Теорема Пифагора

Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника

В математике теорема Пифагора или теорема Пифагора — это фундаментальное соотношение в евклидовой геометрии между тремя сторонами прямоугольного треугольника . Она гласит, что площадь квадрата , сторона которого является гипотенузой (стороной, противолежащей прямому углу ), равна сумме площадей квадратов на двух других сторонах.

Теорему можно записать в виде уравнения, связывающего длины сторон a , b и гипотенузы c , иногда называемого уравнением Пифагора : ^[1]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Теорема названа в честь греческого философа Пифагора , родившегося около 570 г. до н. э. Теорема была доказана множество раз многими различными методами — возможно, больше, чем любая другая математическая теорема. Доказательства разнообразны, включая как геометрические , так и алгебраические доказательства , некоторые из которых датируются тысячелетиями.

Когда евклидово пространство представлено декартовой системой координат в аналитической геометрии , евклидово расстояние удовлетворяет пифагорейскому соотношению: квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разности каждой координаты между точками.

Теорему можно обобщить различными способами: на пространства более высокой размерности , на пространства, не являющиеся евклидовыми , на объекты, не являющиеся прямоугольными треугольниками, и на объекты, которые вообще не являются треугольниками, а являются n -мерными телами.

Доказательства с использованием построенных квадратов

Доказательство теоремы Пифагора методом перестановки.
(Площадь пробела остается постоянной на протяжении всего процесса перестановки треугольников. Во все моменты времени площадь всегда равна c² . И аналогично во все моменты времени площадь всегда равна a²+b² .)

Доказательства перестановки

В одном доказательстве перестановки используются два квадрата, стороны которых имеют меру и которые содержат четыре прямоугольных треугольника со сторонами a , b и c , с гипотенузой, равной c . В квадрате с правой стороны треугольники размещены таким образом, что углы квадрата соответствуют углам прямого угла в треугольниках, образуя квадрат в центре, стороны которого имеют длину c . Каждый внешний квадрат имеет площадь, а также , причем представляет собой общую площадь четырех треугольников. Внутри большого квадрата с левой стороны четыре треугольника перемещаются, образуя два подобных прямоугольника со сторонами длиной a и b . Эти прямоугольники в своем новом положении теперь очерчивают два новых квадрата, один со стороной длиной a образован в нижнем левом углу, а другой квадрат со стороной длиной b образован в верхнем правом углу. В этом новом положении эта левая сторона теперь имеет квадрат площади, а также . Поскольку оба квадрата имеют площадь, следует, что другая мера площади квадрата также равна друг другу, так что = . Если из обеих частей уравнения вычесть площади четырех треугольников, то останется ^[2] ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ ${\displaystyle 2ab+c^{2}}$ ${\displaystyle 2ab}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ ${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ ${\displaystyle 2ab+c^{2}}$ ${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

В другом доказательстве прямоугольники во втором поле также могут быть размещены так, что оба имеют один угол, который соответствует последовательным углам квадрата. Таким образом, они также образуют два поля, на этот раз в последовательных углах, с площадями и которые снова приведут ко второму квадрату с площадью . ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$

Английский математик сэр Томас Хит приводит это доказательство в своем комментарии к предложению I.47 в «Началах » Евклида и упоминает предложения немецких математиков Карла Антона Бретшнайдера и Германа Ганкеля о том, что Пифагор мог знать это доказательство. Сам Хит выступает за другое предложение о пифагорейском доказательстве, но признает с самого начала своего обсуждения, «что греческая литература, которой мы обладаем и которая относится к первым пяти векам после Пифагора, не содержит никаких утверждений, указывающих на это или какое-либо другое конкретное великое геометрическое открытие, сделанное им». ^[3] Недавние исследования все больше подвергают сомнению какую-либо роль Пифагора как создателя математики, хотя споры по этому поводу продолжаются. ^[4]

Алгебраические доказательства

Схема двух алгебраических доказательств

Теорему можно доказать алгебраически, используя четыре копии одного и того же треугольника, расположенные симметрично вокруг квадрата со стороной c , как показано в нижней части диаграммы. ^[5] Это приводит к большему квадрату со стороной a + b и площадью ( a + b ) ² . Четыре треугольника и квадратная сторона c должны иметь ту же площадь, что и больший квадрат,

${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$

давая

${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$

Аналогичное доказательство использует четыре копии прямоугольного треугольника со сторонами a , b и c , расположенные внутри квадрата со стороной c, как в верхней половине диаграммы. ^[6] Треугольники подобны с площадью , в то время как маленький квадрат имеет сторону b − a и площадь ( b − a ) ² . Площадь большого квадрата, таким образом, равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$

${\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}$

Но это квадрат со стороной c и площадью c ² , поэтому

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Другие доказательства теоремы

Эта теорема, возможно, имеет больше известных доказательств, чем любая другая ( закон квадратичной взаимности является еще одним претендентом на это звание); книга «Предложение Пифагора» содержит 370 доказательств. ^[7]

Доказательство с использованием подобных треугольников.

Доказательство с использованием подобных треугольников.

Это доказательство основано на пропорциональности сторон трех подобных треугольников, то есть на том факте, что отношение любых двух соответствующих сторон подобных треугольников одинаково независимо от размеров треугольников.

Пусть ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом , расположенным в точке C , как показано на рисунке. Проведите высоту из точки C и назовите ее пересечением со стороной AB . Точка H делит длину гипотенузы c на части d и e. Новый треугольник ACH подобен треугольнику ABC , потому что они оба имеют прямой угол (по определению высоты), и они разделяют угол в точке A , что означает, что третий угол будет одинаковым в обоих треугольниках, обозначенный на рисунке как θ . По аналогичным рассуждениям треугольник CBH также подобен ABC . Доказательство подобия треугольников требует постулата треугольника : сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам, и это эквивалентно постулату о параллельности . Подобие треугольников приводит к равенству отношений соответствующих сторон:

${\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}$

Первый результат уравнивает косинусы углов θ , тогда как второй результат уравнивает их синусы .

Эти соотношения можно записать как

${\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}$

Суммируя эти два равенства, получаем

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB(AH+BH)=AB^{2},}$

что после упрощения демонстрирует теорему Пифагора:

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}.}$

Роль этого доказательства в истории является предметом множества спекуляций. Основной вопрос заключается в том, почему Евклид не использовал это доказательство, а придумал другое. Одна из гипотез заключается в том, что доказательство с помощью подобных треугольников включало теорию пропорций, тему, не обсуждавшуюся до более поздних моментов в « Началах» , и что теория пропорций нуждалась в дальнейшем развитии в то время. ^[8]

Доказательство Эйнштейна путем рассечения без перестановки

Прямоугольный треугольник на гипотенузе, разрезанной на два подобных прямоугольных треугольника на катетах, согласно доказательству Эйнштейна.

Альберт Эйнштейн дал доказательство путем разрезания, в котором части не нужно перемещать. ^[9] Вместо использования квадрата на гипотенузе и двух квадратов на катетах, можно использовать любую другую фигуру, которая включает гипотенузу, и две подобные фигуры, каждая из которых включает один из двух катетов вместо гипотенузы (см. Подобные фигуры на трех сторонах). В доказательстве Эйнштейна фигура, которая включает гипотенузу, является самим прямоугольным треугольником. Разрез состоит в опускании перпендикуляра из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу, таким образом разделяя весь треугольник на две части. Эти две части имеют ту же форму, что и исходный прямоугольный треугольник, и имеют катеты исходного треугольника в качестве своих гипотенуз, а сумма их площадей равна сумме площадей исходного треугольника. Поскольку отношение площади прямоугольного треугольника к квадрату его гипотенузы одинаково для подобных треугольников, соотношение между площадями трех треугольников справедливо и для квадратов сторон большого треугольника.

Доказательство Евклида

Доказательство в «Началах» Евклида

В общих чертах, вот как проходит доказательство в «Началах » Евклида . Большой квадрат делится на левый и правый прямоугольники. Строится треугольник, площадь которого равна половине площади левого прямоугольника. Затем строится другой треугольник, площадь которого равна половине площади квадрата с самой левой стороны. Показано, что эти два треугольника равны , что доказывает, что этот квадрат имеет ту же площадь, что и левый прямоугольник. За этим аргументом следует аналогичная версия для правого прямоугольника и оставшегося квадрата. Соединяя два прямоугольника вместе, чтобы восстановить квадрат на гипотенузе, его площадь равна сумме площадей двух других квадратов. Подробности следуют.

