Люнебургская линза

Сферически-симметричная градиентная линза

Поперечное сечение стандартной линзы Люнебурга с синей штриховкой, пропорциональной показателю преломления.

Линза Люнебурга (оригинальная немецкая линза Люнебурга ) представляет собой сферически -симметричную градиентную линзу . Показатель преломления n типичной линзы Люнебурга уменьшается в радиальном направлении от центра к внешней поверхности. Они могут быть предназначены для использования с электромагнитным излучением от видимого света до радиоволн .

Для определенных профилей индекса линза будет формировать идеальные геометрические изображения двух заданных концентрических сфер друг на друге. Существует бесконечное количество профилей показателя преломления, которые могут произвести этот эффект. Простейшее такое решение было предложено Рудольфом Люнебургом в 1944 году. ^[1] Решение Люнебурга для показателя преломления создает два сопряженных фокуса вне линзы. Решение принимает простой и явный вид, если один фокус лежит на бесконечности, а другой — на противоположной поверхности линзы. Дж. Браун и А.С. Гутман впоследствии предложили решения, которые создают один внутренний фокус и один внешний фокус. ^{[2] [3]} Эти решения не уникальны; набор решений определяется набором определенных интегралов , которые необходимо вычислять численно. ^[4]

Дизайны

Решение Люнебурга

Линза Люнебурга преобразует точечный источник в коллимированный луч, когда источник располагается на его краю.

Каждая точка на поверхности идеальной линзы Люнебурга является фокусом параллельного излучения, падающего с противоположной стороны. В идеале диэлектрическая проницаемость материала, из которого состоит линза, падает с 2 в ее центре до 1 на ее поверхности (или, что то же самое, показатель преломления падает с 1), согласно ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}}}={\sqrt {2-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}},}$

где радиус линзы. Поскольку показатель преломления на поверхности такой же, как и у окружающей среды, отражения от поверхности не происходит. Внутри линзы траектории лучей представляют собой дуги эллипсов . ${\displaystyle R}$

Линза «рыбий глаз» Максвелла

Поперечное сечение линзы «рыбий глаз» Максвелла с синей штриховкой, обозначающей увеличение показателя преломления.

Линза «рыбий глаз» Максвелла также является примером обобщенной линзы Люнебурга. «Рыбий глаз», который был впервые полностью описан Максвеллом в 1854 году ^[5] (и, следовательно, предшествует решению Люнебурга), имеет показатель преломления, изменяющийся в зависимости от

${\displaystyle n(r)={\sqrt {\epsilon _{r}}}={\frac {n_{0}}{1+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}},}$

где – показатель преломления в центре линзы, – радиус сферической поверхности линзы. ^[6] Показатель преломления на поверхности линзы составляет . Линза отображает каждую точку сферической поверхности в противоположную точку на поверхности. Внутри линзы траектории лучей представляют собой дуги окружностей. ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{0}/2}$

Публикация и атрибуция

Свойства этой линзы описаны в одной из множества задач или головоломок в Кембриджском и Дублинском математическом журнале 1853 года . ^[7] Задача состоит в том, чтобы найти показатель преломления как функцию радиуса, учитывая, что луч описывает круговой путь, и далее доказать фокусирующие свойства линзы. Решение дано в номере того же журнала 1854 года. ^[5] Проблемы и решения первоначально были опубликованы анонимно, но решение этой проблемы (и еще одной) было включено в книгу Нивена « Научные статьи Джеймса Клерка Максвелла» , ^[8] которая была опубликована через 11 лет после смерти Максвелла.

Приложения

На практике линзы Люнебурга обычно представляют собой слоистые структуры из дискретных концентрических оболочек, каждая из которых имеет свой показатель преломления. Эти оболочки образуют ступенчатый профиль показателя преломления, несколько отличающийся от решения Люнебурга. Линзы такого типа обычно используются для микроволновых частот , особенно для создания эффективных микроволновых антенн и эталонов калибровки радаров . Цилиндрические аналоги линзы Люнебурга применяются также для коллимации света лазерных диодов .

