Кусочная функция

Функция, определяемая несколькими подфункциями

График кусочно-линейной функции ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.}$

В математике кусочная функция ( также называемая кусочно-определенной функцией , гибридной функцией или функцией, определяемой случаями ) — это функция , область определения которой разделена на несколько интервалов ( «поддоменов»), на которых функция может быть определена по-разному. ^{[1] [2] [3]} Кусочное определение на самом деле является способом задания функции, а не характеристикой самой результирующей функции.

Обозначения и интерпретация

График функции абсолютного значения, ${\displaystyle y=|x|}$

Кусочные функции можно определить с помощью общей функциональной нотации , где тело функции представляет собой массив функций и связанных с ними поддоменов. Точка с запятой или запятая могут следовать за столбцами подфункции или поддомена. [ ^4] or редко опускается в начале правого столбца. ^[4] ${\displaystyle {\text{if}}}$ ${\displaystyle {\text{for}}}$

Подобласти вместе должны покрывать всю область ; часто также требуется, чтобы они были попарно непересекающимися, т.е. образовывали раздел области. ^[5] Для того чтобы общая функция называлась «кусочной», подобласти обычно должны быть интервалами (некоторые могут быть вырожденными интервалами, т.е. отдельными точками или неограниченными интервалами). Для ограниченных интервалов требуется, чтобы число подобластей было конечным, для неограниченных интервалов часто требуется, чтобы оно было только локально конечным. Например, рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения : ^[2]

$${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

Для всех значений меньше нуля используется первая подфункция ( ), которая инвертирует знак входного значения, делая отрицательные числа положительными. Для всех значений больше или равных нулю используется вторая подфункция ( ) , которая тривиально вычисляется для самого входного значения. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

В следующей таблице представлена ​​функция абсолютного значения при определенных значениях : ${\displaystyle x}$

Чтобы оценить кусочно-определенную функцию при заданном входном значении, необходимо выбрать соответствующую подобласть, чтобы выбрать правильную подфункцию и получить правильное выходное значение.

Примеры

• Кусочно-линейная функция , функция, состоящая из отрезков прямых
• Ломаный степенной закон , функция, состоящая из степенных подфункций
• Сплайн — функция, состоящая из полиномиальных подфункций, обладающая высокой степенью гладкости в местах соединения полиномиальных частей.
  • B-сплайн
• ПДИФФ
• ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
  и некоторые другие общие функции Bump . Они бесконечно дифференцируемы, но аналитичность сохраняется только кусочно.

Непрерывность и дифференцируемость кусочно-определенных функций

График кусочно- квадратичной функции Ее единственный разрыв находится при . ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.}$ ${\displaystyle x_{0}=0.707}$

Кусочно-определенная функция непрерывна на заданном интервале в своей области определения, если выполняются следующие условия:

• ее подфункции непрерывны на соответствующих интервалах (подобластях),
• в конечной точке любого поддомена в пределах этого интервала разрыва нет.

Например, изображенная функция кусочно-непрерывна во всех своих подобластях, но не непрерывна во всей области, поскольку содержит разрыв скачка в точке . Заполненный кружок указывает на то, что в этой позиции используется значение правой подфункции. ${\displaystyle x_{0}}$

Для того чтобы кусочно-определенная функция была дифференцируемой на заданном интервале в своей области определения, в дополнение к условиям непрерывности, указанным выше, должны выполняться следующие условия:

• ее подфункции дифференцируемы на соответствующих открытых интервалах,
• односторонние производные существуют во всех конечных точках интервалов,
• В точках соприкосновения двух подынтервалов соответствующие односторонние производные двух соседних подынтервалов совпадают.

Некоторые источники рассматривают только определение функции, ^{[6] [ нужен лучший источник ]} , в то время как другие признают это свойство, если и только если функция допускает разбиение на кусочное определение, которое удовлетворяет условиям. ^{[7] [8]}

Приложения

В прикладном математическом анализе было обнаружено, что «кусочно-регулярные» функции согласуются со многими моделями зрительной системы человека , где изображения на первом этапе воспринимаются как состоящие из гладких областей, разделенных краями (как в мультфильме ); ^[9] функция , похожая на мультфильм, является ^{функцией} C2 , гладкой, за исключением существования кривых разрыва. ^[10] В частности, ширлеты использовались в качестве системы представления для предоставления разреженных приближений этого класса моделей в 2D и 3D.

Кусочно-определенные функции также часто используются для интерполяции, например, при интерполяции по методу ближайшего соседа .

Смотрите также

• Кусочно-линейное продолжение
• Все страницы с заголовками, начинающимися с Piecewise
• Кусочное свойство — обобщение понятия

Ссылки

1. "Кусочные функции". www.mathsisfun.com . Получено 2020-08-24 .
2. Weisstein, Eric W. "Piecewise Function". mathworld.wolfram.com . Получено 24.08.2020 .
3. "Кусочные функции". brilliant.org . Получено 29-09-2020 .
4. Weisstein, Eric W. "Piecewise Function". mathworld.wolfram.com . Получено 20 июля 2024 г. .
5. Возможное более слабое требование состоит в том, чтобы все определения были согласованы относительно пересекающихся поддоменов.
6. «Дифференцируемость кусочно-определенных функций – AP Central | College Board». apcentral.collegeboard.org . Получено 2024-08-26 .
7. С. М. Никольский (1977). Курс математического анализа. Т. 1. С. 178.
8. Софронидис, Николаос Эфстатиу (2005). «Множество непрерывных кусочно-дифференцируемых функций». Real Analysis Exchange . 31 (1): 13–22. doi :10.14321/realanalexch.31.1.0013. ISSN  0147-1937.
9. Kutyniok, Gitta ; Labate, Demetrio (2012). "Введение в shearlets" (PDF) . Shearlets . Birkhäuser : 1–38.Здесь: стр.8
10. Kutyniok, Gitta; Lim, Wang-Q (2011). «Компактно поддерживаемые shearlets являются оптимально разреженными». Journal of Approximation Theory . 163 (11): 1564–1589. arXiv : 1002.2661 . doi :10.1016/j.jat.2011.06.005.