Закон косинусов

Свойство всех треугольников на евклидовой плоскости

Рис. 1 – Треугольник. Углы α (или A ), β (или B ) и γ (или C ) соответственно противолежат сторонам a , b , и c .

В тригонометрии закон косинусов (также известный как формула косинуса или правило косинуса ) связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов . Для треугольника со сторонами и противолежащими соответствующими углами и (см. рис. 1) закон косинусов гласит: ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\[3mu]a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,\\[3mu]b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .\end{aligned}}}$

Закон косинусов обобщает теорему Пифагора , которая справедлива только для прямоугольных треугольников : если — прямой угол , то и закон косинусов сводится к ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \cos \gamma =0,}$ ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Теорема косинусов полезна для решения треугольника , когда известны все три стороны или две стороны и угол между ними.

Использование при решении треугольников

Рис. 3 – Приложения теоремы косинусов: неизвестная сторона и неизвестный угол.

При заданных сторонах треугольника b и c и угле γ иногда существует два решения для a .

Теорема применяется при решении треугольников , т.е. для нахождения (см. рис. 3):

• третья сторона треугольника, если известны две стороны и угол между ними: $${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;}$$
• углы треугольника, если известны три стороны: $${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;}$$
• третья сторона треугольника, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них (эта сторона также может быть найдена двумя применениями теоремы синусов ): ^[а] $${\displaystyle a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}$$

Эти формулы приводят к высоким ошибкам округления в вычислениях с плавающей точкой , если треугольник очень острый, т. е. если c мало по сравнению с a , а b или γ мало по сравнению с 1. Можно даже получить результат, немного больший единицы, для косинуса угла.

Третья показанная формула является результатом решения для a в квадратном уравнении a ² − 2 ab cos γ + b ² − c ² = 0 . Это уравнение может иметь 2, 1 или 0 положительных решений, соответствующих числу возможных треугольников с учетом данных. Оно будет иметь два положительных решения, если b sin γ < c < b , только одно положительное решение, если c = b sin γ , и ни одного решения, если c < b sin γ . Эти различные случаи также объясняются неоднозначностью сравнения сторона-сторона-угол .

История

Вторая книга «Начал» Евклида , составленная около 300 г. до н. э. на основе материалов, датируемых столетием или двумя веками ранее, содержит геометрическую теорему, соответствующую закону косинусов, но выраженную современным языком площадей прямоугольников; эллинистическая тригонометрия развилась позже, а синус и косинус как таковые впервые появились столетия спустя в Индии.

Случаи тупоугольных и остроугольных треугольников (соответствующие двум случаям отрицательного или положительного косинуса) рассматриваются отдельно в предложениях II.12 и II.13: ^[1]

Предложение 12.
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на удвоенную площадь прямоугольника, заключенного между одной из сторон тупого угла, а именно той, на которую падает перпендикуляр, и прямой, отсекаемой снаружи перпендикуляром к тупому углу.

—  «Начала » Евклида , перевод Томаса Л. Хита . ^[1]

Предложение 13 содержит аналогичное утверждение для остроугольных треугольников. В своем (ныне утерянном и сохранившемся только в виде фрагментарных цитат) комментарии Герон Александрийский предоставил доказательства обратных утверждений как II.12, так и II.13. ^[2]

Рис. 2 – Тупоугольный треугольник ABC с перпендикуляром BH

Используя обозначения, как на рис. 2, утверждение Евклида о предложении II.12 можно представить более кратко (хотя и анахронично) формулой

${\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).}$

Чтобы преобразовать это в знакомое выражение для закона косинусов, подставьте и ${\displaystyle AB=c,}$ ${\displaystyle CA=b,}$ ${\displaystyle CB=a,}$ ${\displaystyle CH=a\cos(\pi -\gamma )\ }$ ${\displaystyle =-a\cos \gamma .}$