Пусть A , B , C — вершины прямоугольного треугольника с прямым углом A . Опустим перпендикуляр из A на сторону, противоположную гипотенузе в квадрате на гипотенузе. Эта линия разделит квадрат на гипотенузе на два прямоугольника, каждый из которых имеет ту же площадь, что и один из двух квадратов на катетах.

Для формального доказательства нам потребуются четыре элементарные леммы :

1. Если у двух треугольников две стороны одного равны двум сторонам другого, каждая из которых равна каждой, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники равны ( сторона-угол-сторона ).
2. Площадь треугольника равна половине площади любого параллелограмма с тем же основанием и той же высотой.
3. Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных сторон.
4. Площадь квадрата равна произведению двух его сторон (следует из 3).

Далее, каждый верхний квадрат связан с треугольником, конгруэнтным другому треугольнику, связанному в свою очередь с одним из двух прямоугольников, составляющих нижний квадрат. ^[10]

Иллюстрация, включающая новые линии

Показаны два равных треугольника, площадь которых равна половине площади прямоугольника BDLK и площади квадрата BAGF.

Доказательство следующее:

1. Пусть ACB — прямоугольный треугольник с прямым углом CAB.
2. На каждой из сторон BC, AB и CA нарисованы квадраты CBDE, BAGF и ACIH в указанном порядке. Построение квадратов требует непосредственно предшествующих теорем Евклида и зависит от постулата параллельности. ^[11]
3. Из точки А проведите линию, параллельную BD и CE. Она перпендикулярно пересечет BC и DE в точках K и L соответственно.
4. Соединим CF и AD, чтобы получились треугольники BCF и BDA.
5. Углы CAB и BAG прямые; следовательно, C, A и G лежат на одной прямой .
6. Углы CBD и FBA оба прямые; следовательно, угол ABD равен углу FBC, так как оба являются суммой прямого угла и угла ABC.
7. Так как AB равен FB, BD равен BC, а угол ABD равен углу FBC, треугольник ABD должен быть равен треугольнику FBC.
8. Так как AKL — прямая линия, параллельная BD, то прямоугольник BDLK имеет вдвое большую площадь, чем треугольник ABD, поскольку они имеют общее основание BD и одинаковую высоту BK, т. е. линию, перпендикулярную их общему основанию, соединяющую параллельные прямые BD и AL. (лемма 2)
9. Так как C лежит на одной прямой с A и G, а эта прямая параллельна FB, то квадрат BAGF должен быть в два раза больше по площади, чем треугольник FBC.
10. Следовательно, прямоугольник BDLK должен иметь такую ​​же площадь, как квадрат BAGF = AB ² .
11. Применив шаги с 3 по 10 к другой стороне фигуры, можно аналогичным образом показать, что прямоугольник CKLE должен иметь ту же площадь, что и квадрат ACIH = AC ² .
12. Складываем эти два результата: AB ² + AC ² = BD × BK + KL × KC
13. Так как BD = KL, то BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. Следовательно, AB2 ⁺ AC2 ⁼ BC2 ^, поскольку CBDE — квадрат.

Это доказательство, которое появляется в «Началах » Евклида как предложение 47 в книге 1, показывает, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух других квадратов. ^{[12] [13]} Это совершенно отличается от доказательства с помощью подобия треугольников, которое, как предполагается, использовал Пифагор. ^{[14] [15]}

Доказательства путем рассечения и перестановки

Другой перестановкой дается средней анимацией. Большой квадрат формируется площадью c ² из четырех одинаковых прямоугольных треугольников со сторонами a , b и c , расположенных вокруг маленького центрального квадрата. Затем путем перемещения треугольников формируются два прямоугольника со сторонами a и b . Объединение меньшего квадрата с этими прямоугольниками дает два квадрата с площадями a ² и b ² , которые должны иметь ту же площадь, что и исходный большой квадрат. ^[16]

Третье, самое правое изображение также дает доказательство. Верхние два квадрата разделены, как показано синей и зеленой штриховкой, на части, которые при перестановке могут быть сделаны так, чтобы соответствовать нижнему квадрату на гипотенузе – или наоборот, большой квадрат может быть разделен, как показано, на части, которые заполняют другие два. Этот способ разрезания одной фигуры на части и перестановки их для получения другой фигуры называется рассечением . Это показывает, что площадь большого квадрата равна площади двух меньших. ^[17]

Доказательство с помощью сохраняющего площадь сдвига

Визуальное доказательство теоремы Пифагора с помощью сохраняющего площадь сдвига

Как показано в прилагаемой анимации, сохраняющие площадь сдвиговые отображения и переносы могут преобразовать квадраты на сторонах, прилегающих к прямому углу, в квадрат на гипотенузе, вместе полностью покрывая его. ^[18] Каждый сдвиг оставляет основание и высоту неизменными, таким образом, оставляя площадь неизменной. Переносы также оставляют площадь неизменной, поскольку они вообще не изменяют формы. Каждый квадрат сначала сдвигается в параллелограмм, а затем в прямоугольник, который может быть перенесен на одну часть квадрата на гипотенузе.

Другие алгебраические доказательства

Связанное доказательство было опубликовано будущим президентом США Джеймсом А. Гарфилдом (тогда представителем США ) (см. диаграмму). ^{[19] [20] [21]} Вместо квадрата он использует трапецию , которую можно построить из квадрата во втором из приведенных выше доказательств путем деления пополам по диагонали внутреннего квадрата, чтобы получить трапецию, показанную на диаграмме. Площадь трапеции можно вычислить как половину площади квадрата, то есть

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.}$

Внутренний квадрат аналогичным образом делится пополам, и остается только два треугольника, поэтому доказательство проводится так же, как и выше, за исключением множителя , который удаляется путем умножения на два, чтобы получить результат. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Доказательство с использованием дифференциалов

К теореме Пифагора можно прийти, изучая, как изменения стороны приводят к изменению гипотенузы, и применяя исчисление . ^{[22] [23] [24]}

Треугольник ABC является прямоугольным треугольником, как показано в верхней части диаграммы, с гипотенузой BC . В то же время длины треугольника измеряются, как показано, с гипотенузой длиной y , стороной AC длиной x и стороной AB длиной a , как показано в нижней части диаграммы.

Диаграмма для дифференциального доказательства

Если x увеличивается на небольшую величину dx путем небольшого удлинения стороны AC до D , то y также увеличивается на dy . Они образуют две стороны треугольника CDE , который (при выборе E так, чтобы CE была перпендикулярна гипотенузе) является прямоугольным треугольником, приблизительно похожим на ABC . Следовательно, соотношения их сторон должны быть одинаковыми, то есть:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}$

Это можно переписать как , что является дифференциальным уравнением , которое можно решить путем прямого интегрирования: ${\displaystyle y\,dy=x\,dx}$

${\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,,}$

давая

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}$

Константу можно вывести из x = 0, y = a, получив уравнение

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$

Это скорее интуитивное доказательство, чем формальное: его можно сделать более строгим, если вместо dx и dy использовать соответствующие пределы .

Конверс

Обратное утверждение теоремы также верно: ^[25]

Дан треугольник со сторонами длиной a , b и c , если a ² + b ² = c ² , то угол между сторонами a и b является прямым углом .

^Для любых трех положительных действительных чисел a , b и c, таких что a2 + b2 = ^{c2 ,} существует треугольник со сторонами a , b и c, как следствие обратного неравенства треугольника .

Это обратное утверждение появляется в «Началах » Евклида (книга I, предложение 48): «Если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух оставшихся сторон треугольника, то угол, образованный двумя оставшимися сторонами треугольника, прямой». ^[26]

Это можно доказать с помощью теоремы косинусов или следующим образом:

Пусть ABC — треугольник со сторонами длиной a , b и c , причем a ² + b ² = c ² . Постройте второй треугольник со сторонами длиной a и b, содержащий прямой угол. По теореме Пифагора следует, что гипотенуза этого треугольника имеет длину c = √ a ² + b ² , такую ​​же, как гипотенуза первого треугольника. Поскольку стороны обоих треугольников имеют одинаковую длину a , b и c , треугольники равны и должны иметь одинаковые углы. Следовательно, угол между сторонами длиной a и b в исходном треугольнике является прямым углом.

