Билинейная карта в математике
В математике спаривание — это R - билинейное отображение декартова произведения двух R - модулей , где лежащее в основе кольцо R коммутативно .
Определение
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и M , N и L — R -модули .
Спариванием является любое R -билинейное отображение . То есть удовлетворяет
- ,
- и
для любого и любого и любого . Эквивалентно, спаривание представляет собой R -линейное отображение.
где обозначает тензорное произведение M и N.
Спаривание также можно рассматривать как R -линейное отображение , которое по установке соответствует первому определению .
Спаривание называется совершенным , если указанное выше отображение является изоморфизмом R -модулей.
Спаривание называется невырожденным справа, если для приведенного выше отображения имеем, что для всех подразумевается ; аналогично называется невырожденным слева, если для всех следует .
Спаривание называется альтернирующим, если и для всех m . В частности, это подразумевает , а билинейность показывает . Таким образом, для знакопеременного спаривания .
Примеры
Любое скалярное произведение в вещественном векторном пространстве V является спариванием ( в приведенных выше определениях установите M = N = V , R = R ).
Детерминантное отображение (матрицы 2 × 2 над k ) → k можно рассматривать как спаривание .
Карта Хопфа, записанная как пример спаривания. Например, Харди и др. В [1] представлено явное построение карты с использованием моделей ЧУМ.
Пары в криптографии
В криптографии часто используется следующее специализированное определение: [2]
Пусть – аддитивные группы и мультипликативная группа , все простого порядка . Пусть – генераторы и соответственно .
Пейринг – это карта:
для которого справедливо следующее:
- Билинейность :
- Невырожденность :
- Для практических целей должно быть эффективно вычислено .
Обратите внимание, что в криптографической литературе также принято записывать все группы в мультипликативной записи.
В случаях , когда спаривание называется симметричным. Поскольку отображение циклично , оно будет коммутативным ; то есть для любого мы имеем . Это потому, что для генератора существуют целые числа , такие, что и . Поэтому .
Спаривание Вейля — важная концепция в криптографии на эллиптических кривых ; например, его можно использовать для атаки на определенные эллиптические кривые (см. Атака MOV). Он и другие пары использовались для разработки схем шифрования на основе личности .
Немного другое использование понятия спаривания
Скалярные произведения в комплексных векторных пространствах иногда называют спариваниями, хотя они не являются билинейными. Например, в теории представлений имеется скалярное произведение характеров комплексных представлений конечной группы, которое часто называют спариванием символов .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Харди KA1; Вермюлен JJC; Витбуи П.Дж., Нетривиальное спаривание конечных пространств T0, Топология и ее приложения, том 125, номер 3, 20 ноября 2002 г., стр. 533–542.
- ^ Дэн Боне, Мэтью К. Франклин, Шифрование на основе личности из пары Вейла, SIAM J. of Computing, Vol. 32, № 3, стр. 586–615, 2003.
Внешние ссылки
- Криптобиблиотека на основе пар