Радарный отражатель

Люнебургские отражатели (отмеченный выступ) на F-35

Радиолокационный отражатель можно сделать из линзы Люнебурга путем металлизации частей ее поверхности. Излучение дальнего радиолокационного передатчика фокусируется на нижней стороне металлизации на противоположной стороне линзы; здесь он отражается и фокусируется обратно на радиолокационную станцию. Трудность этой схемы заключается в том, что металлизированные области блокируют вход или выход излучения из этой части линзы, а неметаллизированные области приводят к образованию слепого пятна на противоположной стороне.

Съемные радиолокационные отражатели люнебургского линзового типа иногда прикрепляются к военным самолетам, чтобы сделать самолеты-невидимки видимыми во время учебных операций или скрыть их истинную радиолокационную заметность. В отличие от других типов радиолокационных отражателей, их форма не влияет на управляемость самолета. ^[9]

СВЧ антенна

3D-радар Type 984 на HMS  Victorious , 1961 год, с использованием линзы Люнебурга.

Линзу Люнебурга можно использовать в качестве основы радиоантенны с высоким коэффициентом усиления. Эта антенна аналогична тарелочной антенне , но в качестве основного фокусирующего элемента используется линза, а не параболический отражатель. Как и в случае с тарелочной антенной, в фокусе находится канал, поступающий на приемник или от передатчика, причем канал обычно представляет собой рупорную антенну . Фазовый центр рупора должен совпадать с точкой фокуса, но поскольку фазовый центр всегда находится где-то внутри устья рупора, его нельзя приблизить к поверхности линзы. Следовательно, необходимо использовать разновидность линзы Люнебурга, фокусирующуюся несколько за ее поверхностью ^[10] , а не классическую линзу с фокусом, лежащим на поверхности.

Линзовая антенна Люнебурга имеет ряд преимуществ перед параболической антенной. Поскольку линза сферически симметрична, антенной можно управлять, перемещая облучатель вокруг линзы, без необходимости поворачивать всю антенну. Опять же, поскольку линза сферически симметрична, одну линзу можно использовать с несколькими потоками, смотрящими в разных направлениях. Напротив, если с параболическим отражателем используется несколько облучателей, все они должны находиться в пределах небольшого угла от оптической оси , чтобы избежать комы (формы дефокусировки). Помимо офсетных систем, зеркальные антенны страдают от того, что облучатель и его опорная конструкция частично закрывают основной элемент ( засорение апертуры ); Как и другие преломляющие системы, линзовая антенна Люнебурга позволяет избежать этой проблемы.

Разновидностью линзовой антенны Люнебурга является полусферическая линзовая антенна Люнебурга или отражательная антенна Люнебурга . При этом используется только одно полушарие линзы Люнебурга, при этом срезанная поверхность сферы опирается на отражающую металлическую плоскость заземления . Такое расположение уменьшает вес объектива вдвое, а заземление обеспечивает удобную опору. Однако облучатель частично закрывает линзу, когда угол падения на отражатель меньше примерно 45°.

Путь луча внутри линзы

Для любой сферически-симметричной линзы каждый луч целиком лежит в плоскости, проходящей через центр линзы. Начальное направление луча определяет линию, которая вместе с центральной точкой линзы определяет плоскость, делящую линзу пополам. Будучи плоскостью симметрии хрусталика, градиент показателя преломления не имеет составляющей, перпендикулярной этой плоскости, которая вызывала бы отклонение луча либо в ту, либо в другую сторону от нее. На плоскости круговая симметрия системы позволяет удобно использовать полярные координаты для описания траектории луча. ${\displaystyle (r,\theta )}$

Учитывая любые две точки луча (например, точку входа и выхода из линзы), принцип Ферма утверждает, что путь, который луч проходит между ними, - это путь, который он может пройти за наименьшее возможное время. Учитывая, что скорость света в любой точке линзы обратно пропорциональна показателю преломления, а по Пифагору , время прохождения между двумя точками и равно ${\displaystyle (r_{1},\theta _{1})}$ ${\displaystyle (r_{2},\theta _{2})}$