Вышеприведенное доказательство обратного утверждения использует саму теорему Пифагора. Обратное утверждение можно доказать и без предположения теоремы Пифагора. ^{[27] [28]}

Следствием обратной теоремы Пифагора является простой способ определения того, является ли треугольник прямоугольным, тупоугольным или остроугольным, следующим образом. Пусть c выбрано как самая длинная из трех сторон и a + b > c (иначе треугольника нет согласно неравенству треугольника ). Применимы следующие утверждения: ^[29]

• Если a2 + b2 = c2 ^, то треугольник прямоугольный .^​​
• Если a2 + b2 > c2 ^, то треугольник остроугольный .^​​
• Если a2 + b2 < c2 ^, то треугольник тупоугольный .^​​

Эдсгер В. Дейкстра сформулировал следующее положение об остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольниках на этом языке:

знак( α + β - γ ) = знак ( а ² + б ² - с ² ),

где α — угол, противолежащий стороне a , β — угол, противолежащий стороне b , γ — угол, противолежащий стороне c , а sgn — функция знака . ^[30]

Следствия и применение теоремы

Пифагоровы тройки

Пифагорова тройка имеет три положительных целых числа a , b , и c , таких что a ² + b ² = c ² . Другими словами, пифагорова тройка представляет длины сторон прямоугольного треугольника, где все три стороны имеют целые длины. ^[1] Такая тройка обычно записывается как ( a , b , c ). Некоторые известные примеры — (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Примитивная пифагорова тройка — это тройка, в которой a , b и c взаимно просты ( наибольший общий делитель a , b и c равен 1).

Ниже приведен список примитивных пифагоровых троек со значениями меньше 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77) , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Обратная теорема Пифагора

Дан прямоугольный треугольник со сторонами и высотой (прямая, проходящая через прямой угол и перпендикулярная гипотенузе ) . Теорема Пифагора имеет, ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

в то время как обратная теорема Пифагора связывает две стороны с высотой , ^[31] ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}$

Уравнение можно преобразовать к виду,

${\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}}$

где для любого ненулевого действительного . Если должны быть целыми числами , наименьшее решение тогда ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle a,b,d}$ ${\displaystyle a>b>d}$

${\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}$

с использованием наименьшей пифагорейской тройки . Обратная теорема Пифагора является частным случаем оптического уравнения ${\displaystyle 3,4,5}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}$

где знаменатели являются квадратами, а также для семиугольного треугольника , стороны которого являются квадратными числами. ${\displaystyle p,q,r}$

Несоизмеримые длины

Спираль Феодора : конструкция для отрезков прямых с длинами, отношения которых являются квадратным корнем положительного целого числа.

Одним из следствий теоремы Пифагора является то, что отрезки прямых, длины которых несоизмеримы (то есть отношение которых не является рациональным числом ), можно построить с помощью линейки и циркуля . Теорема Пифагора позволяет строить несоизмеримые длины, поскольку гипотенуза треугольника связана со сторонами посредством операции извлечения квадратного корня .

На рисунке справа показано, как построить отрезки прямых, длины которых находятся в соотношении квадратного корня любого положительного целого числа. ^[32] Каждый треугольник имеет сторону (обозначенную «1»), которая является выбранной единицей измерения. В каждом прямоугольном треугольнике теорема Пифагора устанавливает длину гипотенузы в терминах этой единицы. Если гипотенуза связана с единицей квадратным корнем положительного целого числа, которое не является полным квадратом, то это реализация длины, несоизмеримой с единицей, например √ 2 , √ 3 , √ 5  . Более подробно см. Квадратичные иррациональные .

Несоизмеримые длины противоречили концепции пифагорейской школы о числах как о целых числах. Пифагорейская школа рассматривала пропорции путем сравнения целых кратных общей субъединицы. ^[33] Согласно одной легенде, Гиппас из Метапонта ( ок. 470 г. до н. э.) утонул в море за то, что сообщил о существовании иррационального или несоизмеримого. ^[34] Подробное обсуждение вклада Гиппаса можно найти у Фрица . ^[35]

Комплексные числа

Абсолютное значение комплексного числа z равно расстоянию r от z до начала координат.

Для любого комплексного числа

${\displaystyle z=x+iy,}$

абсолютная величина или модуль определяется как

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Итак, три величины r , x и y связаны уравнением Пифагора:

${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Обратите внимание, что r определяется как положительное число или ноль, но x и y могут быть как отрицательными, так и положительными. Геометрически r — это расстояние z от нуля или начала координат O в комплексной плоскости .

Это можно обобщить, чтобы найти расстояние между двумя точками, скажем, z ₁ и z _2. Требуемое расстояние определяется как

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$

поэтому они снова связаны версией уравнения Пифагора,

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$

Евклидово расстояние

Формула расстояния в декартовых координатах выводится из теоремы Пифагора. ^[36] Если ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) — точки на плоскости, то расстояние между ними, также называемое евклидовым расстоянием , определяется как

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$

В более общем смысле, в евклидовом n -пространстве евклидово расстояние между двумя точками и определяется обобщением теоремы Пифагора следующим образом: ${\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Если вместо евклидова расстояния использовать квадрат этого значения ( квадрат евклидова расстояния , или SED), то полученное уравнение избегает квадратных корней и представляет собой просто сумму SED координат:

${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$

Квадратичная форма представляет собой гладкую, выпуклую функцию обеих точек и широко используется в теории оптимизации и статистике , составляя основу метода наименьших квадратов .

Евклидово расстояние в других системах координат

Если декартовы координаты не используются, например, если используются полярные координаты в двух измерениях или, в более общих чертах, если используются криволинейные координаты , формулы, выражающие евклидово расстояние, сложнее теоремы Пифагора, но могут быть выведены из нее. Типичный пример, когда расстояние по прямой между двумя точками преобразуется в криволинейные координаты, можно найти в приложениях полиномов Лежандра в физике . Формулы можно найти, используя теорему Пифагора с уравнениями, связывающими криволинейные координаты с декартовыми координатами. Например, полярные координаты ( r , θ ) можно ввести как:

${\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .}$

Тогда две точки с местоположениями ( r ₁ , θ ₁ ) и ( r ₂ , θ ₂ ) разделены расстоянием s :

${\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}$

Выполняя возведение в квадрат и объединение членов, формула Пифагора для расстояния в декартовых координатах дает разделение в полярных координатах как:

${\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}$

с использованием тригонометрических формул произведения в сумму . Эта формула является законом косинусов, иногда называемым обобщенной теоремой Пифагора. ^[37] Из этого результата, для случая, когда радиусы к двум точкам находятся под прямым углом, заключенный в нем угол Δ θ = π /2, и форма, соответствующая теореме Пифагора, восстанавливается: Теорема Пифагора, верная для прямоугольных треугольников, следовательно, является частным случаем более общего закона косинусов, верного для произвольных треугольников. ${\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$

Тригонометрическое тождество Пифагора

Подобные прямоугольные треугольники, показывающие синус и косинус угла θ

В прямоугольном треугольнике со сторонами a , b и гипотенузой c тригонометрия определяет синус и косинус угла θ между стороной a и гипотенузой как:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$

Из этого следует:

${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$

где последний шаг применяет теорему Пифагора. Это соотношение между синусом и косинусом иногда называют фундаментальным тригонометрическим тождеством Пифагора. ^[38] В подобных треугольниках соотношения сторон одинаковы независимо от размера треугольников и зависят от углов. Следовательно, на рисунке треугольник с гипотенузой единичного размера имеет противолежащую сторону размером sin  θ и прилежащую сторону размером cos  θ в единицах гипотенузы.

Отношение к перекрестному произведению

Площадь параллелограмма как векторное произведение; векторы a и b определяют плоскость, а a × b является нормалью к этой плоскости.

Теорема Пифагора связывает векторное произведение и скалярное произведение аналогичным образом: ^[39]

${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}$

Это можно увидеть из определений векторного произведения и скалярного произведения, как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}$

где n — единичный вектор, нормальный как к a, так и к b . Соотношение следует из этих определений и тригонометрического тождества Пифагора.

Это также можно использовать для определения перекрестного произведения. Переставляя, получаем следующее уравнение

${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

Это можно рассматривать как условие для векторного произведения и, таким образом, часть его определения, например, в семи измерениях . ^{[40] [41]}

Как аксиома

Если предположить, что первые четыре аксиомы евклидовой геометрии истинны, то теорема Пифагора эквивалентна пятой. То есть пятый постулат Евклида подразумевает теорему Пифагора и наоборот.

Обобщения

Аналогичные фигуры на трех сторонах

Теорема Пифагора обобщает за пределы площадей квадратов по трем сторонам на любые подобные фигуры . Это было известно Гиппократу Хиосскому в V веке до н. э. ^[42] и было включено Евклидом в его Элементы : ^[43]

Если на сторонах прямоугольного треугольника построить подобные фигуры (см. Евклидову геометрию ) с соответствующими сторонами, то сумма площадей фигур на двух меньших сторонах будет равна площади фигуры на большей стороне.