Предложение II.13 не использовалось во времена Евклида для решения треугольников , но позднее оно использовалось таким образом в ходе решения астрономических задач аль-Бируни (11 век) и Иоганнесом де Мурисом (14 век). ^[3] Нечто эквивалентное сферическому закону косинусов использовалось (но не утверждалось в общем) аль-Хорезми (9 век), аль-Баттани (9 век) и Нилакантхой (15 век). ^[4]

Персидский математик XIII века Насир ад-Дин ат-Туси в своей работе Kitāb al-Shakl al-qattāʴ ( Книга о полном четырехугольнике , ок. 1250 г.) дал метод нахождения третьей стороны общего разностороннего треугольника по двум сторонам и углу между ними, опустив перпендикуляр из вершины одного из неизвестных углов на противоположное основание, сведя задачу к решению прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора. Если записать это с использованием современных математических обозначений, полученное соотношение можно алгебраически преобразовать в современный закон косинусов. ^[5]

Примерно два столетия спустя другой персидский математик, Джамшид аль-Каши , который вычислил самые точные тригонометрические таблицы своей эпохи, писал о различных методах решения треугольников в своем «Мифтах аль-хисаб» ( «Ключ к арифметике» , 1427) и по сути повторил метод ат-Туси, включая более подробные детали, как указано ниже: ^[6]

Версия закона косинусов Аль-Каши (случай, когда γ тупой), выраженная с помощью современных алгебраических обозначений.

Другой случай — когда известны две стороны и угол между ними, а остальные неизвестны. Мы умножаем одну из сторон на синус [известного] угла один раз и на синус его дополнения другой раз, преобразованного, и вычитаем второй результат из другой стороны, если угол острый, и прибавляем его, если угол тупой. Затем мы возводим результат в квадрат и прибавляем к нему квадрат первого результата. Мы извлекаем квадратный корень из суммы, чтобы получить оставшуюся сторону...

-  Мифтах аль- Хисаб Аль-Каши ,
     перевод Нуха Айдина, Лахдара Хаммуди и Гады Бакбука ^[7]

Используя современные алгебраические обозначения и соглашения, это можно записать так:

${\displaystyle c={\sqrt {(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}}}}$

когда острое или ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle c={\sqrt {\left(b+a\left|\cos \gamma \right|\right)^{2}+\left(a\sin \gamma \right)^{2}}}}$

когда тупой. (Когда тупой, современное соглашение заключается в том, что является отрицательным, а является положительным; исторически синусы и косинусы считались отрезками прямых с неотрицательной длиной.) Возводя обе стороны в квадрат, раскрывая квадрат двучлена, а затем применяя тригонометрическое тождество Пифагора, мы получаем знакомый закон косинусов: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \cos \gamma }$ ${\displaystyle \cos(\pi -\gamma )=-\cos \gamma }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}-2ba\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\[5mu]&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Во Франции закон косинусов иногда называют теоремой Аль-Каши . ^{[8] [9]}

Теорема была впервые записана с использованием алгебраической нотации Франсуа Виэтом в 16 веке. В начале 19 века современная алгебраическая нотация позволила записать закон косинусов в его нынешней символической форме. ^[10]

Доказательства

Используя теорему Пифагора

Доказательство закона косинусов в остроугольных и тупоугольных треугольниках с использованием теоремы Пифагора

Тупоугольный треугольник ABC с высотой BH.

Случай тупого угла

Евклид доказал эту теорему, применив теорему Пифагора к каждому из двух прямоугольных треугольников на рис. 2 ( AHB и CHB ). Используя d для обозначения отрезка CH и h для высоты BH , треугольник AHB дает нам

${\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},}$

и треугольник CHB дает

${\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.}$

Разложение первого уравнения дает

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.}$

Подставляя сюда второе уравнение, можно получить следующее:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.}$

Это Предложение 12 Евклида из Книги 2 «Начал » . ^[11] Чтобы преобразовать его в современную форму закона косинусов, обратите внимание, что

${\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .}$

Случай острого угла

Доказательство Евклидом своего предложения 13 проводится по той же схеме, что и доказательство предложения 12: он применяет теорему Пифагора к обоим прямоугольным треугольникам, образованным путем опускания перпендикуляра на одну из сторон, охватывающих угол γ , и использует квадрат разности для упрощения.

