Линейная полезность

В экономике и теории потребления линейная функция полезности — это функция вида:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}}$

или, в векторной форме:

${\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$

где:

• ${\displaystyle m}$количество различных товаров в экономике.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$вектор размера , представляющий собой набор . Элемент представляет собой количество товара в наборе. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {w}}}$— вектор размера , представляющий субъективные предпочтения потребителя. Элемент представляет собой относительную ценность, которую потребитель присваивает товару . Если , это означает, что потребитель считает этот продукт совершенно бесполезным. Чем выше , тем более ценна единица этого продукта для потребителя. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle w_{i}}$

Потребитель с линейной функцией полезности обладает следующими свойствами:

• Предпочтения строго монотонны : наличие большего количества даже одного товара строго увеличивает полезность.
• Предпочтения слабо выпуклы , но не строго выпуклы: смесь двух эквивалентных наборов эквивалентна исходным наборам, но не лучше их.
• Предельная норма замещения всех товаров постоянна. Для каждых двух товаров : ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j}}$.

• Кривые безразличия представляют собой прямые линии (когда имеется два товара) или гиперплоскости (когда имеется больше товаров).
• Каждая кривая спроса (спрос как функция цены) представляет собой ступенчатую функцию : потребитель хочет купить ноль единиц товара, соотношение полезности и цены которого ниже максимума, и хочет купить как можно больше единиц товара, соотношение полезности и цены которого максимально.
• Потребитель рассматривает товары как совершенные заменители .

Экономика с линейными коммунальными услугами

Определите линейную экономику как экономику обмена, в которой все агенты имеют линейные функции полезности. Линейная экономика имеет несколько свойств.

Предположим, что у каждого агента есть начальный запас . Это вектор размера , в котором элемент представляет количество блага , которым изначально владеет агент . Тогда начальная полезность этого агента равна . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e_{A,i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

Предположим, что рыночные цены представлены вектором - вектором размера , в котором элемент - это цена товара . Тогда бюджет агента равен . Пока действует этот вектор цен, агент может позволить себе все и только те наборы , которые удовлетворяют бюджетному ограничению : . ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

Конкурентное равновесие

Конкурентное равновесие — это вектор цен и распределение, в котором удовлетворяются потребности всех агентов (спрос на каждый товар равен его предложению). В линейной экономике оно состоит из вектора цен и распределения , предоставляя каждому агенту набор, такой что: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$

• ${\displaystyle \sum _{A}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A}{\overrightarrow {e_{A}}}}$(общее количество всех товаров такое же, как и при первоначальном распределении; товары не производятся и не уничтожаются).
• Для каждого агента его распределение максимизирует полезность агента, с учетом бюджетного ограничения . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {x_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {x}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$

В равновесии каждый агент держит только те товары, для которых его отношение полезности к цене слабо максимально. Т.е. если агент держит товар в равновесии, то для любого другого товара : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{A,i}/p_{i}\geq w_{A,j}/p_{j}}$

(в противном случае агент захочет обменять некоторое количество товара на товар , тем самым нарушив равновесие). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Без потери общности можно предположить, что каждый товар желаем по крайней мере одним агентом (в противном случае этот товар можно игнорировать для всех практических целей). При этом предположении равновесная цена товара должна быть строго положительной (в противном случае спрос был бы бесконечным).

Наличие конкурентного равновесия

Дэвид Гейл ^[1] доказал необходимые и достаточные условия существования конкурентного равновесия в линейной экономике. Он также доказал ряд других свойств линейной экономики.

Набор агентов называется самодостаточным, если все члены присваивают положительную ценность только тем товарам, которые принадлежат исключительно членам (другими словами, они присваивают ценность любому продукту , который принадлежит членам вне ). Набор называется сверхсамодостаточным , если кто-то в владеет товаром, который не ценится ни одним членом (включая его самого). Теорема существования Гейла гласит, что: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle w_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Линейная экономика имеет конкурентное равновесие тогда и только тогда, когда ни один набор агентов не является сверхсамодостаточным.

Доказательство направления «только если» : Предположим, что экономика находится в равновесии с ценой и распределением . Предположим, что есть самодостаточный набор агентов. Тогда все члены торгуют только друг с другом, потому что товары, принадлежащие другим агентам, для них бесполезны. Следовательно, равновесное распределение удовлетворяет: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{A\in S}{\overrightarrow {x_{A}}}=\sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}}$.