Это расширение предполагает, что стороны исходного треугольника являются соответствующими сторонами трех конгруэнтных фигур (поэтому общие соотношения сторон между подобными фигурами равны a:b:c ). ^[44] В то время как доказательство Евклида применимо только к выпуклым многоугольникам, теорема также применима к вогнутым многоугольникам и даже к подобным фигурам, имеющим изогнутые границы (но все еще с частью границы фигуры, являющейся стороной исходного треугольника). ^[44]

Основная идея этого обобщения заключается в том, что площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любого линейного измерения, и в частности пропорциональна квадрату длины любой стороны. Таким образом, если подобные фигуры с площадями A , B и C возведены на сторонах с соответствующими длинами a , b и c, то:

${\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,}$

${\displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.}$

Но по теореме Пифагора a ² + b ² = c ² , поэтому A + B = C .

Наоборот, если мы можем доказать, что A + B = C для трех подобных фигур без использования теоремы Пифагора, то мы можем работать в обратном направлении, чтобы построить доказательство теоремы. Например, исходный центральный треугольник можно воспроизвести и использовать как треугольник C на его гипотенузе, и два подобных прямоугольных треугольника ( A и B ), построенных на двух других сторонах, образованных делением центрального треугольника на его высоту . Сумма площадей двух меньших треугольников, таким образом, равна сумме площадей третьего, таким образом, A + B = C , и обращение вышеприведенной логики приводит к теореме Пифагора a ² + b ² = c ² . ( См. также доказательство Эйнштейна путем рассечения без перестановки )

Закон косинусов

Расстояние s между двумя точками (r ₁ , θ ₁ ) и (r ₂ , θ ₂ ) в полярных координатах определяется теоремой косинусов . Внутренний угол Δθ = θ ₁ −θ ₂ .

Теорема Пифагора является частным случаем более общей теоремы, связывающей длины сторон в любом треугольнике, закона косинусов, который гласит, что где — угол между сторонами и . ^[45] $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Когда — радианы или 90°, то , и формула сводится к обычной теореме Пифагора. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos {\theta }=0}$

Произвольный треугольник

Обобщение теоремы Пифагора Табитом ибн Коррой . ^[46] Нижняя панель: отражение треугольника CAD (вверху) для образования треугольника DAC, подобного треугольнику ABC (вверху).

В любой выбранный угол общего треугольника со сторонами a, b, c впишите равнобедренный треугольник так, чтобы равные углы при его основании θ были такими же, как выбранный угол. Предположим, что выбранный угол θ находится напротив стороны, обозначенной c . Вписывание равнобедренного треугольника образует треугольник CAD с углом θ, противолежащим стороне b , и со стороной r вдоль c . Второй треугольник образован с углом θ, противолежащим стороне a , и стороной длиной s вдоль c , как показано на рисунке. Сабит ибн Курра утверждал, что стороны трех треугольников были связаны следующим образом: ^{[47] [48]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}$

По мере того, как угол θ приближается к π /2, основание равнобедренного треугольника сужается, а длины r и s перекрываются все меньше и меньше. Когда θ = π /2, ADB становится прямоугольным треугольником, r + s = c , и исходная теорема Пифагора восстанавливается.

Одно доказательство показывает, что треугольник ABC имеет те же углы, что и треугольник CAD , но в противоположном порядке. (Два треугольника разделяют угол при вершине A, оба содержат угол θ, и поэтому также имеют один и тот же третий угол по постулату треугольника .) Следовательно, ABC подобен отражению CAD , треугольнику DAC на нижней панели. Принимая соотношение сторон, противолежащих и примыкающих к θ,

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}\ .}$

Аналогично, для отражения другого треугольника,

${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .}$

Очищаем дроби и добавляем эти два соотношения:

${\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,}$

требуемый результат.

Теорема остается справедливой, если угол тупой, поэтому длины r и s не перекрываются. ${\displaystyle \theta }$

Общие треугольники с использованием параллелограммов

Обобщение для произвольных треугольников,
зеленая область = синяя область

Построение для доказательства обобщения параллелограмма

Теорема Паппа о площадях является дальнейшим обобщением, которое применяется к треугольникам, которые не являются прямоугольными треугольниками, используя параллелограммы на трех сторонах вместо квадратов (квадраты, конечно, являются особым случаем). Верхний рисунок показывает, что для разностороннего треугольника площадь параллелограмма на самой длинной стороне равна сумме площадей параллелограммов на двух других сторонах, при условии, что параллелограмм на длинной стороне построен так, как указано (измерения, отмеченные стрелками, одинаковы и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет явное сходство с исходной теоремой Пифагора и считалась обобщением Паппа Александрийского в 4 г. н. э. ^{[49] [50]}

На нижнем рисунке показаны элементы доказательства. Сосредоточьтесь на левой стороне рисунка. Левый зеленый параллелограмм имеет ту же площадь, что и левая, синяя часть нижнего параллелограмма, потому что у обоих одинаковое основание b и высота h . Однако левый зеленый параллелограмм также имеет ту же площадь, что и левый зеленый параллелограмм верхнего рисунка, потому что у них одинаковое основание (верхняя левая сторона треугольника) и одинаковая высота, перпендикулярная этой стороне треугольника. Повторяя рассуждение для правой стороны рисунка, нижний параллелограмм имеет ту же площадь, что и сумма двух зеленых параллелограммов.

Твёрдая геометрия

Теорема Пифагора в трех измерениях связывает диагональ AD с тремя сторонами.

Тетраэдр с прямым углом, обращенным наружу.

В терминах стереометрии теорема Пифагора может быть применена к трем измерениям следующим образом. Рассмотрим кубоид , показанный на рисунке. Длина диагонали грани AC находится из теоремы Пифагора как:

${\displaystyle {\overline {AC}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}\,,}$

где эти три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используя диагональ AC и горизонтальное ребро CD , длина диагонали тела AD затем находится вторым применением теоремы Пифагора как:

${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\,,}$

или, сделав все это за один шаг:

${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\,.}$

Этот результат представляет собой трехмерное выражение для величины вектора v (диагонали AD) через его ортогональные компоненты { v _k } (три взаимно перпендикулярные стороны):

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}$

Эту одношаговую формулировку можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора на более высокие измерения. Однако этот результат на самом деле является всего лишь повторным применением исходной теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательности ортогональных плоскостей.

Существенным обобщением теоремы Пифагора на три измерения является теорема де Гуа , названная в честь Жана Поля де Гуа де Мальвеса : если тетраэдр имеет прямой угол (как угол куба ) , то квадрат площади грани, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов площадей трех других граней. Этот результат можно обобщить, как в « n -мерной теореме Пифагора»: ^[51]

Пусть — ортогональные векторы в R ⁿ . Рассмотрим n -мерный симплекс S с вершинами . (Думайте о ( n  − 1)-мерном симплексе с вершинами, не включая начало координат, как о «гипотенузе» S , а об оставшихся ( n  − 1)-мерных гранях S как о его «катетах».) Тогда квадрат объема гипотенузы S равен сумме квадратов объемов n катетов. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Это утверждение проиллюстрировано в трех измерениях тетраэдром на рисунке. «Гипотенуза» — это основание тетраэдра на задней стороне рисунка, а «ноги» — это три стороны, исходящие из вершины на переднем плане. По мере увеличения глубины основания от вершины площадь «ног» увеличивается, в то время как площадь основания остается фиксированной. Теорема предполагает, что когда эта глубина достигает значения, создающего прямую вершину, применяется обобщение теоремы Пифагора. В другой формулировке: ^[52]

Для n -прямоугольного n -мерного симплекса квадрат ( n  − 1)-содержимого грани, противолежащей правой вершине, будет равен сумме квадратов ( n  − 1)-содержимого остальных граней.