Еще одно доказательство в остром случае

Рис. 6 – Краткое доказательство с использованием тригонометрии для случая острого угла

Используя больше тригонометрии, закон косинусов можно вывести, используя теорему Пифагора только один раз. Фактически, используя прямоугольный треугольник на левой стороне рис. 6, можно показать, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}}$

используя тригонометрическое тождество ${\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.}$

Это доказательство нуждается в небольшой модификации, если b < a cos( γ ) . В этом случае прямоугольный треугольник, к которому применяется теорема Пифагора, перемещается за пределы треугольника ABC . Единственное, что это оказывает на вычисления, это то, что величина b − a cos( γ ) заменяется на a cos( γ ) − b . Поскольку эта величина входит в вычисления только через свой квадрат, остальная часть доказательства не затрагивается. Однако эта проблема возникает только тогда, когда β тупой, и ее можно избежать, отразив треугольник относительно биссектрисы γ .

Обращаясь к рис. 6, стоит отметить, что если угол, противолежащий стороне a, равен α , то:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}.}$

Это полезно для прямого вычисления второго угла, когда заданы две стороны и угол между ними.

С трех высот

Рис. 5 – Остроугольный треугольник с перпендикуляром

Высота , проходящая через вершину C, является отрезком, перпендикулярным стороне c . Расстояние от подножия высоты до вершины A плюс расстояние от подножия высоты до вершины B равно длине стороны c (см. рис. 5). Каждое из этих расстояний можно записать как одну из других сторон, умноженную на косинус смежного угла, ^[12]

${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha .}$

(Это по-прежнему верно, если α или β тупые, в этом случае перпендикуляр лежит вне треугольника.) Умножение обеих сторон на c дает

${\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .}$

Те же шаги работают так же хорошо, если рассматривать любую из других сторон как основание треугольника:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\\[3mu]b^{2}&=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Берем уравнение для и вычитаем уравнения для и ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}-b^{2}&={\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}+{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-{\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}-{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Это доказательство не зависит от теоремы Пифагора , поскольку оно основано только на определении косинуса в прямоугольном треугольнике и получает квадраты длин сторон алгебраически. Другие доказательства обычно явно ссылаются на теорему Пифагора и являются более геометрическими, рассматривая  cos γ как метку для длины определенного отрезка линии. ^[12]

В отличие от многих доказательств, это рассматривает случаи тупых и острых углов γ единообразно.

Декартовы координаты

Рис. 4 – Доказательство координатной геометрии

Рассмотрим треугольник со сторонами длиной a , b , c , где θ — это измерение угла, противолежащего стороне длиной c . Этот треугольник можно поместить в декартову систему координат со стороной a, выровненной вдоль оси x , и углом θ, помещенным в начало координат, построив график компонентов трех точек треугольника, как показано на рис. 4:

${\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{ and }}C=(0,0).}$

По формуле расстояния , ^[13]

${\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}.}$

Возводим обе части в квадрат и упрощаем

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\&=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}}$

Преимущество этого доказательства в том, что оно не требует рассмотрения отдельных случаев в зависимости от того, является ли угол γ острым, прямым или тупым. Однако случаи, рассмотренные отдельно в Элементах II.12–13 и позднее аль-Туси, аль-Каши и другими, сами могли быть объединены с использованием понятий длин и площадей со знаком и понятия косинуса со знаком, без необходимости в полной декартовой системе координат.

