Линейная система

Физическая система, удовлетворяющая принципу суперпозиции

В теории систем линейная система — это математическая модель системы , основанная на использовании линейного оператора . Линейные системы обычно обладают функциями и свойствами, которые намного проще, чем нелинейный случай. Как математическая абстракция или идеализация, линейные системы находят важные применения в теории автоматического управления , обработке сигналов и телекоммуникациях . Например, среда распространения для систем беспроводной связи часто может быть смоделирована линейными системами.

Определение

Блок-схема, иллюстрирующая свойство аддитивности для детерминированной SISO-системы непрерывного времени. Система удовлетворяет свойству аддитивности или является аддитивной тогда и только тогда, когда для всех времен и для всех входов и . Нажмите на изображение, чтобы развернуть его. ${\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$

Блок-схема, иллюстрирующая свойство однородности детерминированной SISO-системы непрерывного времени. Система удовлетворяет свойству однородности или является однородной тогда и только тогда, когда для всех времен , для всех действительных констант и для всех входных данных . Нажмите на изображение, чтобы развернуть его. ${\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$

Блок-схема, иллюстрирующая принцип суперпозиции для детерминированной системы SISO непрерывного времени. Система удовлетворяет принципу суперпозиции и, таким образом, является линейной тогда и только тогда, когда для всех времен , для всех действительных констант и и для всех входов и . Нажмите на изображение, чтобы развернуть его. ${\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$

Общая детерминированная система может быть описана оператором H , который отображает вход x ( t ) как функцию t в выход y ( t ) , тип описания черного ящика .

Система является линейной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет принципу суперпозиции или, что эквивалентно, свойствам аддитивности и однородности ^, без ограничений (то есть для всех входных данных, всех констант масштабирования и всех времен ^{) . [4]}

Принцип суперпозиции означает, что линейная комбинация входных данных системы создает линейную комбинацию отдельных выходных данных с нулевым состоянием (то есть выходных данных, устанавливающих начальные условия равными нулю), соответствующих отдельным входным сигналам. ^{[5] [6]}

В системе, которая удовлетворяет свойству однородности, масштабирование входных данных всегда приводит к масштабированию отклика в нулевом состоянии на один и тот же коэффициент. ^[6] В системе, которая удовлетворяет свойству аддитивности, добавление двух входов всегда приводит к добавлению соответствующих двух откликов нулевого состояния из-за отдельных входов. ^[6]

Математически для системы с непрерывным временем при наличии двух произвольных входных данных

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}}$$

скалярныхαβx ₁ ( t )x ₂ ( t )t

Тогда система определяется уравнением H ( x ( t )) = y ( t ) , где y ( t ) — некоторая произвольная функция времени, а x ( t ) — состояние системы. Учитывая y ( t ) и H , система может быть решена относительно x ( t ) .

Поведение получившейся системы при воздействии сложных входных данных можно описать как сумму реакций на более простые входные данные. В нелинейных системах такой зависимости нет. Это математическое свойство делает решение уравнений моделирования более простым, чем решение многих нелинейных систем. Для стационарных систем это является основой методов импульсной характеристики или частотной характеристики (см. теорию систем LTI ), которые описывают общую входную функцию x ( t ) в терминах единичных импульсов или частотных составляющих .

Типичные дифференциальные уравнения линейных стационарных систем хорошо адаптированы к анализу с использованием преобразования Лапласа в непрерывном случае и Z-преобразования в дискретном случае (особенно в компьютерных реализациях).

Другая точка зрения заключается в том, что решения линейных систем представляют собой систему функций , которые действуют как векторы в геометрическом смысле.

Обычно линейные модели используются для описания нелинейной системы путем линеаризации . Обычно это делается для математического удобства.

Предыдущее определение линейной системы применимо к системам SISO (один вход – один выход). Для систем MIMO (множественный вход и несколько выходов) векторы входных и выходных сигналов ( , , , ) рассматриваются вместо входных и выходных сигналов ( , , , .) ^{[2] [4]} ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{2}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1}(t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{2}(t)}$ ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ${\displaystyle x_{2}(t)}$ ${\displaystyle y_{1}(t)}$ ${\displaystyle y_{2}(t)}$

Это определение линейной системы аналогично определению линейного дифференциального уравнения в исчислении и линейного преобразования в линейной алгебре .

Примеры

Простой гармонический осциллятор подчиняется дифференциальному уравнению:

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.}$$

Если

$${\displaystyle H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),}$$

Hy ( t ) = 0 ,H ( x ( t )) = y ( t ) ,

Другие примеры линейных систем включают системы , описываемые , , и любую систему, описываемую обычными линейными дифференциальными уравнениями. ^[4] Системы, описываемые , , , , , , , и система с выходом нечетной симметрии, состоящая из линейной области и области насыщения (постоянной), являются нелинейными, поскольку они не всегда удовлетворяют принципу суперпозиции. ^{[7] [8] [9] [10]} ${\displaystyle y(t)=k\,x(t)}$ ${\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle y(t)=k}$ ${\displaystyle y(t)=k\,x(t)+k_{0}}$ ${\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}}$ ${\displaystyle y(t)=\cos {[x(t)]}}$ ${\displaystyle y(t)=x^{2}(t)}$ ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ ${\displaystyle y(t)=|x(t)|}$