Внутренние пространства продукта

Векторы, участвующие в законе параллелограмма

Теорема Пифагора может быть обобщена на пространства внутреннего произведения , ^[53] которые являются обобщениями знакомых 2-мерных и 3-мерных евклидовых пространств . Например, функцию можно рассматривать как вектор с бесконечным числом компонентов в пространстве внутреннего произведения, как в функциональном анализе . ^[54]

В пространстве скалярного произведения понятие перпендикулярности заменяется понятием ортогональности : два вектора v и w ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение является обобщением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение называется стандартным скалярным произведением или евклидовым скалярным произведением. Однако возможны и другие скалярные произведения. ^[55] ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$

Понятие длины заменяется понятием нормы ‖ v ‖ вектора v , определяемой как: ^[56]

${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\,.}$

В пространстве внутренних произведений теорема Пифагора утверждает, что для любых двух ортогональных векторов v и w мы имеем

${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}$

Здесь векторы v и w подобны сторонам прямоугольного треугольника с гипотенузой, заданной векторной суммой v  +  w . Эта форма теоремы Пифагора является следствием свойств внутреннего произведения :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}&=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle \\[3mu]&=\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \\[3mu]&=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},\end{aligned}}}$

где из-за ортогональности. ${\displaystyle \langle \mathbf {v,\ w} \rangle =\langle \mathbf {w,\ v} \rangle =0}$

Дальнейшим обобщением теоремы Пифагора в пространстве скалярного произведения на неортогональные векторы является закон параллелограмма : ^[56]

${\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}\ ,}$

что говорит, что удвоенная сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин диагоналей. Любая норма, удовлетворяющая этому равенству, является ipso facto нормой, соответствующей внутреннему произведению. ^[56]

Тождество Пифагора можно распространить на суммы более двух ортогональных векторов. Если v ₁ , v ₂ , ..., v _n являются попарно ортогональными векторами в пространстве внутреннего произведения, то применение теоремы Пифагора к последовательным парам этих векторов (как описано для 3-мерного пространства в разделе о стереометрии) приводит к уравнению ^[57]

${\displaystyle {\biggl \|}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}{\biggr \|}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}}$

Наборым-мерные объекты вн-мерное пространство

Другое обобщение теоремы Пифагора применимо к измеримым по Лебегу множествам объектов в любом количестве измерений. В частности, квадрат меры m -мерного множества объектов в одной или нескольких параллельных m -мерных плоскостях в n -мерном евклидовом пространстве равен сумме квадратов мер ортогональных проекций объекта(ов) на все m -мерные координатные подпространства. ^[58]

В математических терминах:

${\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}}$

где:

• ${\displaystyle \mu _{m}}$является мерой в m -измерениях (длина в одном измерении, площадь в двух измерениях, объем в трех измерениях и т. д.).
• ${\displaystyle s}$представляет собой набор из одного или нескольких неперекрывающихся m -мерных объектов в одной или нескольких параллельных m -мерных плоскостях в n -мерном евклидовом пространстве.
• ${\displaystyle \mu _{ms}}$— это общая мера (сумма) множества m -мерных объектов.
• ${\displaystyle p}$представляет собой m -мерную проекцию исходного множества на ортогональное координатное подпространство.
• ${\displaystyle \mu _{mp_{i}}}$является мерой проекции m -мерного множества на m -мерное координатное подпространство . Поскольку проекции объектов могут перекрываться в координатном подпространстве, мера проекции каждого объекта в наборе должна быть вычислена индивидуально, затем меры всех проекций должны быть сложены вместе, чтобы получить общую меру для набора проекций на заданное координатное подпространство. ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$— число ортогональных m -мерных координатных подпространств в n -мерном пространстве ( Rn ) ^, на которые проецируются m -мерные объекты ( m ≤ n ): $${\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$$

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии , и на самом деле, если бы теорема Пифагора не выполнялась для некоторого прямоугольного треугольника, то плоскость, в которой содержится этот треугольник, не могла бы быть евклидовой. Точнее, теорема Пифагора подразумевает и следует из постулата о параллельных (пятом) треугольниках Евклида . ^{[59] [60]} Таким образом, прямоугольные треугольники в неевклидовой геометрии ^[61] не удовлетворяют теореме Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем, a , b и c ), ограничивающие октант единичной сферы, имеют длину, равную π /2, и все его углы являются прямыми, что нарушает теорему Пифагора, поскольку . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}}$

Здесь рассматриваются два случая неевклидовой геометрии — сферическая геометрия и гиперболическая плоская геометрия ; в каждом случае, как и в евклидовом случае для непрямоугольных треугольников, результат, заменяющий теорему Пифагора, следует из соответствующего закона косинусов.

Однако теорема Пифагора остается верной в гиперболической и эллиптической геометрии, если условие, что треугольник должен быть прямым, заменить условием, что два угла в сумме дают третий, скажем, A + B = C. Тогда стороны связаны следующим образом: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга с диаметром c . ^[62]

Сферическая геометрия

Сферический треугольник

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиуса R (например, если γ на рисунке — прямой угол) со сторонами a , b , c соотношение между сторонами принимает вид: ^[63]

${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}.}$

Это уравнение можно вывести как частный случай сферического закона косинусов , который применим ко всем сферическим треугольникам:

${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\,\sin {\frac {b}{R}}\,\cos {\gamma }.}$

Для бесконечно малых треугольников на сфере (или, что эквивалентно, для конечных сферических треугольников на сфере бесконечного радиуса) сферическое соотношение между сторонами прямоугольного треугольника сводится к евклидовой форме теоремы Пифагора. Чтобы увидеть, как это сделать, предположим, что у нас есть сферический треугольник с фиксированными длинами сторон a , b , и c на сфере с расширяющимся радиусом R . Когда R стремится к бесконечности, величины a/R , b/R , и c/R стремятся к нулю, а сферическое пифагорейское тождество сводится к , поэтому мы должны рассмотреть его асимптотическое расширение . ${\displaystyle 1=1,}$

Ряд Маклорена для функции косинуса можно записать как с остаточным членом в большой нотации O. Пусть будет стороной треугольника, и выражение рассматривается как асимптотическое разложение в терминах R для фиксированного c , ${\textstyle \cos x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+O{\left(x^{4}\right)}}$ ${\displaystyle x=c/R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {c}{R}}=1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\end{aligned}}}$

и аналогично для a и b . Подстановка асимптотического разложения для каждого из косинусов в сферическое соотношение для прямоугольного треугольника дает

${\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}&=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\\&=1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.\end{aligned}}}$

Вычитаем 1 и затем отрицаем каждую сторону,

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.}$

Умножая на 2 R ² , асимптотическое разложение для c в терминах фиксированных a , b и переменной R равно

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O{\left(R^{-2}\right)}.}$

Соотношение Евклида и Пифагора восстанавливается в пределе, поскольку остаток исчезает, когда радиус R стремится к бесконечности. ${\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Для практических вычислений в сферической тригонометрии с малыми прямоугольными треугольниками косинусы можно заменить синусами, используя тождество двойного угла, чтобы избежать потери значимости . Тогда сферическая теорема Пифагора может быть альтернативно записана как ${\displaystyle \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }}$

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\,\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$

Гиперболическая геометрия

Гиперболический треугольник

В гиперболическом пространстве с равномерной гауссовой кривизной −1/ R ² для прямоугольного треугольника с катетами a , b и гипотенузой c соотношение между сторонами принимает вид: ^[64]

${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}$

где cosh — гиперболический косинус . Эта формула — особая форма гиперболического закона косинусов , которая применяется ко всем гиперболическим треугольникам: ^[65]

${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\ \cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,}$

где γ — угол при вершине, противолежащей стороне c .

Используя ряд Маклорена для гиперболического косинуса, cosh x ≈ 1 + x ² /2 , можно показать, что когда гиперболический треугольник становится очень маленьким (то есть когда a , b , и c стремятся к нулю), гиперболическое соотношение для прямоугольного треугольника приближается к форме теоремы Пифагора.

Для небольших прямоугольных треугольников ( a , b << R ) гиперболические косинусы можно исключить, чтобы избежать потери значимости , что дает

${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}$

Очень маленькие треугольники

Для любой равномерной кривизны K (положительной, нулевой или отрицательной) в очень маленьких прямоугольных треугольниках (| K | a ² , | K | b ² << 1) с гипотенузой c можно показать, что

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.}$

Дифференциальная геометрия

Расстояние между бесконечно малыми точками в декартовых координатах (вверху) и полярных координатах (внизу), как определено теоремой Пифагора

Теорема Пифагора применима к бесконечно малым треугольникам, рассматриваемым в дифференциальной геометрии . В трехмерном пространстве расстояние между двумя бесконечно малыми точками удовлетворяет условию

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$

где ds — элемент расстояния, а ( dx , dy , dz ) — компоненты вектора, разделяющего две точки. Такое пространство называется евклидовым пространством . Однако в римановой геометрии обобщение этого выражения, полезное для общих координат (не только декартовых) и общих пространств (не только евклидовых), принимает вид: ^[66]

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}$

который называется метрическим тензором . (Иногда, из-за злоупотребления языком, тот же термин применяется к набору коэффициентов g _ij .) Он может быть функцией положения и часто описывает искривленное пространство . Простым примером является евклидово (плоское) пространство, выраженное в криволинейных координатах . Например, в полярных координатах :

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .}$

История

Табличка Плимптон 322 содержит записи о пифагорейских тройках со времен Вавилона . ^[67]

Ведутся споры о том, была ли теорема Пифагора открыта один раз или много раз во многих местах, и дата первого открытия неизвестна, как и дата первого доказательства. Историки месопотамской математики пришли к выводу, что правило Пифагора широко использовалось в древневавилонский период (20-16 вв. до н. э.), более чем за тысячу лет до рождения Пифагора . ^{[68] [69] [70] [71]} Историю теоремы можно разделить на четыре части: знание пифагорейских троек , знание отношений между сторонами прямоугольного треугольника, знание отношений между смежными углами и доказательства теоремы в рамках некоторой дедуктивной системы .

