Электрический импеданс

Противодействие цепи току при приложении напряжения

В электротехнике импеданс – это сопротивление переменному току , возникающее в результате комбинированного эффекта сопротивления и реактивного сопротивления в цепи . ^[1]

Количественно сопротивление элемента двухвыводной цепи представляет собой отношение комплексного представления синусоидального напряжения между его выводами к комплексному представлению тока, протекающего через него. ^[2] В общем, это зависит от частоты синусоидального напряжения.

Импеданс расширяет концепцию сопротивления цепей переменного тока (AC) и обладает как величиной, так и фазой , в отличие от сопротивления, которое имеет только величину.

Импеданс можно представить как комплексное число в тех же единицах, что и сопротивление, для которого единицей СИ является Ом ( Ом ). Его символом обычно является Z , и его можно представить, записав его величину и фазу в полярной форме | Я | ∠θ . Однако декартово представление комплексных чисел часто оказывается более эффективным для целей анализа цепей.

Понятие импеданса полезно для анализа переменного тока электрических сетей , поскольку оно позволяет связать синусоидальные напряжения и токи простым линейным законом. В сетях с несколькими портами двухполюсное определение импеданса является неадекватным, но комплексные напряжения на портах и ​​токи, протекающие через них, по-прежнему линейно связаны матрицей импеданса . ^[3]

Обратной величиной импеданса является адмиттанс , единицей измерения которого является сименс , ранее называемый мо .

Приборы, используемые для измерения электрического импеданса, называются анализаторами импеданса .

История

Возможно, самое раннее использование комплексных чисел в анализе цепей было Иоганном Виктором Витлисбахом в 1879 году при анализе моста Максвелла . Витлисбах избегал использования дифференциальных уравнений, выражая переменные токи и напряжения как показательные функции с мнимыми показателями (см. § Достоверность комплексного представления). Витлисбах обнаружил, что требуемое напряжение можно получить путем умножения тока на комплексное число (импеданс), хотя он не определил это как общий параметр сам по себе. ^[4]

Термин «импеданс» был придуман Оливером Хевисайдом в июле 1886 года. ^{[5] [6]} Хевисайд признал, что «оператор сопротивления» (импеданс) в его операционном исчислении был комплексным числом. В 1887 году он показал, что существует переменный ток, эквивалентный закону Ома . ^[7]

Артур Кеннелли опубликовал влиятельную статью об импедансе в 1893 году. Кеннелли пришел к представлению комплексных чисел гораздо более прямым способом, чем использование мнимых экспоненциальных функций. Кеннелли следовал графическому представлению импеданса (показывающему сопротивление, реактивное сопротивление и импеданс как длины сторон прямоугольного треугольника), разработанному Джоном Амброузом Флемингом в 1889 году. Таким образом, импедансы можно было складывать векторно . Кеннелли понял, что это графическое представление импеданса прямо аналогично графическому представлению комплексных чисел ( диаграмма Аргана ). Таким образом, к проблемам расчета импеданса можно подойти алгебраически, используя представление комплексных чисел. ^{[8] [9]} Позже в том же году работа Кеннелли была обобщена на все цепи переменного тока Чарльзом Протеем Стейнмецем . Штейнмец не только представлял импедансы комплексными числами, но также напряжения и токи. В отличие от Кеннелли, Штейнмец, таким образом, смог выразить эквиваленты переменного тока законов постоянного тока, таких как законы Ома и Кирхгофа. ^[10] Работа Штейнмеца оказала большое влияние на распространение этой техники среди инженеров. ^[11]

Введение

В дополнение к сопротивлению, наблюдаемому в цепях постоянного тока, импеданс в цепях переменного тока включает в себя эффекты индукции напряжения в проводниках магнитными полями ( индуктивность ) и электростатическое накопление заряда, вызванное напряжением между проводниками ( емкость ). Импеданс, вызванный этими двумя эффектами, вместе называется реактивным сопротивлением и образует мнимую часть комплексного импеданса, тогда как сопротивление составляет действительную часть.

Комплексный импеданс

Графическое представление плоскости комплексного импеданса

Импеданс элемента двухполюсной схемы представляется как комплексная величина . Полярная форма удобно фиксирует как амплитудные, так и фазовые характеристики как ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \ Z=|Z|e^{j\arg(Z)}}$

где величина представляет собой отношение амплитуды разности напряжений к амплитуде тока, а аргумент (обычно обозначаемый символом ) дает разность фаз между напряжением и током. является воображаемой единицей и используется вместо этого в этом контексте, чтобы избежать путаницы с символом электрического тока . ^{[12] : 21} ${\displaystyle |Z|}$ ${\displaystyle \arg(Z)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

В декартовой форме импеданс определяется как

${\displaystyle \ Z=R+jX}$

где действительная часть импеданса — это сопротивление R , а мнимая часть — реактивное сопротивление X.