${\displaystyle T=\int _{(r_{1},\theta _{1})}^{(r_{2},\theta _{2})}{\frac {n(r)}{c}}{\sqrt {(r\,d\theta )^{2}+dr^{2}}}={\frac {1}{c}}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}n(r){\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\,d\theta ,}$

где скорость света в вакууме. Минимизация этого дает дифференциальное уравнение второго порядка , определяющее зависимость от вдоль пути луча. Этот тип задачи минимизации широко изучался в лагранжевой механике , и существует готовое решение в виде тождества Бельтрами , которое сразу же дает первый интеграл этого уравнения второго порядка. Подстановка (где представляет ) в это тождество дает ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle L(r,r')=n(r){\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle {\tfrac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle n(r){\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}-n(r){\frac {r'^{2}}{\sqrt {r'^{2}+r^{2}}}}=h,}$

где – константа интегрирования . Это дифференциальное уравнение первого порядка является разделимым , то есть его можно перестроить так, чтобы оно появлялось только с одной стороны и только с другой: ^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {h}{r{\sqrt {{\big (}n(r){\big )}^{2}r^{2}-h^{2}}}}}\,dr.}$

Параметр является константой для любого данного луча, но различается для лучей, проходящих на разных расстояниях от центра линзы. Для лучей, проходящих через центр, оно равно нулю. В некоторых особых случаях, таких как «рыбий глаз» Максвелла, это уравнение первого порядка может быть дополнительно проинтегрировано, чтобы получить формулу для функции или . В общем, он дает относительные скорости изменения и , которые можно проинтегрировать численно , чтобы проследить путь луча через линзу. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$

Смотрите также

• Шаровая линза
• Спутник BLITS (Ball Lens In The Space)
• Гравитационные линзы также имеют радиально уменьшающийся показатель преломления.

Рекомендации

1. Люнебург, РК (1944). Математическая теория оптики . Провиденс, Род-Айленд: Университет Брауна. стр. 189–213.
2. Браун, Дж. (1953). Инженер беспроводной связи . 30 : 250. {{cite journal}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь )
3. Гутман, А.С. (1954). «Модифицированная линза Люнеберга». Дж. Прил. Физ . 25 (7): 855–859. Бибкод : 1954JAP....25..855G. дои : 10.1063/1.1721757.
4. Морган, СП (1958). «Общее решение проблемы линзы Люнебурга». Дж. Прил. Физ . 29 (9): 1358–1368. Бибкод : 1958JAP....29.1358M. дои : 10.1063/1.1723441. S2CID  119949981.
5. «Решение задач (проб. 3, т. VIII. стр. 188)». Кембриджский и Дублинский математический журнал . Макмиллан. 9 :9–11. 1854.
6. Бадри, С. Хади и Гиларлу, ММ (2019). «Линза «рыбий глаз» Максвелла как эффективный соединитель мощности между разнородными фотонно-кристаллическими волноводами». Оптик . Эльзевир. 185 : 566–570. arXiv : 1904.01242 . Бибкод :2019Оптик.185..566Б. дои : 10.1016/j.ijleo.2019.03.163. S2CID  91184610.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
7. «Проблемы (3)» . Кембриджский и Дублинский математический журнал . Макмиллан. 8 : 188. 1853.
8. Нивен, изд. (1890). Научные статьи Джеймса Клерка Максвелла. Нью-Йорк: Dover Publications. п. 76.
9. "Люнебургская линза". www.eahison.com . Архивировано из оригинала 27 сентября 2021 г. Проверено 5 апреля 2021 г.
10. Ло, ЮТ ; Ли, Юго-Запад (1993). Справочник по антеннам: Теория антенн. Спрингер. п. 40. ИСБН 9780442015930.

Внешние ссылки

• Анимация распространения через линзу Люнебурга (диэлектрическая антенна) с YouTube
• Анимация объектива «рыбий глаз» Максвелла с YouTube
• Анимация линзы «рыбий глаз» половины Максвелла (диэлектрическая антенна) с YouTube