Используя теорему Птолемея

Доказательство закона косинусов с использованием теоремы Птолемея

Ссылаясь на диаграмму, треугольник ABC со сторонами AB = c , BC = a и AC = b нарисован внутри описанной окружности, как показано на рисунке. Треугольник ABD построен так, что он конгруэнтен треугольнику ABC с AD = BC и BD = AC . Перпендикуляры из D и C пересекают основание AB в точках E и F соответственно. Тогда:

${\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}$

Теперь закон косинусов выводится путем непосредственного применения теоремы Птолемея к вписанному четырехугольнику ABCD :

${\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}$

Очевидно, если угол B прямой , то ABCD — прямоугольник, и применение теоремы Птолемея приводит к теореме Пифагора :

${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}.\quad }$

Сравнивая площади

Рис. 7а – Доказательство теоремы косинусов для острого угла γ методом «вырезания и склеивания».

Рис. 7б – Доказательство теоремы косинусов для тупого угла γ методом «вырезания и склеивания».

Можно также доказать закон косинусов, вычисляя площади . Изменение знака, когда угол γ становится тупым, делает необходимым различие случаев.

Вспомните, что

• a ² , b ² и c ² — площади квадратов со сторонами a , b и c соответственно;
• если γ острый, то ab cos γ — площадь параллелограмма со сторонами a и b, образующими угол γ′ = ⁠π/2⁠ − γ ;
• если γ тупой, и поэтому cos γ отрицателен, то − ab cos γ — площадь параллелограмма со сторонами a и b, образующими угол γ′ = γ − ⁠π/2⁠ .

Острый случай. На рисунке 7а показан семиугольник, разрезанный на меньшие части (двумя разными способами), чтобы получить доказательство закона косинусов. Различные части

• розовым цветом обозначены области a ² , b ² слева и области 2 ab cos γ и c ² справа;
• синим цветом — треугольник ABC слева и справа;
• серым цветом показаны вспомогательные треугольники, все равные треугольнику ABC , по одинаковому числу (а именно, по 2) как слева, так и справа.

Равенство площадей слева и справа дает

${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma \,.}$

Тупой случай. Рисунок 7b разрезает шестиугольник двумя разными способами на меньшие части, давая доказательство закона косинусов в случае, когда угол γ тупой. Мы имеем

• розовым цветом обозначены области a ² , b ² и −2 ab cos γ слева и c ² справа;
• синим цветом — треугольник ABC дважды, слева и справа.

Равенство площадей слева и справа дает

${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.}$

Строгое доказательство должно будет включать доказательства того, что различные фигуры конгруэнтны и, следовательно, имеют равную площадь. Это будет использовать теорию конгруэнтных треугольников .

Использование геометрии окружности

Рис. 8а – Треугольник ABC (розовый), вспомогательный круг (голубой) и вспомогательный прямоугольный треугольник (желтый)

Рис. 8б – Треугольник ABC (розовый), вспомогательная окружность (голубой) и два вспомогательных прямоугольных треугольника (желтые)

Рис. 9 – Доказательство теоремы косинусов с использованием теоремы о силе точки.

Используя геометрию окружности , можно дать более геометрическое доказательство, чем используя только теорему Пифагора . Алгебраические манипуляции (в частности, биномиальная теорема ) избегаются.

Случай острого угла γ , где a > 2 b cos γ . Опустим перпендикуляр из A на a = BC , создав отрезок прямой длиной b cos γ . Дублируем прямоугольный треугольник , чтобы получить равнобедренный треугольник ACP . Построим окружность с центром A и радиусом b , и ее касательную h = BH через B. Касательная h образует прямой угол с радиусом b ( Элементы Евклида : Книга 3, Предложение 18; или см. здесь ), поэтому желтый треугольник на рисунке 8 является прямым. Применим теорему Пифагора , чтобы получить

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+h^{2}.}$

Затем используйте теорему о касательной и секущей ( Элементы Евклида : Книга 3, Предложение 36), которая гласит, что квадрат касательной, проведенной через точку B вне окружности, равен произведению двух отрезков прямых (из B ), образованных любой секущей окружности, проходящей через B. В данном случае: BH ² = BC · BP , или

${\displaystyle h^{2}=a(a-2b\cos \gamma ).}$

Подставляя в предыдущее уравнение, получаем теорему косинусов:

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \gamma ).}$

Обратите внимание, что h ² — это степень точки B по отношению к окружности. Использование теоремы Пифагора и теоремы о касательной и секущей можно заменить одним применением степени точечной теоремы .

