Часто бывает полезно описать поведение функции, поскольку либо аргумент , либо значение функции в некотором смысле становятся «бесконечно большими». Например, рассмотрим функцию, определенную формулой
График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при Геометрически при все большем движении вправо по оси - значение приближается к 0 . Это предельное поведение похоже на предел функции , к которой приближается действительное число , за исключением того, что нет действительного числа, к которому приближается.
Присоединив элементы и к нему, можно сформулировать «предел на бесконечности» с топологическими свойствами, аналогичными свойствам для
Чтобы сделать вещи полностью формальными, определение последовательностей Коши позволяет определить как набор всех последовательностей рациональных чисел , каждая из которых связана с соответствующей, для которой для всех определение может быть построено аналогичным образом.
Измерение и интегрирование
В теории меры часто полезно допускать множества, имеющие бесконечную меру, и интегралы, значение которых может быть бесконечным.
Такие меры естественным образом возникают из исчисления. Например, при назначении меры, соответствующей обычной длине интервалов , эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Кроме того, при рассмотрении несобственных интегралов , таких как
возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, таких как
Расширенную систему действительных чисел , определенную как или , можно превратить в полностью упорядоченное множество, определив для всех. С этой топологией порядка она обладает желаемым свойством компактности : каждое подмножество имеет верхнюю и нижнюю грани [ 3] (нижнюю шкалу пустое множество — , а его верхняя грань — ). При этом топология гомеоморфна единичному интервалу. Таким образом , топология метризуема , соответствуя (при данном гомеоморфизме) обычной метрике на этом интервале. Однако не существует метрики, которая являлась бы расширением обычной метрики на
В этой топологии множество является окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит множество для некоторого действительного числа. Понятие окрестности можно определить аналогично. Используя эту характеристику окрестностей расширенной реальности, пределы со стремлением к или и пределы, «равные» и , сводятся к общему топологическому определению пределов - вместо специального определения в действительной системе счисления.
Арифметические операции
Арифметические операции могут быть частично расширены следующим образом: [2]
Когда мы имеем дело как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами, выражение обычно остается неопределенным, потому что, хотя верно, что для каждой действительной ненулевой последовательности , которая сходится к обратной последовательности , в конечном итоге содержится в каждой ее окрестности, неверно , что последовательность должна сама сходиться к любой из них или. Другими словами, если непрерывная функция достигает нуля при определенном значении , то это не обязательно должен быть случай, когда она стремится к любому из них или в пределе стремится к. Это относится к пределам тождественной функции. когда стремится к и (для последней функции ни предел, ни предел даже если рассматривать только положительные значения ).
Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить. Например, при работе со степенным рядом радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами часто определяется как величина, обратная пределу- супремуму последовательность . Таким образом, если разрешить брать значение , то можно использовать эту формулу независимо от того, есть предел-супремум или нет.
Алгебраические свойства
При таких определениях она не является даже полугруппой , не говоря уже о группе , кольце или поле , как в случае с. Однако она обладает несколькими удобными свойствами:
и либо равны, либо оба не определены.
и либо равны, либо оба не определены.
и либо равны, либо оба не определены.
и либо равны, либо оба не определены
и равны, если оба определены.
Если и если оба и определены, то
Если и и если оба и определены, то
В общем, все законы арифметики действительны до тех пор, пока определены все встречающиеся выражения.
Разнообразный
Некоторые функции можно непрерывно расширять , принимая пределы. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как:
Некоторые особенности могут быть дополнительно удалены. Например, функция может быть непрерывно расширена до (согласно некоторым определениям непрерывности), установив значение for и for и С другой стороны, функцию нельзя непрерывно расширять, поскольку функция приближается как приближается снизу , и как приближается сверху, т. е. функция, не сходящаяся к тому же значению, что и ее независимая переменная, приближающаяся к одному и тому же элементу области как со стороны положительного, так и со стороны отрицательного значения.
Похожая, но другая система действительных линий, проективно расширенная действительная линия , не различает и (т.е. бесконечность беззнаковая). [5] В результате функция может иметь предел на проективно расширенной действительной линии, в то время как в расширенной действительной системе счисления только абсолютное значение функции имеет предел, например, в случае функции при С другой стороны, на проективно расширенной вещественной прямой и соответствуют только пределу справа и одному пределу слева соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции и нельзя сделать непрерывными на проективно продолженной вещественной прямой.
^ Некоторые авторы используют аффинно расширенную систему действительных чисел и аффинно расширенную линию действительных чисел , хотя расширенные действительные числа не образуют аффинную линию .
^ Читается как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно.
Рекомендации
^ Уилкинс, Дэвид (2007). «Раздел 6: Расширенная система действительных чисел» (PDF) . maths.tcd.ie . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ abc Вайсштейн, Эрик В. «Аффинно расширенные действительные числа». mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Оден, Дж. Тинсли; Демкович, Лешек (16 января 2018 г.). Прикладной функциональный анализ (3-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. п. 74. ИСБН9781498761147. Проверено 8 декабря 2019 г.
^ «Расширенное действительное число в nLab» . ncatlab.org . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа». mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.