Каждое равновесное распределение является эффективным по Парето . Это означает, что в равновесном распределении каждый товар принадлежит только агенту, который присваивает этому товару положительную ценность. Согласно только что упомянутому равенству, для каждого товара общая сумма , принадлежащая членам в равновесном распределении, равна общей сумме , принадлежащая членам в исходном распределении . Следовательно, в исходном распределении каждый товар принадлежит участнику , только если он представляет ценность для одного или нескольких членов . Следовательно, не является сверхсамодостаточным. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Конкурентное равновесие с равными доходами

Конкурентное равновесие с равными доходами (CEEI) — это особый вид конкурентного равновесия, в котором бюджет всех агентов одинаков. То есть для каждых двух агентов и : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{A}}}={\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{B}}}}$

Распределение CEEI важно, поскольку оно гарантированно не вызывает зависти : ^[2] набор дает агенту максимальную полезность среди всех наборов с одинаковой ценой, поэтому, в частности, он дает ему по крайней мере столько же полезности, сколько и набор . ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{B}}$

Один из способов достижения CEEI — предоставить всем агентам одинаковый начальный вклад, т. е. для каждого и : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overrightarrow {e_{A}}}={\overrightarrow {e_{B}}}}$

(если есть агенты, то каждый агент получает ровно столько же каждого товара). При таком распределении ни одно подмножество агентов не является самодостаточным. Следовательно, как следствие теоремы Гейла: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

В линейной экономике CEEI существует всегда .

Примеры

Во всех приведенных ниже примерах есть два агента — Алиса и Джордж, и два товара — яблоки (x) и гуавы (y).

A. Уникальное равновесие : функции полезности:

${\displaystyle u_{A}(x,y)=3x+2y}$,

${\displaystyle u_{G}(x,y)=2x+3y}$.

Общий запас равен . Без потери общности мы можем нормализовать вектор цен таким образом, что . Какие значения может иметь в CE? Если , то оба агента хотят отдать все свои y за x; если , то оба агента хотят отдать все свои x за y; следовательно, в CE . Если , то Алисе безразлично между x и y, в то время как Джордж хочет только y. Аналогично, если , то Джорджу безразлично, в то время как Алисе нужно только x. Если , то Алисе нужно только x, в то время как Джордж хочет только y. Следовательно, распределение CE должно быть [(6,0);(0,6)]. Вектор цен зависит от начального распределения. Например, если начальное распределение равно, [(3,3);(3,3)], то оба агента имеют одинаковый бюджет в CE, поэтому . Это CE по сути уникально: вектор цен можно умножить на постоянный множитель, но равновесие CE не изменится. ${\displaystyle T=(6,6)}$ ${\displaystyle P_{x}=1}$ ${\displaystyle P_{y}}$ ${\displaystyle P_{y}>3/2}$ ${\displaystyle P_{y}<2/3}$ ${\displaystyle 2/3\leq P_{y}\leq 3/2}$ ${\displaystyle P_{y}=2/3}$ ${\displaystyle P_{y}=3/2}$ ${\displaystyle 2/3<P_{y}<3/2}$ ${\displaystyle P_{y}=P_{x}=1}$

B. Равновесия нет : Предположим, что у Алисы есть яблоки и гуавы, но она хочет только яблоки. У Джорджа есть только гуавы, но она хочет и яблоки, и гуавы. Множество {Алиса} самодостаточно, потому что Алиса думает, что все товары, которыми владеет Джордж, бесполезны. Более того, множество {Алиса} сверхсамодостаточно, потому что у Алисы есть гуавы, которые для нее бесполезны. Действительно, конкурентного равновесия не существует: независимо от цены Алиса хотела бы отдать все свои гуавы за яблоки, но у Джорджа нет яблок, поэтому ее спрос останется неудовлетворенным.

C. Множество равновесий : Предположим, что есть два товара и два агента, оба агента присваивают обоим товарам одинаковую ценность (например, для обоих из них, ). Тогда в равновесии агенты могут обменять некоторые яблоки на равное количество гуав, и результатом все равно будет равновесие. Например, если существует равновесие, в котором Алиса держит 4 яблока и 2 гуавы, а Джордж держит 5 яблок и 3 гуавы, то ситуация, в которой Алиса держит 5 яблок и 1 гуаву, а Джордж держит 4 яблока и 4 гуавы, также является равновесием. ${\displaystyle w_{apples}=w_{guavas}=1}$

Но в обоих этих равновесиях общая полезность обоих агентов одинакова: Алиса имеет полезность 6 в обоих равновесиях, а Джордж имеет полезность 8 в обоих равновесиях. Это не совпадение, как показано в следующем разделе.

Уникальность коммунальных услуг в конкурентном равновесии

Гейл ^[1] доказал, что:

В линейной экономике все агенты безразличны между всеми равновесиями .