Там, где необходимо добавить или вычесть импедансы, более удобна декартова форма; но когда количества умножаются или делятся, расчет становится проще, если используется полярная форма. Расчет схемы, например определение общего импеданса двух параллельных импедансов, может потребовать преобразования между формами несколько раз во время расчета. Преобразование между формами осуществляется по обычным правилам преобразования комплексных чисел .

Комплексное напряжение и ток

Обобщенные импедансы в цепи могут быть обозначены тем же символом, что и резистор (США ANSI или DIN Euro), или с помощью маркированной рамки.

Для упрощения вычислений синусоидальные волны напряжения и тока обычно представляются как комплексные функции времени, обозначаемые как и . ^{[13] [14]} ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=|V|e^{j(\omega t+\phi _{V})},\\I&=|I|e^{j(\omega t+\phi _{I})}.\end{aligned}}}$

Импеданс биполярной цепи определяется как соотношение этих величин:

${\displaystyle Z={\frac {V}{I}}={\frac {|V|}{|I|}}e^{j(\phi _{V}-\phi _{I})}.}$

Следовательно, обозначая , имеем ${\displaystyle \theta =\phi _{V}-\phi _{I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|V|&=|I||Z|,\\\phi _{V}&=\phi _{I}+\theta .\end{aligned}}}$

Уравнение величины представляет собой знакомый закон Ома, применяемый к амплитудам напряжения и тока, а второе уравнение определяет фазовое соотношение.

Действительность комплексного представления

Это представление с использованием комплексных экспонент можно оправдать, отметив, что (по формуле Эйлера ):

${\displaystyle \ \cos(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}{\Big [}e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}{\Big ]}}$

Синусоидальная функция с действительным знаком, представляющая напряжение или ток, может быть разбита на две комплексные функции. По принципу суперпозиции мы можем проанализировать поведение синусоиды в левой части, анализируя поведение двух комплексных членов в правой части. Учитывая симметрию, нам нужно выполнить анализ только для одного правого члена. Результаты идентичны для другого. В конце любого расчета мы можем вернуться к синусоидам с действительными значениями, отметив далее, что

${\displaystyle \ \cos(\omega t+\phi )=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} {\Big \{}e^{j(\omega t+\phi )}{\Big \}}}$

Закон Ома

Источник переменного тока, подающий напряжение на нагрузку , вызывающий ток ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle I}$

Смысл электрического сопротивления можно понять, подставив его в закон Ома. ^{[15] [16]} Если предположить, что двухполюсный элемент схемы с импедансом управляется синусоидальным напряжением или током, как указано выше, справедливо ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \ V=IZ=I|Z|e^{j\arg(Z)}}$

Величина импеданса действует так же, как сопротивление, вызывая падение амплитуды напряжения на импедансе для заданного тока . Фазовый коэффициент говорит нам, что ток отстает от напряжения на фазу (т. е. во временной области сигнал тока смещается позже по отношению к сигналу напряжения). ${\displaystyle |Z|}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$ ${\textstyle {\frac {\theta }{2\pi }}T}$

Подобно тому, как импеданс распространяет закон Ома на цепи переменного тока, другие результаты анализа цепей постоянного тока, такие как деление напряжения , деление тока , теорема Тевенена и теорема Нортона , также могут быть распространены на цепи переменного тока, заменяя сопротивление импедансом.

Фазоры

Вектор представлен постоянным комплексным числом, обычно выраженным в экспоненциальной форме, представляющим комплексную амплитуду (величину и фазу) синусоидальной функции времени. Векторы используются инженерами-электриками для упрощения вычислений с использованием синусоид (например, в цепях переменного тока ^{[12] :53} ), где они часто могут свести задачу дифференциального уравнения к алгебраической.

Импеданс элемента схемы можно определить как отношение векторного напряжения на элементе к векторному току через элемент, определяемому относительными амплитудами и фазами напряжения и тока. Это идентично определению из закона Ома, данному выше, с учетом того, что факторы взаимного сокращения. ${\displaystyle e^{j\omega t}}$

Примеры устройств

Резистор

Фазовые углы в уравнениях импеданса конденсаторов и катушек индуктивности показывают, что напряжение на конденсаторе отстает от тока через него на фазу , а напряжение на катушке индуктивности опережает ток через него на . Одинаковые амплитуды напряжения и тока указывают на то, что величина импеданса равна единице. ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Полное сопротивление идеального резистора чисто вещественное и называется резистивным сопротивлением :

${\displaystyle \ Z_{R}=R}$

В этом случае формы сигналов напряжения и тока пропорциональны и синфазны.