Случай острого угла γ , где a < 2 b cos γ . Опустим перпендикуляр из A на a = BC , создав отрезок длиной b cos γ . Дублируем прямоугольный треугольник , чтобы получить равнобедренный треугольник ACP . Построим окружность с центром A и радиусом b , и хорду через B, перпендикулярную c = AB , половина которой равна h = BH . Применим теорему Пифагора , чтобы получить

${\displaystyle b^{2}=c^{2}+h^{2}.}$

Теперь воспользуемся теоремой о хордах ( Элементы Евклида : Книга 3, Предложение 35), которая гласит, что если две хорды пересекаются, то произведение двух отрезков, полученных на одной хорде, равно произведению двух отрезков, полученных на другой хорде. В данном случае: BH ² = BC · BP , или

${\displaystyle h^{2}=a(2b\cos \gamma -a).}$

Подставляя в предыдущее уравнение, получаем теорему косинусов:

${\displaystyle b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \gamma -a)\,.}$

Обратите внимание, что сила точки B относительно окружности имеет отрицательное значение − h ² .

Случай тупого угла γ . Это доказательство использует силу точечной теоремы напрямую, без вспомогательных треугольников, полученных путем построения касательной или хорды. Постройте окружность с центром B и радиусом a (см. рисунок 9), которая пересекает секущую, проходящую через A и C, в точках C и K . Степень точки A относительно окружности равна как AB ² − BC ^{2 ,} так и AC · AK . Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos \gamma ),\end{aligned}}}$

что является законом косинусов.

Используя алгебраические меры для отрезков прямых (допуская отрицательные числа в качестве длин отрезков), можно одновременно рассматривать случай тупого угла ( CK > 0 ) и острого угла ( CK < 0 ).

Используя закон синусов

Закон косинусов можно доказать алгебраически из закона синусов и нескольких стандартных тригонометрических тождеств. ^[14] Для начала, три угла треугольника в сумме дают развернутый угол ( радианы). Таким образом, по тождествам суммы углов для синуса и косинуса, ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \gamma &={\phantom {-}}\sin(\pi -\gamma )&&={\phantom {-}}\sin(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta ,\\[5mu]\cos \gamma &=-\cos(\pi -\gamma )&&=-\cos(\alpha +\beta )&&=\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \alpha \,\cos \beta .\end{alignedat}}}$

Возводя в квадрат первое из этих тождеств, затем подставляя второе и, наконец, заменяя тригонометрическое тождество Пифагора , мы имеем: ${\displaystyle \cos \alpha \,\cos \beta ={}}$ ${\displaystyle \sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha ={}}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma &=(\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta )^{2}\\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \alpha \,\cos \beta +\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha \,\cos ^{2}\beta +2\sin \alpha \,\sin \beta (\sin \alpha \,\sin \beta -\cos \gamma )+\cos ^{2}\alpha \,\sin ^{2}\beta \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha (\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta )+\sin ^{2}\beta (\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma \\[3mu]&=\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta -2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Закон синусов гласит, что

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha {\vphantom {\beta }}}}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma {\vphantom {\beta }}}}=k,}$

поэтому, чтобы доказать закон косинусов, мы умножаем обе части нашего предыдущего тождества на ${\displaystyle k^{2}\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\gamma {\frac {c^{2}}{\sin ^{2}\gamma }}&=\sin ^{2}\alpha {\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+\sin ^{2}\beta {\frac {b^{2}}{\sin ^{2}\beta }}-2\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos \gamma {\frac {ab}{\sin \alpha \,\sin \beta {\vphantom {\sin ^{2}}}}}\\[10mu]c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

На этом доказательство завершено.