Доказательство. Доказательство основано на индукции по числу трейдеров. Когда есть только один трейдер, утверждение очевидно. Предположим, что есть два или более трейдеров, и рассмотрим два равновесия: равновесие X с вектором цен и распределением и равновесие Y с вектором цен и распределением . Необходимо рассмотреть два случая: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle y}$

a. Векторы цен одинаковы с точностью до мультипликативной константы: для некоторой константы . Это означает, что в обоих равновесиях все агенты имеют абсолютно одинаковый набор бюджетов (они могут позволить себе абсолютно одинаковые наборы). В равновесии полезность каждого агента равна максимальной полезности набора в наборе бюджетов; если набор бюджетов одинаков, то и максимальная полезность в этом наборе одинакова. ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}=C\cdot {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle C}$

б. Векторы цен не пропорциональны. Это означает, что цена некоторых товаров изменилась больше, чем других. Определим максимальный рост цен как:

${\displaystyle M:=\max _{i}{q_{i}/p_{i}}}$

и определим товары с самым высоким ростом цен как те товары, цена на которые изменилась максимально (это должно быть правильное подмножество всех товаров, поскольку векторы цен не пропорциональны):

${\displaystyle H:=\{i|q_{i}/p_{i}=M\}}$

и определить держателей товаров с наибольшим ростом цен как тех торговцев, которые владеют одним или несколькими товарами с максимальным изменением цены в равновесии Y:

${\displaystyle S:=\{A|y_{A,i}>0{\text{ for some }}i\in H\}}$

В равновесии агенты владеют только товарами, чье отношение полезности к цене слабо максимально. Таким образом, для всех агентов в , отношение полезности к цене всех товаров в слабо максимально при векторе цен . Поскольку товары в испытали самый высокий рост цен, когда вектор цен равен , их отношение полезности к цене строго максимально. Следовательно, в равновесии X все агенты в владеют только товарами из . В равновесии X кто-то должен владеть товарами, которых нет в ; следовательно, должно быть надлежащим подмножеством агентов. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$

Итак, в равновесии X, -агенты держат только -товары, а в равновесии Y, -агенты держат все -товары . Это позволяет нам сделать некоторые бюджетные расчеты: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

С одной стороны, в равновесии X при цене , -агенты тратят весь свой бюджет на -товары, поэтому: ${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\leq \sum _{i\in H}{p_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

(где — общий начальный запас от блага ). ${\displaystyle {\overrightarrow {e_{i}}}}$ ${\displaystyle i}$

С другой стороны, в равновесии Y с ценой , -агенты могут позволить себе все -товары, поэтому: ${\displaystyle {\overrightarrow {q}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overrightarrow {q}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}\geq \sum _{i\in H}{q_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}}$

Объединение этих уравнений приводит к выводу, что в обоих равновесиях -агенты торгуют только друг с другом: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{A\in S}{y_{A}}=\sum _{A\in S}{x_{A}}=\sum _{A\in S}{e_{A}}}$.

Следовательно, агенты не в также только торгуют друг с другом. Это означает, что равновесие X состоит из двух равновесий: одно, которое включает только -агентов и -товары, и другое, которое включает только не- -агентов и не- -товары. То же самое верно для агента Y. Поскольку является собственным подмножеством агентов, можно вызвать предположение индукции и теорема будет доказана. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$

Расчет конкурентного равновесия

Ивс ^[3] представил алгоритм нахождения конкурентного равновесия за конечное число шагов, когда такое равновесие существует.

Связанные концепции

Линейные функции полезности представляют собой небольшое подмножество квазилинейных функций полезности .

Товары с линейной полезностью являются частным случаем товаров-заменителей .

Предположим, что набор товаров не конечен, а непрерывен. Например, товар является неоднородным ресурсом, таким как земля. Тогда функции полезности не являются функциями конечного числа переменных, а скорее функциями множеств, определенными на борелевских подмножествах земли. Естественным обобщением линейной функции полезности для этой модели является аддитивная функция множеств . Это распространенный случай в теории справедливого разрезания торта . Расширение результата Гейла на эту ситуацию дается теоремой Веллера .

При определенных условиях порядковое отношение предпочтения может быть представлено линейной и непрерывной функцией полезности. ^[4]

Ссылки

1. Гейл, Дэвид (1976). "Линейная модель обмена". Журнал математической экономики . 3 (2): 205–209. doi :10.1016/0304-4068(76)90029-x.
2. Вариан, ХР (1974). «Справедливость, зависть и эффективность» (PDF) . Журнал экономической теории . 9 : 63–91. doi :10.1016/0022-0531(74)90075-1. hdl : 1721.1/63490 .
3. Eaves, B.Curtis (1976). "Конечный алгоритм для линейной модели обмена" (PDF) . Журнал математической экономики . 3 (2): 197–203. doi :10.1016/0304-4068(76)90028-8.
4. Кандил-Аро, Хуан Карлос; Индурайн-Эрасо, Эстебан (1995). «Заметка о линейной полезности». Экономическая теория . 6 (3): 519. doi : 10.1007/bf01211791.
5. Жафрэ, Жан-Ив (1989). «Линейная теория полезности для функций убеждения». Operations Research Letters . 8 (2): 107–112. doi :10.1016/0167-6377(89)90010-2.