Ларморовская прецессия

Движение оси магнитного момента объекта вокруг магнитного поля

Направление прецессии частицы с положительным гиромагнитным отношением.

  Внешнее магнитное поле

  Магнитный дипольный момент частицы

  Прецессия оси дипольного момента относительно поля

В физике Ларморовская прецессия (названа в честь Джозефа Лармора ) — прецессия магнитного момента объекта относительно внешнего магнитного поля . Это явление концептуально похоже на прецессию наклоненного классического гироскопа во внешнем гравитационном поле, оказывающем крутящий момент. Объекты с магнитным моментом также имеют угловой момент и эффективный внутренний электрический ток, пропорциональный их угловому моменту; к ним относятся электроны , протоны , другие фермионы , многие атомные и ядерные системы, а также классические макроскопические системы. Внешнее магнитное поле оказывает вращающий момент на магнитный момент,

${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}},}$

где - крутящий момент, - магнитный дипольный момент, - вектор углового момента , - внешнее магнитное поле, символизирует векторное произведение , и - гиромагнитное отношение , которое дает константу пропорциональности между магнитным моментом и угловым моментом. Вектор углового момента прецессирует вокруг оси внешнего поля с угловой частотой , известной как ларморовская частота : ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle \omega =-\gamma B}$,

где – угловая частота , ^[1] и – величина приложенного магнитного поля. (для частицы с зарядом ) гиромагнитное отношение , ^[2] равно , где – масса прецессирующей системы, а – g-фактор системы. G-фактор - это безразмерный коэффициент пропорциональности, связывающий угловой момент системы с собственным магнитным моментом; в классической физике это всего лишь 1. Ларморовская частота не зависит от угла между и . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle -{\frac {eg}{2m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

В ядерной физике g-фактор данной системы включает в себя влияние спинов нуклонов , их орбитальных угловых моментов и их связей . Как правило, g-факторы очень сложно вычислить для таких систем многих тел, но для большинства ядер они измерены с высокой точностью. Ларморовская частота важна в ЯМР-спектроскопии . Здесь измерены и сведены в таблицы гиромагнитные отношения, которые определяют ларморовские частоты при заданной напряженности магнитного поля.

Важно отметить, что ларморовская частота не зависит от полярного угла между приложенным магнитным полем и направлением магнитного момента. Именно это делает его ключевым понятием в таких областях, как ядерный магнитный резонанс (ЯМР) и электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), поскольку скорость прецессии не зависит от пространственной ориентации спинов.

Включая прецессию Томаса

Приведенное выше уравнение используется в большинстве приложений. Однако полная обработка должна включать эффекты прецессии Томаса , что дает уравнение (в единицах СГС ) (единицы СГС используются так, чтобы E имело те же единицы, что и B):

${\displaystyle \omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}={\frac {eB}{2mc}}\left(g-2+{\frac {2}{\gamma }}\right)}$

где – релятивистский фактор Лоренца (не путать с приведенным выше гиромагнитным отношением). Примечательно, что для электрона g очень близко к 2 (2,002...), поэтому, если установить g  = 2, можно получить ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}}$

Уравнение Баргмана–Мишеля–Телегди.

Прецессия спина электрона во внешнем электромагнитном поле описывается уравнением Баргмана–Мишеля–Телегди (БМТ) ^[3]

${\displaystyle {\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

где , , , и – четырехвектор поляризации, заряд, масса и магнитный момент, – четырехскорость электрона (в системе единиц, в которой ), , , – тензор напряженности электромагнитного поля. Используя уравнения движения, ${\displaystyle a^{\tau }}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle u^{\tau }}$ ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$ ${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$ ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$

${\displaystyle m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma },}$

можно переписать первый член в правой части уравнения БМТ как , где – четырехкратное ускорение. Этот термин описывает транспорт Ферми – Уокера и приводит к прецессии Томаса . Второе слагаемое связано с ларморовской прецессией. ${\displaystyle (-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }}$ ${\displaystyle w^{\tau }=du^{\tau }/ds}$

Когда электромагнитные поля однородны в пространстве или когда можно пренебречь такими градиентными силами, поступательное движение частицы описывается формулой ${\displaystyle \nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})}$

${\displaystyle {\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}F^{\alpha \beta }u_{\beta }\;.}$

Тогда уравнение БМТ запишется в виде ^[4]

${\displaystyle {\frac {dS^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }u_{\mu }\right){\bigg ]}\;,}$

Лучево-оптическая версия Thomas-BMT из квантовой теории пучковой оптики заряженных частиц , применимая в оптике ускорителей ^{[5] [6]}

Приложения

В статье 1935 года, опубликованной Львом Ландау и Евгением Лифшицем, было предсказано существование ферромагнитного резонанса ларморовской прецессии, что было независимо подтверждено в экспериментах Дж. Х. Э. Гриффитса (Великобритания) ^[7] и Е. К. Завойского (СССР) в 1946 году. ^{[8] [9] ]}

Ларморовская прецессия важна в ядерном магнитном резонансе , магнитно-резонансной томографии , электронном парамагнитном резонансе , мюонном спиновом резонансе и нейтронном спиновом эхе . Это также важно для выравнивания частиц космической пыли , что является причиной поляризации звездного света .

Для расчета спина частицы в магнитном поле необходимо, вообще говоря, учитывать и прецессию Томаса, если частица движется.

Направление прецессии

Спиновый угловой момент электрона прецессирует против часовой стрелки относительно направления магнитного поля. Электрон имеет отрицательный заряд, поэтому направление его магнитного момента противоположно направлению вращения.

Смотрите также

• ЛАРМОР нейтронный микроскоп

Примечания

1. Spin Dynamics, Малкольм Х. Левитт, Wiley, 2001 г.
2. Луи Н. Хэнд и Джанет Д. Финч. (1998). Аналитическая механика. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . п. 192. ИСБН 978-0-521-57572-0.
3. В. Баргманн , Л. Мишель и В. Л. Телегди , Прецессия поляризации частиц, движущихся в однородном электромагнитном поле , Phys. Преподобный Летт. 2, 435 (1959).
4. Джексон, JD, Классическая электродинамика , 3-е издание, Wiley, 1999, стр. 563.
5. М. Конте, Р. Джаганнатан, С. А. Хан и М. Пустерла, Лучевая оптика частицы Дирака с аномальным магнитным моментом, Ускорители частиц, 56, 99–126 (1996); (Препринт: IMSc/96/03/07, INFN/AE-96/08).
6. Хан, SA (1997). Квантовая теория оптики пучков заряженных частиц, докторская диссертация , Мадрасский университет , Ченнаи , Индия . (полную диссертацию можно получить в Dspace библиотеки IMSc Института математических наук , где проводилось докторское исследование).
7. JHE Гриффитс (1946). «Аномальная высокочастотная стойкость ферромагнитных металлов». Природа . 158 (4019): 670–671. Бибкод : 1946Natur.158..670G. дои : 10.1038/158670a0. S2CID  4143499.
8. Завойский, Э. (1946). «Спиновый магнитный резонанс в дециметровой области волн». Физический журнал . 10 .
9. Завойский, Э. (1946). «Парамагнитное поглощение в некоторых солях в перпендикулярных магнитных полях». Журнал Экспериментальной и теоретической физики . 16 (7): 603–606.

Внешние ссылки

• Страница гиперфизики Университета штата Джорджия о частоте Лармора
• Калькулятор частоты Лармора