Линейное приближение

Приближение функции ее касательной в точке

Касательная линия в точке ( a , f ( a ))

В математике линейная аппроксимация — это аппроксимация общей функции с помощью линейной функции (точнее, аффинной функции ). Они широко используются в методе конечных разностей для получения методов первого порядка для решения или аппроксимации решений уравнений.

Определение

При наличии дважды непрерывно дифференцируемой функции одной действительной переменной теорема Тейлора для этого случая гласит, что где — остаточный член. Линейное приближение получается путем отбрасывания остатка: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}}$$ ${\displaystyle R_{2}}$ $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).}$$

Это хорошее приближение, когда достаточно близко к ; поскольку кривая при близком наблюдении начнет напоминать прямую линию. Следовательно, выражение в правой части — это просто уравнение касательной к графику при . По этой причине этот процесс также называется приближением касательной . Линейные приближения в этом случае еще больше улучшаются, когда вторая производная a, , достаточно мала (близка к нулю) (т. е. в точке перегиба или вблизи нее ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle f''(a)}$

Если вогнут вниз в интервале между и , то приближение будет завышенным (поскольку производная убывает в этом интервале). Если вогнут вверх , то приближение будет заниженным. ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Линейные приближения для векторных функций векторной переменной получаются таким же образом, с заменой производной в точке на матрицу Якоби . Например, для заданной дифференцируемой функции с действительными значениями можно выполнить приближение для близких к по формуле ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}$$

Правая часть — уравнение плоскости, касательной к графику функции ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (a,b).}$

В более общем случае банаховых пространств имеем , где — производная Фреше от . $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}$$ ${\displaystyle Df(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Приложения

Оптика

Гауссова оптика — это метод в геометрической оптике , который описывает поведение световых лучей в оптических системах с помощью параксиального приближения , в котором рассматриваются только лучи, которые составляют малые углы с оптической осью системы. ^[2] В этом приближении тригонометрические функции могут быть выражены как линейные функции углов. Гауссова оптика применяется к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сферы . В этом случае можно дать простые явные формулы для параметров системы формирования изображения, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, в терминах геометрических форм и материальных свойств составных элементов.

Период колебания

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины , локальной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла , на который маятник отклоняется от вертикали, θ ₀ , называемого амплитудой . ^[3] Он не зависит от массы груза. Истинный период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть записан в нескольких различных формах (см. маятник ), одним из примеров является бесконечный ряд : ^{[4] [5]} $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$

где L — длина маятника, g — локальное ускорение свободного падения .

Однако, если принять линейное приближение (т.е. если амплитуда ограничена небольшими колебаниями, ^{[Примечание 1]} ), период составит: ^[6]

В линейном приближении период качания приблизительно одинаков для качаний разного размера: то есть период не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронностью , является причиной того, что маятники так полезны для измерения времени. ^[7] Последовательные качания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое количество времени.

Удельное электрическое сопротивление

Электрическое сопротивление большинства материалов изменяется с температурой. Если температура T не меняется слишком сильно, обычно используется линейное приближение: где называется температурным коэффициентом сопротивления , - фиксированная опорная температура (обычно комнатная температура), а - удельное сопротивление при температуре . Параметр является эмпирическим параметром, подобранным из данных измерений. Поскольку линейное приближение является лишь приближением, отличается для разных опорных температур. По этой причине обычно указывают температуру, при которой была измерена, с суффиксом, например , и соотношение сохраняется только в диапазоне температур вокруг опорной. ^[8] Когда температура изменяется в большом диапазоне температур, линейное приближение неадекватно, и следует использовать более подробный анализ и понимание. $${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{15}}$

Смотрите также

• Биномиальное приближение
• Метод Эйлера
• Конечные разности
• Методы конечных разностей
• Метод Ньютона
• Ряд мощности
• ряд Тейлора

Примечания

1. «Малое» колебание — это колебание, при котором угол θ достаточно мал, так что sin(θ) можно аппроксимировать значением θ, если θ измеряется в радианах.

Ссылки

1. "12.1 Оценка значения функции с использованием линейной аппроксимации". Архивировано из оригинала 3 марта 2013 г. Получено 3 июня 2012 г.
2. Липсон, А.; Липсон, С.Г.; Липсон, Х. (2010). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.
3. Милхэм, Уиллис И. (1945). Время и хранители времени . MacMillan. С. 188–194. OCLC  1744137.
4. Нельсон, Роберт; MG Olsson (февраль 1987). «Маятник – Богатая физика из простой системы» (PDF) . American Journal of Physics . 54 (2): 112–121. Bibcode :1986AmJPh..54..112N. doi :10.1119/1.14703. S2CID  121907349 . Получено 29.10.2008 .
5. Беккет, Эдмунд; и еще трое (1911). «Часы»  . В Чисхолм, Хью (ред.). Encyclopaedia Britannica . Том 06 (11-е изд.). Cambridge University Press. стр. 534–553, см. стр. 538, второй абзац. Pendulum.—включает в себя вывод
6. Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Джерл Уокер (1997). Основы физики, 5-е изд . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 381. ISBN 0-471-14854-7.
7. Купер, Герберт Дж. (2007). Научные приборы. Нью-Йорк: Hutchinson's. С. 162. ISBN 978-1-4067-6879-4.
8. Уорд, М. Р. (1971). Электротехническая наука . McGraw-Hill. С. 36–40. ISBN 0-07-094255-2.

Дальнейшее чтение

• Вайнштейн, Алан; Марсден, Джерролд Э. (1984). Исчисление III . Берлин: Springer-Verlag. стр. 775. ISBN 0-387-90985-0.
• Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление . Колледж Уэллсли. стр. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
• Бок, Дэвид; Хокетт, Ширли О. (2005). Как подготовиться к AP Calculus . Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. стр. 118. ISBN 0-7641-2382-3.