Написанный около 1800  г. до н. э., египетский папирус Среднего царства Берлин 6619 включает задачу, решением которой является пифагорейская тройка 6:8:10, но в задаче не упоминается треугольник. Месопотамская табличка Plimpton 322 , написанная около Ларсы также около 1800  г. до н. э., содержит много записей, тесно связанных с пифагорейскими тройками. ^[72]

В Индии Баудхаяна Шульба Сутра , даты которой указываются по-разному, между VIII и V веками до н. э., ^[73] содержит список пифагорейских троек и формулировку теоремы Пифагора, как в частном случае равнобедренного прямоугольного треугольника , так и в общем случае, как и Апастамба Шульба Сутра ( ок.  600 г. до н. э. ). ^[a]

Византийский неоплатоник и математик Прокл , писавший в пятом веке нашей эры, излагает два арифметических правила, «одно из них приписывается Платону , другое — Пифагору», ^[76] для создания специальных пифагорейских троек. Правило, приписываемое Пифагору ( ок.  570  — ок.  495 до н. э. ), начинается с нечетного числа и производит тройку с катетом и гипотенузой, отличающимися на одну единицу; правило, приписываемое Платону (428/427 или 424/423 — 348/347 до н. э.), начинается с четного числа и производит тройку с катетом и гипотенузой, отличающимися на две единицы. По словам Томаса Л. Хита (1861–1940), в сохранившейся греческой литературе за пять столетий после жизни Пифагора не существует конкретного приписывания теоремы Пифагору. ^[77] Однако, когда такие авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывали теорему Пифагору, они делали это таким образом, который предполагает, что атрибуция была широко известна и не вызывала сомнений. ^{[78] [79]} Классицист Курт фон Фриц писал: «Если эта формула справедливо приписывается лично Пифагору... можно с уверенностью предположить, что она принадлежит к древнейшему периоду пифагорейской математики ». ^{[35] Около 300 г. до н. э. в «} Началах » Евклида представлено старейшее из сохранившихся аксиоматических доказательств теоремы. ^[80]

Геометрическое доказательство теоремы Пифагора из « Чжоуби Суаньцзин»

С содержанием, известным гораздо раньше, но в сохранившихся текстах, датируемых примерно I в. до н. э., китайский текст Чжоуби Суаньцзин (周髀算经), ( Арифметическая классика гномона и круговых путей неба ) дает обоснование теоремы Пифагора для треугольника (3, 4, 5) — в Китае она называется « теорема Гоугу » ​​(勾股定理). ^{[81] [82]} Во времена династии Хань (202 г. до н. э. — 220 г. н. э.) пифагорейские тройки появляются в «Девяти главах о математическом искусстве » ^[83] вместе с упоминанием прямоугольных треугольников. ^[84] Некоторые полагают, что теорема впервые возникла в Китае в 11 веке до нашей эры, ^[85] где она также известна как « теорема Шан Гао » (商高定理), ^[86] названная в честь астронома и математика герцога Чжоу , чьи рассуждения составили большую часть того, что было в « Чжоуби Суаньцзин» . ^[87]

Смотрите также

• Математический портал

• Сложение в квадратуре
• В Дулькарноне
• Теорема о британском флаге
• Кресло невесты
• Великая теорема Ферма
• Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора
• Сюань ту
• Обратная теорема Пифагора
• Треугольник Кеплера
• Линейная алгебра
• Список тем треугольника
• L ^p пространство
• Негипотенузное число
• Закон параллелограмма
• тождество Парсеваля
• Теорема Птолемея
• Пифагор в популярной культуре
• Пифагорейское ожидание
• Пифагорейская мозаика
• Рациональная тригонометрия в теореме Пифагора
• Теорема Фалеса

Примечания и ссылки

Примечания

1. Ван дер Варден считал, что этот материал «безусловно основан на более ранних традициях». ^[74] Карл Бойер утверждает, что теорема Пифагора в « Шульба-сутрам» могла быть создана под влиянием древней месопотамской математики, но нет никаких убедительных доказательств в пользу или против этой возможности. ^[75]

