать куполоид или полукупол , извлекая эту вырожденную грань и позволяя треугольникам и квадратам соединяться друг с другом здесь (через одинарные ребра), а не с поздним нижним основанием (через его двойные ребра). В частности, тетрагемигексаэдр можно рассматривать как {3/2} -куполоид.

Все купола ориентируемы , тогда как куполоиды неориентируемы. Для куполоида, если n / d > 2 , то треугольники и квадраты не покрывают все (единственное) основание, и в этом основании { n / d } -угольнике помещается небольшая мембрана, которая просто покрывает пустое пространство. Следовательно, у {5/2} - и {7/2} -куполоидов, изображенных выше, есть мембраны (не заполненные), тогда как у {5/4} - и {7/4} -куполоидов, изображенных выше, их нет.

Высота h { n / d } -купола или куполоида определяется по формуле: В частности, h = 0 в пределах n / d = 6 и n / d = 6/5 , а h максимальна при n / d = 2 (в двуугольном куполе : треугольной призме, где треугольники расположены вертикально). ^{[1] [2]} $${\displaystyle h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}\left({\frac {\pi d}{n}}\right)}}}}.}$$

На изображениях выше куполам звезд дана согласованная цветовая схема, чтобы помочь идентифицировать их грани: основание { n / d } -угольника красное, основание {2 n / d } -угольника желтое, квадраты синие, а треугольники зеленые. У куполоидов основание { n / d } -угольника красное, квадраты желтые, а треугольники синие, поскольку основание {2 n / d } -угольника было изъято.

Гиперкуполы

Гиперкупола или многогранные купола — это семейство выпуклых неоднородных полихор (здесь четырехмерные фигуры), аналогичных куполам. Основания каждого из них — Платоновы тела и его расширения . ^[3]

Смотрите также

• Ортобикупол
• Гиробикупола
• Ротонда

Ссылки

1. "cupolas". www.orchidpalms.com . Получено 21 апреля 2018 г. .
2. "semicupolas". www.orchidpalms.com . Получено 21 апреля 2018 г. .
3. Convex Segmentochora Д-р Ричард Клитцинг, Симметрия: Культура и наука, т. 11, №№ 1-4, 139-181, 2000

• Джонсон, Н. В. Выпуклые многогранники с правильными гранями. Can. J. Math. 18, 169–200, 1966.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Купол». Математический мир .
• Сегментотопы