Использование векторов

Треугольник с векторными сторонами a и b , разделенными углом θ .

Обозначить

${\displaystyle {\overrightarrow {CB}}={\vec {a}},\ {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}},\ {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}$

Берем скалярное произведение каждой стороны на саму себя:

${\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})}$

${\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Использование идентичности

${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \,\Vert {\vec {v}}\Vert \cos \angle ({\vec {u}},\ {\vec {v}})}$

приводит к

${\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\,\Vert {\vec {a}}\Vert \!\;\Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})}$

Результат следующий.

Равнобедренный случай

Когда a = b , т. е. когда треугольник равнобедренный с двумя сторонами, инцидентными углу γ, равны, закон косинусов значительно упрощается. А именно, поскольку a ² + b ² = 2 a ² = 2 ab , закон косинусов становится

${\displaystyle \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}}$

или

${\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).}$

Аналог тетраэдров

Для произвольного тетраэдра , четыре грани которого имеют площади A , B , C и D , с двугранным углом между гранями A и B и т. д., многомерный аналог закона косинусов имеет вид: ^[15] ${\displaystyle \varphi _{ab}}$

${\displaystyle A^{2}=B^{2}+C^{2}+D^{2}-2\left(BC\cos \varphi _{bc}+CD\cos \varphi _{cd}+DB\cos \varphi _{db}\right).}$

Версия, подходящая для небольших углов

Когда угол γ мал, а смежные стороны a и b имеют одинаковую длину, правая часть стандартной формы закона косинусов подвергается катастрофическому сокращению в численных приближениях. В ситуациях, когда это имеет важное значение, математически эквивалентная версия закона косинусов, похожая на формулу гаверсинуса , может оказаться полезной:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a-b)^{2}+4ab\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=(a-b)^{2}+4ab\operatorname {haversin} (\gamma ).\end{aligned}}}$

В пределе бесконечно малого угла закон косинусов вырождается в формулу длины дуги окружности , c = a γ .

В сферической и гиперболической геометрии

Сферический треугольник, решенный по теореме косинусов.

Версии, подобные закону косинусов для евклидовой плоскости, также справедливы на единичной сфере и в гиперболической плоскости. В сферической геометрии треугольник определяется тремя точками u , v и w на единичной сфере и дугами больших окружностей, соединяющими эти точки. Если эти большие окружности образуют углы A , B и C с противоположными сторонами a , b , c , то сферический закон косинусов утверждает, что справедливы оба следующих соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.\end{aligned}}}$

В гиперболической геометрии пара уравнений известна как гиперболический закон косинусов . Первое из них —

${\displaystyle \cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A}$

где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус , а второй —

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.}$

Как и в евклидовой геометрии, можно использовать закон косинусов для определения углов A , B , C по знанию сторон a , b , c . В отличие от евклидовой геометрии, в обеих неевклидовых моделях возможно и обратное: углы A , B , C определяют стороны a , b , c .

Многогранники

Закон косинусов можно обобщить на все многогранники , рассмотрев любой многогранник с векторными сторонами и применив теорему о расходимости . ^[16]

Смотрите также

• Формула полусферы
• Закон синусов
• Закон касательных
• Закон котангенсов
• Список тригонометрических тождеств
• Формула Мольвейде

Примечания

1. Данные стороны и угол можно найти с помощью закона синусов, оставляя до двух возможностей для угла . Любой выбор определяет, поскольку три внутренних угла в сумме дают развернутый угол. Наконец, можно найти из другим применением закона синусов. ${\displaystyle b,c}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \sin \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c,\gamma ,\alpha }$

