Линеаризация

В математике линеаризация — это нахождение линейного приближения функции в заданной точке. Линейное приближение функции — это разложение Тейлора первого порядка вокруг интересующей точки. В изучении динамических систем линеаризация — это метод оценки локальной устойчивости точки равновесия системы нелинейных дифференциальных уравнений или дискретных динамических систем . [ 1 ^] Этот метод используется в таких областях, как инженерия , физика , экономика и экология .

Линеаризация функции

Линеаризации функции — это линии — обычно линии, которые можно использовать для вычислений. Линеаризация — это эффективный метод аппроксимации выходных данных функции в любой точке на основе значения и наклона функции в точке , при условии, что дифференцируема на (или ) и близка к . Короче говоря, линеаризация аппроксимирует выходные данные функции вблизи . $y=f(x)$ $х=а$ $x=b$ $f(x)$ $[а,б]$ $[б,а]$ $а$ $б$ $х=а$

Например, . Однако, что будет хорошим приближением для ? ${\sqrt {4}}=2$ ${\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}$

Для любой заданной функции , может быть приближена, если она близка к известной дифференцируемой точке. Самым основным требованием является то, что , где - линеаризация при . Форма уравнения точка-наклон образует уравнение прямой, заданной точкой и наклоном . Общая форма этого уравнения: . $y=f(x)$ $f(x)$ $L_{a}(a)=f(a)$ $L_{a}(x)$ $f(x)$ $х=а$ $(Н,К)$ $М$ $yK=M(xH)$

Используя точку , становится . Поскольку дифференцируемые функции локально линейны , наилучшим наклоном для подстановки будет наклон касательной к в точке . $(а,ф(а))$ $L_{a}(x)$ $y=f(a)+M(xa)$ $f(x)$ $х=а$

В то время как концепция локальной линейности применима в основном к точкам, произвольно близким к , те, которые относительно близки, работают относительно хорошо для линейных приближений. Наклон должен быть, точнее всего, наклоном касательной в точке . $х=а$ $М$ $х=а$

Приближение f ( x ) = x ² при ( x , f ( x ))

Наглядно сопроводительная диаграмма показывает касательную линию в точке . В точке , где — любое малое положительное или отрицательное значение, очень близко к значению касательной в точке . $f(x)$ $x$ $f(x+h)$ $ч$ $f(x+h)$ $(x+h,L(x+h))$

Окончательное уравнение для линеаризации функции при имеет вид: $х=а$ $y=(f(a)+f'(a)(xa))$

Для , . Производная равна , а наклон при равен . $х=а$ $f(a)=f(x)$ $f(x)$ $f'(x)$ $f(x)$ $а$ $f'(a)$

Пример

Чтобы найти , мы можем использовать тот факт, что . Линеаризация при равна , поскольку функция определяет наклон функции при . Подставляя в , линеаризация при 4 равна . В этом случае , поэтому приблизительно равно . Истинное значение близко к 2,00024998, поэтому приближение линеаризации имеет относительную погрешность менее одной миллионной процента. ${\sqrt {4.001}}$ ${\sqrt {4}}=2$ $f(x)={\sqrt {x}}$ $х=а$ $y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(xa)$ $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ $f(x)={\sqrt {x}}$ $x$ $а=4$ $y=2+{\frac {x-4}{4}}$ $x=4.001$ ${\sqrt {4.001}}$ $2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025$

Линеаризация многомерной функции

Уравнение линеаризации функции в точке имеет вид: $f(x,y)$ $p(a,b)$

f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(xa)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(yb)

Общее уравнение линеаризации функции многих переменных в точке имеет вид: ${\ displaystyle f (\ mathbf {x})}$ $\mathbf {п}$

f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })

где — вектор переменных, — градиент , а — интересующая нас точка линеаризации. ^[2] $\mathbf {x}$ ${\набла ф}$ $\mathbf {п}$

Применение линеаризации

Линеаризация позволяет использовать инструменты для изучения линейных систем для анализа поведения нелинейной функции вблизи заданной точки. Линеаризация функции — это член первого порядка ее разложения Тейлора вокруг интересующей точки. Для системы, определяемой уравнением

{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)

линеаризованную систему можно записать как

{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )

где — точка интереса, а — якобиан , оцененный при . $\mathbf {x_{0}}$ $D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $\mathbf {x_{0}}$

Анализ устойчивости

При анализе устойчивости автономных систем можно использовать собственные значения матрицы Якоби , вычисленные в точке гиперболического равновесия , чтобы определить природу этого равновесия. Это содержание теоремы линеаризации . Для систем, изменяющихся во времени, линеаризация требует дополнительного обоснования. ^[3]

Микроэкономика

В микроэкономике правила принятия решений могут быть аппроксимированы в рамках подхода к линеаризации в пространстве состояний. ^[4] В рамках этого подхода уравнения Эйлера задачи максимизации полезности линеаризуются вокруг стационарного устойчивого состояния. ^[4] Затем находится единственное решение для результирующей системы динамических уравнений. ^[4]

Оптимизация

В математической оптимизации функции стоимости и нелинейные компоненты внутри могут быть линеаризованы для применения линейного метода решения, такого как алгоритм Simplex . Оптимизированный результат достигается гораздо более эффективно и является детерминированным как глобальный оптимум .

Мультифизика

В мультифизических системах — системах, включающих несколько физических полей, которые взаимодействуют друг с другом — может быть выполнена линеаризация относительно каждого из физических полей. Эта линеаризация системы относительно каждого из полей приводит к линеаризованной монолитной системе уравнений, которая может быть решена с использованием монолитных итерационных процедур решения, таких как метод Ньютона-Рафсона . Примерами этого являются системы сканеров МРТ , которые приводят к системе электромагнитных, механических и акустических полей. ^[5]

Смотрите также

Ссылки

^ Проблема линеаризации в комплексных одномерных динамических системах на Scholarpedia
^ Линеаризация. Университет Джонса Хопкинса. Кафедра электротехники и вычислительной техники. Архивировано 2010-06-07 на Wayback Machine
^ Леонов, ГА; Кузнецов, НВ (2007). «Изменяющаяся во времени линеаризация и эффекты Перрона». Международный журнал бифуркации и хаоса . 17 (4): 1079–1107. Bibcode :2007IJBC...17.1079L. doi :10.1142/S0218127407017732.
^ abc Моффатт, Майк. (2008) About.com State-Space Approach Архивировано 04.03.2016 в Wayback Machine Economics Glossary; Термины, начинающиеся с буквы S. Доступно 19 июня 2008 г.
^ Багвелл, С.; Леджер, П. Д.; Гил, А. Дж.; Маллетт, М.; Крайп, М. (2017). «Линеаризованная структура конечных элементов hp для акусто-магнито-механической связи в осесимметричных сканерах МРТ». Международный журнал численных методов в машиностроении . 112 (10): 1323–1352. Bibcode : 2017IJNME.112.1323B. doi : 10.1002/nme.5559 .

Внешние ссылки

Учебники по линеаризации

Линеаризация для анализа модели и проектирования управления