Ссылки

1. Джудит Д. Салли; Пол Салли (2007). "Глава 3: Пифагоровые тройки". Корни к исследованию: вертикальное развитие математических проблем . Книжный магазин Американского математического общества. стр. 63. ISBN 978-0-8218-4403-8.
2. Бенсон, Дональд. Момент доказательства: математические озарения , стр. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
3. Евклид (1956), стр. 351–352.
4. Хаффман, Карл (23 февраля 2005 г.). «Пифагор». В Zalta, Edward N. (ред.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (зимнее издание 2018 г.) ., «Теперь должно быть ясно, что решения относительно источников имеют решающее значение при рассмотрении вопроса о том, был ли Пифагор математиком и ученым. Взгляд Пифагора на космос, изложенный в первых пяти абзацах этого раздела, согласно которому он не был ни математиком, ни ученым, остается консенсусом».
5. Александр Богомольный. "Cut-the-knot.org: теорема Пифагора и ее многочисленные доказательства, Доказательство № 4". Cut the Knot . Получено 4 ноября 2010 г.
6. Александр Богомольный. "Cut-the-knot.org: теорема Пифагора и ее многочисленные доказательства, Доказательство №3". Cut the Knot . Получено 4 ноября 2010 г.
7. (Лумис 1940)
8. (Маор 2007, стр. 39)
9. Шредер, Манфред Роберт (2012). Фракталы, Хаос, Законы степеней: Минуты из бесконечного рая . Courier Corporation. стр. 3–4. ISBN 978-0486134789.
10. См., например, теорему Пифагора с помощью отображения сдвига. Архивировано 14 октября 2016 г. на сайте Wayback Machine , веб-сайте Университета Сент-Луиса. Java-апплет.
11. Ян Гуллберг (1997). Математика: от рождения чисел . WW Norton & Company. стр. 435. ISBN 0-393-04002-X.
12. Хейберг, Дж. Л. «Элементы геометрии Евклида» (PDF) . стр. 46–47.
13. «Элементы Евклида, Книга I, Предложение 47».См. также версию веб-страницы с использованием Java-апплетов профессора Дэвида Э. Джойса из Университета Кларка.
14. Стивен В. Хокинг (2005). Бог создал целые числа: математические прорывы, изменившие историю. Филадельфия: Running Press Book Publishers. стр. 12. ISBN 0-7624-1922-9.Это доказательство впервые появилось после того, как была создана компьютерная программа для проверки евклидовых доказательств.
15. Доказательство Пифагора, вероятно, не было общим, поскольку теория пропорций была разработана только через два столетия после Пифагора; см. (Maor 2007, стр. 25)
16. Александр Богомольный . "Теорема Пифагора, доказательство номер 10". Cut the Knot . Получено 27 февраля 2010 г.
17. (Лумис 1940, стр. 113, Геометрическое доказательство 22 и рисунок 123)
18. Польстер, Буркард (2004). QED: Красота в математическом доказательстве . Walker Publishing Company. стр. 49.
19. Опубликовано в еженедельной математической колонке: Джеймс А. Гарфилд (1876). "Pons Asinorum". The New England Journal of Education . 3 (14): 161.как отмечено в William Dunham (1997). Математическая вселенная: алфавитное путешествие по великим доказательствам, проблемам и личностям. Wiley. стр. 96. ISBN 0-471-17661-3.и в Календаре математических дат: 1 апреля 1876 г. Архивировано 14 июля 2010 г. на Wayback Machine В. Фредериком Рики
20. Ланц, Дэвид. «Доказательство теоремы Пифагора Гарфилда». Math.Colgate.edu . Архивировано из оригинала 2013-08-28 . Получено 2018-01-14 .
21. Маор, Эли, Теорема Пифагора , Издательство Принстонского университета, 2007: стр. 106-107.
22. Майк Старинг (1996). «Предложение Пифагора: доказательство с помощью исчисления». Журнал «Математика» . 69 (1). Математическая ассоциация Америки: 45–46. doi :10.2307/2691395. JSTOR  2691395.
23. Богомольный, Александр. "Теорема Пифагора". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles . Александр Богомольный. Архивировано из оригинала 2010-07-06 . Получено 2010-05-09 .
24. Брюс К. Берндт (1988). «Рамануджан – 100 лет (модный) или 100 лет новый (модный)?». The Mathematical Intelligencer . 10 (3): 24–31. doi :10.1007/BF03026638. S2CID  123311054.
25. Джудит Д. Салли; Пол Дж. Салли-младший (2007-12-21). "Теорема 2.4 (Обратная теорема Пифагора)". Корни исследований . Американское математическое общество . стр. 54–55. ISBN 978-0-8218-4403-8.
26. «Начала» Евклида, Книга I, Предложение 48. С веб-страницы Д.Э. Джойса в Университете Кларка.
27. Кейси, Стивен, «Обратная теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 309–313.
28. Митчелл, Дуглас В., «Обратная связь по 92.47», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 156.
29. Эрнест Юлиус Вильчинский; Герберт Эллсворт Слоут (1914). «Теорема 1 и теорема 2». Плоская тригонометрия и приложения. Аллин и Бэкон. стр. 85.
30. Дейкстра, Эдсгер В. (7 сентября 1986 г.). «О теореме Пифагора». EWD975 . Архив Э. В. Дейкстры.
31. Александр Богомольный, Теорема Пифагора для обратных величин,https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PTForReciprocals.shtml
32. Лоу, Генри (1853). "Следствие 5 из предложения XLVII (теорема Пифагора)". Элементы Евклида: со многими дополнительными предложениями и пояснительными примечаниями, к которым предшествует вводный очерк по логике . Джон Уил. стр. 49.
33. Шоган Лавин (1994). Понимание бесконечности. Издательство Гарвардского университета. стр. 13. ISBN 0-674-92096-1.
34. (Heath 1921, Vol I, pp. 65); Гиппас в то время был в плавании, и его товарищи выбросили его за борт. См. James R. Choike (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». The College Mathematics Journal . 11 : 312–316.
35. Курт фон Фриц (апрель 1945 г.). «Открытие несоизмеримости Гиппасом из Метапонта». Annals of Mathematics . Вторая серия. 46 (2): 242–264. doi :10.2307/1969021. JSTOR  1969021.
36. Джон Орвант; Яркко Хиетаниеми; Джон Макдональд (1999). "Евклидово расстояние". Освоение алгоритмов с помощью Perl . O'Reilly Media, Inc. стр. 426. ISBN 1-56592-398-7.
37. Уэнтворт, Джордж (2009). Плоская тригонометрия и таблицы. BiblioBazaar, LLC. стр. 116. ISBN 978-1-103-07998-8., Упражнения, страница 116
38. Лоуренс С. Лефф (2005). PreCalculus the Easy Way (7-е изд.). Образовательная серия Barron's. стр. 296. ISBN 0-7641-2892-2.
39. WS Massey (декабрь 1983 г.). «Перекрестные произведения векторов в многомерных евклидовых пространствах» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 90 (10). Математическая ассоциация Америки: 697–701. doi :10.2307/2323537. JSTOR  2323537. S2CID  43318100. Архивировано из оригинала (PDF) 2021-02-26.
40. Pertti Lounesto (2001). "§7.4 Перекрестное произведение двух векторов". Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 96. ISBN 0-521-00551-5.
41. Фрэнсис Бегно Хильдебранд (1992). Методы прикладной математики (Переиздание Prentice-Hall 1965 2-е изд.). Courier Dover Publications. стр. 24. ISBN 0-486-67002-3.
42. Хит, Т.Л., История греческой математики , Oxford University Press, 1921; перепечатано Dover, 1981.
43. «Начала» Евклида : Книга VI, Предложение VI 31: «В прямоугольных треугольниках фигура на стороне, стягивающей прямой угол, равна подобным и подобным образом описанным фигурам на сторонах, содержащих прямой угол».
44. Putz, John F. и Sipka, Timothy A. «Об обобщении теоремы Пифагора», The College Mathematics Journal 34 (4), сентябрь 2003 г., стр. 291–295.
45. Лоуренс С. Лефф (2005-05-01). цитируемая работа. Образовательная серия Баррона. стр. 326. ISBN 0-7641-2892-2.
46. Howard Whitley Eves (1983). "§4.8:...обобщение теоремы Пифагора". Великие моменты в математике (до 1650 г.) . Математическая ассоциация Америки. стр. 41. ISBN 0-88385-310-8.
47. Айдын Сайили (март 1960 г.). «Обобщение теоремы Пифагора Сабитом ибн Куррой». Исида . 51 (1): 35–37. дои : 10.1086/348837. JSTOR  227603. S2CID  119868978.
48. Джудит Д. Салли; Пол Салли (2007-12-21). "Упражнение 2.10 (ii)". Корни исследований: вертикальное развитие математических проблем . Американское математическое общество. стр. 62. ISBN 978-0-8218-4403-8.
49. Подробности такой конструкции см. в Jennings, George (1997). "Рисунок 1.32: Обобщенная теорема Пифагора". Современная геометрия с приложениями: со 150 рисунками (3-е изд.). Springer. стр. 23. ISBN 0-387-94222-X.
50. Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . MAA, 2010, ISBN 9780883853481 , стр. 77–78 ( отрывок , стр. 77, в Google Books ) 
51. Раджендра Бхатия (1997). Матричный анализ. Springer. стр. 21. ISBN 0-387-94846-5.
52. Для расширенного обсуждения этого обобщения см., например, Willie W. Wong, архив 2009-12-29 на Wayback Machine 2002, Обобщенная n-мерная теорема Пифагора .
53. Фердинанд ван дер Хейден; Дик де Риддер (2004). Классификация, оценка параметров и оценка состояния. Уайли. п. 357. ИСБН 0-470-09013-8.
54. Цюнь Линь; Цзяфу Линь (2006). Методы конечных элементов: точность и улучшение. Elsevier. стр. 23. ISBN 7-03-016656-6.
55. Говард Антон; Крис Роррес (2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version (10th ed.). Wiley. стр. 336. ISBN 978-0-470-43205-1.
56. Карен Сакс (2002). "Теорема 1.2". Начало функционального анализа . Springer. стр. 7. ISBN 0-387-95224-1.
57. Дуглас, Рональд Г. (1998). Методы банаховой алгебры в теории операторов (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag New York, Inc. стр. 60–61. ISBN 978-0-387-98377-6.
58. Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». The American Mathematical Monthly . 81 (3). Математическая ассоциация Америки: 262–265. doi :10.2307/2319528. JSTOR  2319528.
59. Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. стр. 2147. ISBN 1-58488-347-2Постулат параллельности эквивалентен постулату равноудалённости , аксиоме Плейфера , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .
60. Александр Р. Прусс (2006). Принцип достаточного основания: переоценка. Cambridge University Press. стр. 11. ISBN 0-521-85959-X. Мы могли бы включить... постулат о параллельных и вывести теорему Пифагора. Или мы могли бы вместо этого включить теорему Пифагора в число других аксиом и вывести постулат о параллельных.
61. Стивен В. Хокинг (2005). цитируемая работа. Running Press. стр. 4. ISBN 0-7624-1922-9.
62. Виктор Памбукчян (декабрь 2010 г.). «Гиперболическая теорема Пифагора Марии Терезы Калапсо». The Mathematical Intelligencer . 32 (4): 2. doi : 10.1007/s00283-010-9169-0 .
63. Барретт О'Нил (2006). "Упражнение 4". Элементарная дифференциальная геометрия (2-е изд.). Academic Press. стр. 441. ISBN 0-12-088735-5.
64. Saul Stahl (1993). "Теорема 8.3". Полуплоскость Пуанкаре: ворота в современную геометрию . Jones & Bartlett Learning. стр. 122. ISBN 0-86720-298-X.
65. Джейн Гилман (1995). "Гиперболические треугольники". Двухгенераторные дискретные подгруппы PSL(2,R) . Книжный магазин Американского математического общества. ISBN 0-8218-0361-1.
66. Тай Л. Чоу (2000). Математические методы для физиков: краткое введение . Cambridge University Press. стр. 52. ISBN 0-521-65544-7.
67. Нойгебауэр 1969, стр. 36.
68. Neugebauer 1969: стр. 36 «Другими словами, на протяжении всего периода существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы».
69. Фриберг, Йоран (1981). «Методы и традиции вавилонской математики: Плимптон 322, Пифагоровые тройки и уравнения параметров вавилонского треугольника». Historia Mathematica . 8 : 277–318. doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .: стр. 306 «Хотя Plimpton 322 является уникальным текстом в своем роде, существует несколько других известных текстов, свидетельствующих о том, что теорема Пифагора была хорошо известна математикам древневавилонского периода».
70. Хойруп, Йенс . «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Международный коллоквиум Deutschen Orient-Gesellschaft 24–26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Deutsche Orient-Gesellschaft / Саарбрюккен: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. стр. 393–407., стр. 406, « Судя только по этим свидетельствам, можно предположить, что правило Пифагора было открыто в среде землемеров-любителей, возможно, как побочный продукт проблемы, рассмотренной в Db ₂ -146, где-то между 2300 и 1825 годами до н. э.» ( Db ₂ -146 — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны, посвященная вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)
71. Робсон, Э. (2008). Математика в Древнем Ираке: Социальная история . Princeton University Press.: стр. 109 «Многие древневавилонские математики-практики … знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется в проработанных решениях текстовых задач по «алгебре» с вырезанием и вставкой на семи различных табличках из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места на юге Вавилонии».
72. Робсон, Элеанор (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322». Historia Mathematica . 28 (3): 167–206. doi : 10.1006/hmat.2001.2317 .
73. Ким Плофкер (2009). Математика в Индии . Princeton University Press. стр. 17–18. ISBN 978-0-691-12067-6.
74. Бартель Л. ван дер Варден (2012). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Springer Science & Business Media. стр. 26.
75. Карл Бенджамин Бойер ; Ута С. Мерцбах (2011). «Китай и Индия». История математики (3-е изд.). Wiley. стр. 229. ISBN 978-0470525487. Цитата: [В Sulba-sutras] мы находим правила построения прямых углов с помощью троек шнуров, длины которых образуют пифагорейские триажи, такие как 3, 4 и 5, или 5, 12 и 13, или 8, 15 и 17, или 12, 35 и 37. Хотя месопотамское влияние в Sulvasũtras не является маловероятным, мы не знаем никаких убедительных доказательств за или против этого. Аспастамба знал, что квадрат на диагонали прямоугольника равен сумме квадратов на двух смежных сторонах. Менее легко объяснить другое правило, данное Апастамбой, — то, которое сильно напоминает часть геометрической алгебры во второй книге « Начал» Евклида . (...)
76. Прокл (1970). Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Перевод Морроу, Гленн Р. Издательство Принстонского университета. 428.6.
77. «Введение и книги 1,2». The University Press. 25 марта 1908 г. – через Google Books.
78. (Heath 1921, Vol I, p. 144): «Хотя это положение традиционно связывается с именем Пифагора, не существует по-настоящему достоверных доказательств того, что оно было действительно открыто им. Сравнительно поздние авторы, приписывающие его ему, добавляют историю о том, что он принес в жертву быка, чтобы отпраздновать свое открытие».
79. Подробное обсуждение исторических свидетельств приводится в (Евклид 1956, стр. 351) страница=351
80. Асгер Аабо (1997). Эпизоды из ранней истории математики. Математическая ассоциация Америки. стр. 51. ISBN 0-88385-613-1... только у Евклида мы находим логическую последовательность общих теорем с надлежащими доказательствами.
81. Роберт П. Криз (2008). Великие уравнения: прорывы в науке от Пифагора до Гейзенберга. WW Norton & Co. стр. 25. ISBN 978-0-393-06204-5.
82. Довольно обширное обсуждение происхождения различных текстов в Чжоу Би представлено Кристофером Калленом (2007). Астрономия и математика в Древнем Китае: «Чжоу Би Суань Цзин». Cambridge University Press. стр. 139 и далее . ISBN 978-0-521-03537-8.
83. Эта работа представляет собой сборник из 246 задач, некоторые из которых пережили сожжение книг в 213 г. до н. э., и была представлена ​​в окончательном виде до 100 г. н. э. Она была подробно прокомментирована Лю Хуэем в 263 г. н. э. Филип Д. Страффин-младший (2004). «Лю Хуэй и первый золотой век китайской математики». В Марлоу Андерсон; Виктор Дж. Кац; Робин Дж. Уилсон (ред.). Шерлок Холмс в Вавилоне: и другие рассказы об истории математики . Математическая ассоциация Америки. стр. 69 и далее . ISBN 0-88385-546-1.См. в частности §3: Девять глав о математическом искусстве , стр. 71 и далее .
84. Каншен ​​Шен; Джон Н. Кроссли; Энтони Ва-Ченг Лун (1999). Девять глав о математическом искусстве: компаньон и комментарий. Oxford University Press. стр. 488. ISBN 0-19-853936-3.
85. В частности, Ли Чимин; см. «Центавр», том 39. Копенгаген: Munksgaard. 1997. С. 193, 205.
86. Чен, Ченг-И (1996). "§3.3.4 Формула Чэнь Цзы и метод Чонг-Чана; Рисунок 40". Ранние китайские работы в области естественных наук: переосмысление физики движения, акустики, астрономии и научных мыслей . Издательство Гонконгского университета. стр. 142. ISBN 962-209-385-X.
87. Вэнь-цюнь У (2008). "Теорема Гоугу". Избранные труды Вэнь-цюнь У. World Scientific. стр. 158. ISBN 978-981-279-107-8.

