Оператор задержки

Оператор смещения элементов временного ряда

В анализе временных рядов оператор лага (L) или оператор обратного сдвига (B) действует на элемент временного ряда, чтобы получить предыдущий элемент. Например, если задан некоторый временной ряд

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

затем

${\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}$для всех ${\displaystyle t>1}$

или аналогично в терминах оператора обратного сдвига B : для всех . Эквивалентно это определение можно представить как ${\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}$ ${\displaystyle t>1}$

${\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}$для всех ${\displaystyle t\geq 1}$

Оператор запаздывания (а также оператор обратного сдвига) можно возвести в произвольную целую степень, так что

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$

и

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{t-k}.}$

Полиномы запаздывания

Можно использовать полиномы оператора лага, и это общепринятая нотация для моделей ARMA (авторегрессионное скользящее среднее). Например,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}}$

определяет модель AR( p ).

Полином операторов запаздывания называется полиномом запаздывания , так что, например, модель ARMA можно кратко определить как

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

где и соответственно представляют собой полиномы лага ${\displaystyle \varphi (L)}$ ${\displaystyle \theta (L)}$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}$

и

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Полиномы операторов лага следуют тем же правилам умножения и деления, что и числа и полиномы переменных. Например,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

означает то же самое, что и

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

Как и в случае с полиномами переменных, полином в операторе лага можно разделить на другой с помощью полиномиального длинного деления . В общем случае деление одного такого полинома на другой, когда каждый из них имеет конечный порядок (наивысший показатель степени), приводит к полиному бесконечного порядка.

Оператор аннуляции , обозначаемый , удаляет элементы многочлена с отрицательной степенью (будущие значения). ${\displaystyle [\ ]_{+}}$

Обратите внимание, что обозначает сумму коэффициентов: ${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

Оператор разности

В анализе временных рядов первый оператор разности: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}$

Аналогично, второй оператор разности работает следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

Вышеуказанный подход обобщается на i -й разностный оператор ${\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

Условное ожидание

В стохастических процессах принято заботиться об ожидаемом значении переменной, учитывая предыдущий набор информации. Пусть будет всей информацией, которая является общеизвестной в момент времени t (это часто указывается под оператором ожидания); тогда ожидаемое значение реализации X , j временных шагов в будущем, может быть эквивалентно записано как: ${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

При наличии этих зависящих от времени условных ожиданий необходимо различать оператор обратного сдвига ( B ), который корректирует только дату прогнозируемой переменной, и оператор запаздывания ( L ), который в равной степени корректирует дату прогнозируемой переменной и набор информации:

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].}$

Смотрите также

• Авторегрессионная модель
• Модель авторегрессионного скользящего среднего
• Модель скользящей средней
• Оператор смены
• Z-преобразование

Ссылки

• Гамильтон, Джеймс Дуглас (1994). Анализ временных рядов . Princeton University Press. ISBN 0-691-04289-6.
• Вербек, Марно (2008). Руководство по современной эконометрике . John Wiley and Sons. ISBN 0-470-51769-7.
• Weisstein, Eric. "Wolfram MathWorld". WolframMathworld: Difference Operator . Wolfram Research . Получено 10 ноября 2017 г. .
• Бокс, Джордж Э.П.; Дженкинс, Гвилим М.; Рейнсел, Грегори К.; Льюнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1.