Ссылки

1. Euclid. Thomas L. Heath (ред.). «Элементы». Перевод Thomas L. Heath . Получено 24 января 2023 г. .
2. Хит, Томас (1956) [1908]. «Введение» . Тринадцать книг «Начал» Евклида (2-е изд.).
3. Кеннеди, ES; Мурувва, Ахмад (1958). «Бируни о солнечном уравнении». Журнал исследований Ближнего Востока . 17 (2): 112–121. JSTOR  542617.
   Иоганнес де Мурис приписывает анонимному автору соответствующий раздел своей работы De Arte Mesurandi . См. Van Brummelen, Glen (2009). The Mathematics of the Heavens and the Earth . Princeton University Press. стр. 240–241.
4. Ван Бруммелен, Глен (2012). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Princeton University Press. стр. 98.
5. Нашир ад-Дин аль-Туси (1891). «Гл. 3.2: Sur la manière de Calculer les Côtés et les angulars d'un треугольника les uns par les autres». Traité du Quadrilatère, приписываемый Насируддинелю-Тусси (на французском языке). Перевод Каратеодори, Александр Паша . Типография и литография Османие. п. 69. На двух котах и ​​под углом. [...] Que si l'angle donné est состоит из двух частей AB AC, abaissez de B sur AC la perpendiculaire BE. Vous aurez ainsi le треугольник прямоугольник [BEA] не знает границ le Côté AB и l'angle A; он снова BE, EA и т. д. снова в предыдущих случаях; в. à. д. в этом случае BE, CE sont connus; на connaîtra dès lors BC et l'angle C, comme nous l'avons expliqué [Указанный [...] угол A заключен между двумя сторонами AB AC, опустите из B на AC перпендикуляр BE. Таким образом, вы получите прямоугольный треугольник [BEA], у которого известны сторона AB и угол A; в этом треугольнике вычисляем BE, EA, и задача сводится к одному из предыдущих случаев; то есть к случаю, когда BE, CE известны; Таким образом, мы узнаем BC и угол C, как мы уже объяснили.]
6. Азарян, Мохаммад К. (2000). «Meftab Al-Hesab: A Summary» (PDF) . Missouri Journal of Mathematical Sciences . 12 (2): 75–95. doi : 10.35834/2000/1202075 .
7. Айдын, Нух; Хаммуди, Лахдар; Бакбук, Гада (2020). «Мифтах аль-Хисаб» Аль-Каши, Том II: Геометрия . Биркхойзер. п. 31. дои : 10.1007/978-3-030-61330-3.
8. Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения. Sterling Publishing Company, Inc. стр. 106. ISBN 9781402757969.
9. Программа математики de première générale (на французском языке). Министерство национального образования и молодежи. 2022. С. 11, 12.
10. Например, у Карно, Лазар (1803 г.). Геометрия положения. ЖБМ Дюпра. п. 202.
11. Версия Java-апплета профессора Д. Э. Джойса из Университета Кларка.
12. Александр Богомольный приписывает это доказательство учителю Джону Молокачу (2011), но оно может быть и раньше. Богомольный, Александр . "Закон косинусов (независимый от теоремы Пифагора)". Cut the Knot . Получено 09.01.2024 .
13. Уайли, Кларенс Рэймонд (1955). Плоская тригонометрия . Макгроу-Хилл. §9.1 Закон косинусов, стр. 195–198. LCCN  54-11278.
14. Бертон, Л. Дж. (1949). «Законы синусов и косинусов». The American Mathematical Monthly . 56 (8): 550–551. JSTOR  2305533.
15. Кейси, Джон (1889). Трактат о сферической тригонометрии: и ее применение в геодезии и астрономии с многочисленными примерами . Лондон: Longmans, Green, & Company. стр. 133.
16. Коллинз, Л.; Ослер, Т. (2011). «Закон косинусов, обобщенный для любого многоугольника и любого многогранника». The Mathematical Gazette . 95 (533): 240–243. JSTOR  23248682.

Внешние ссылки

• «Теорема косинуса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Несколько выводов закона косинусов, включая вывод Евклида при разрубании узла
• Интерактивный апплет Закона Косинусов