Цитируемые работы

• Белл, Джон Л. (1999). Искусство разумного: элементарный обзор математики в ее концептуальном развитии. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0.
• Евклид (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида, переведенные с текста Гейберга, с введением и комментариями . Том 1 (книги I и II). Перевод Хита, Томаса Л. (Переиздание 2-го (1925) изд.). Дувр.Текст в режиме онлайн на archive.org
• Хит, сэр Томас (1921). «Теорема Пифагора». История греческой математики (2 тома) (Dover Publications, Inc. (1981) ред.). Clarendon Press, Оксфорд. стр. 144 и далее . ISBN 0-486-24073-8.
• Либескинд, Шломо (2008). Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-4366-6.Этот учебник по геометрии для старших классов охватывает многие темы, изложенные в этой статье WP.
• Лумис, Элиша Скотт (1940). Тезис Пифагора (2-е изд.). Энн-Арбор, Мичиган: Edwards Brothers. ISBN 9780873530361.Переиздано в 1968 году Национальным советом преподавателей математики. Скан более низкого качества был опубликован в сети Информационным центром образовательных ресурсов , ERIC ED037335.
• Маор, Эли (2007). Теорема Пифагора: 4000-летняя история. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12526-8.
• Нойгебауэр, Отто (1969). Точные науки в древности (2-е изд.). Courier Dover Publications. ISBN 0-486-22332-9. OCLC  638685764.
• Робсон, Элинор и Жаклин Стедалл, редакторы, Оксфордский справочник по истории математики, Оксфорд: Oxford University Press, 2009. стр. vii + 918. ISBN 978-0-19-921312-2 . 
• Стиллвелл, Джон (1989). Математика и ее история . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96981-0.Также ISBN 3-540-96981-0 . 
• Swetz, Frank; Kao, TI (1977). Был ли Пифагор китайцем?: Исследование теории прямоугольного треугольника в Древнем Китае . Издательство Пенсильванского государственного университета. ISBN 0-271-01238-2.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1983). Геометрия и алгебра в древних цивилизациях . Спрингер. ISBN 3-540-12159-5. Пифагорейцы утрояют вавилонских писцов ван дер Вардена.

Внешние ссылки

• Теорема Пифагора в ProofWiki

• Евклид (1997) [ок. 300 г. до н. э.]. Дэвид Э. Джойс (ред.). Элементы . Получено 2006-08-30 .В формате HTML с интерактивными фигурами на основе Java.
• «Теорема Пифагора». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Историческая тема: Теорема Пифагора в вавилонской математике
• Интерактивные ссылки:
  • Интерактивное доказательство теоремы Пифагора на Java
  • Еще одно интерактивное доказательство теоремы Пифагора на Java
  • Теорема Пифагора с интерактивной анимацией
  • Анимированная, неалгебраическая и пользовательский темп теоремы Пифагора
• Демонстрация теоремы Пифагора на воде на YouTube
• Теорема Пифагора (более 70 доказательств от cut-the-knot )
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Пифагора". MathWorld .