График зависимости выхода от входа линейной системы не обязательно должен быть прямой линией, проходящей через начало координат. Например, рассмотрим систему, описываемую (например, конденсатор постоянной емкости или катушка индуктивности постоянной индуктивности ). Оно линейно, поскольку удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда входные данные являются синусоидой, выходные данные также являются синусоидой, и поэтому график выходных данных представляет собой эллипс с центром в начале координат, а не прямую линию, проходящую через начало координат. ${\displaystyle y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}}$

Кроме того, выход линейной системы может содержать гармоники (и иметь меньшую основную частоту, чем вход), даже если входной сигнал является синусоидой. Например, рассмотрим систему, описываемую . Оно линейно, поскольку удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда входной сигнал представляет собой синусоиду формы , используя тригонометрические тождества произведения к сумме, можно легко показать, что выходной сигнал равен , то есть выходной сигнал не состоит только из синусоид той же частоты, что и входной ( 3 рад/с ), а вместо этого также синусоиды частот 2 рад/с и 4 рад/с ; кроме того, взяв наименьшее общее кратное основного периода синусоиды выхода, можно показать, что основная угловая частота выхода равна 1 рад/с , что отличается от входной частоты. ${\displaystyle y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=\cos {(3t)}}$ ${\displaystyle y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}}$

Изменяющаяся во времени импульсная характеристика

Изменяющаяся во времени импульсная характеристика h ( t ₂ , t ₁ ) линейной системы определяется как реакция системы в момент времени t = t ₂ на одиночный импульс , приложенный в момент времени t = t ₁ . Другими словами, если входные данные x ( t ) в линейную систему

$${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})}$$

δ( t )дельта-функцию Диракаy ( t )

$${\displaystyle y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})}$$

h ( t ₂ , t ₁ )условие причинности :

$${\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}$$

Интеграл свертки

Выход любой общей линейной системы с непрерывным временем связан с входом интегралом, который может быть записан в дважды бесконечном диапазоне из-за условия причинности:

$${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'}$$

Если свойства системы не зависят от времени ее эксплуатации, то ее называют стационарной и h является функцией только разности времен τ = t − t' , которая равна нулю при τ < 0 ( а именно t < t' ). Переопределив h , можно эквивалентно записать отношение ввода-вывода любым из способов:

$${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$$

Линейные нестационарные системы чаще всего характеризуются преобразованием Лапласа функции импульсного отклика, называемой передаточной функцией, которая имеет вид:

$${\displaystyle H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.}$$

В приложениях это обычно рациональная алгебраическая функция от s . Поскольку h ( t ) равно нулю при отрицательном t , интеграл также может быть записан в дважды бесконечном диапазоне, а постановка s = iω соответствует формуле для функции частотной характеристики :

$${\displaystyle H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt}$$

Системы дискретного времени

Выход любой линейной системы с дискретным временем связан с входом изменяющейся во времени суммой свертки:

$${\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}$$

h

$${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}$$

$${\displaystyle k=n-m}$$

mn

Смотрите также

• Инвариантная система сдвига
• Линейное управление
• Линейная нестационарная система
• Нелинейная система
• Системный анализ
• Система линейных уравнений

Рекомендации

1. Филлипс, Чарльз Л.; Парр, Джон М.; Рискин, Ева А. (2008). Сигналы, системы и преобразования (4-е изд.). Пирсон. п. 74. ИСБН 978-0-13-198923-8.
2. Бессаи, Хорст Дж. (2005). MIMO-сигналы и системы . Спрингер. стр. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.
3. Алкин, Октай (2014). Сигналы и системы: интегрированный подход MATLAB . ЦРК Пресс. п. 99. ИСБН 978-1-4665-9854-6.
4. Нахви, Махмуд (2014). Сигналы и системы . МакГроу-Хилл. стр. 162–164, 166, 183. ISBN. 978-0-07-338070-4.
5. Сундарараджан, Д. (2008). Практический подход к сигналам и системам . Уайли. п. 80. ИСБН 978-0-470-82353-8.
6. Робертс, Майкл Дж. (2018). Сигналы и системы: анализ с использованием методов преобразования и MATLAB® (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 131, 133–134. ISBN 978-0-07-802812-0.
7. Дирга Рао, К. (2018). Сигналы и системы . Спрингер. стр. 43–44. ISBN 978-3-319-68674-5.
8. Чен, Чи-Цонг (2004). Сигналы и системы (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 55-57. ISBN 0-19-515661-7.
9. ЭльАли, Таан С.; Карим, Мохаммад А. (2008). Непрерывные сигналы и системы с MATLAB (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 53. ИСБН 978-1-4200-5475-0.
10. Апте, Шейла Динкар (2016). Сигналы и системы: принципы и приложения . Издательство Кембриджского университета. п. 187. ИСБН 978-1-107-14624-2.