Индуктор и конденсатор

Идеальные катушки индуктивности и конденсаторы имеют чисто мнимое реактивное сопротивление :

сопротивление катушек индуктивности увеличивается с увеличением частоты;

${\displaystyle Z_{L}=j\omega L}$^[а]

сопротивление конденсаторов уменьшается с увеличением частоты;

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}}$

В обоих случаях при приложенном синусоидальном напряжении результирующий ток также будет синусоидальным, но в квадратуре , на 90 градусов сдвинутым по фазе с напряжением. Однако фазы имеют противоположные знаки: в дросселе ток отстает ; в конденсаторе ток опережает .

Обратите внимание на следующие тождества мнимой единицы и обратной ей единицы:

${\displaystyle {\begin{aligned}j&\equiv \cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j{\frac {\pi }{2}}}\\{\frac {1}{j}}\equiv -j&\equiv \cos {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}}$

Таким образом, уравнения импеданса катушки индуктивности и конденсатора можно переписать в полярной форме:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{L}&=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}\\Z_{C}&={\frac {1}{\omega C}}e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}}$

Величина дает изменение амплитуды напряжения для заданной амплитуды тока через полное сопротивление, а экспоненциальные множители определяют фазовое соотношение.

Определение импеданса конкретного устройства

Ниже приводится определение импеданса для каждого из трех основных элементов схемы : резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Хотя эту идею можно расширить и определить взаимосвязь между напряжением и током любого произвольного сигнала , эти выводы предполагают синусоидальные сигналы. Фактически, это относится к любым произвольным периодическим сигналам, поскольку их можно аппроксимировать как сумму синусоид посредством анализа Фурье .

Резистор

Для резистора существует соотношение

${\displaystyle v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}=i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}R}$

что является законом Ома .

Учитывая, что сигнал напряжения

${\displaystyle v_{\text{R}}(t)=V_{p}\sin(\omega t)}$

следует, что

${\displaystyle {\frac {v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {V_{p}\sin(\omega t)}{I_{p}\sin {\mathord {\left(\omega t\right)}}}}=R}$

Это говорит о том, что отношение амплитуды переменного напряжения к амплитуде переменного тока (AC) на резисторе равно , и что переменное напряжение опережает ток через резистор на 0 градусов. ${\displaystyle R}$

Этот результат обычно выражается как

${\displaystyle Z_{\text{resistor}}=R}$

Конденсатор

Для конденсатора существует соотношение:

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

Учитывая, что сигнал напряжения

${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=V_{p}e^{j\omega t}}$

следует, что

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}=j\omega V_{p}e^{j\omega t}}$

и таким образом, как и прежде,

${\displaystyle Z_{\text{capacitor}}={\frac {v_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {1}{j\omega C}}.}$

И наоборот, если ток в цепи предполагается синусоидальным, его комплексное представление будет

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=I_{p}e^{j\omega t}}$

затем интегрируем дифференциальное уравнение

${\displaystyle i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

приводит к

${\displaystyle v_{C}(t)={\frac {1}{j\omega C}}I_{p}e^{j\omega t}+{\text{Const.}}={\frac {1}{j\omega C}}i_{C}(t)+{\text{Const.}}}$

Термин Const представляет собой фиксированное потенциальное смещение, наложенное на синусоидальный потенциал переменного тока, который не играет никакой роли в анализе переменного тока. Для этой цели этот член можно принять равным 0, следовательно, импеданс снова

${\displaystyle Z_{\text{capacitor}}={\frac {1}{j\omega C}}.}$

Индуктор

Для индуктора имеем соотношение (из закона Фарадея ):

${\displaystyle v_{\text{L}}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}}$

На этот раз, учитывая текущий сигнал:

${\displaystyle i_{\text{L}}(t)=I_{p}\sin(\omega t)}$

следует, что:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}=\omega I_{p}\cos {\mathord {\left(\omega t\right)}}}$

Этот результат обычно выражается в полярной форме как

${\displaystyle Z_{\text{inductor}}=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}}$

или, используя формулу Эйлера, как

${\displaystyle Z_{\text{inductor}}=j\omega L}$

Как и в случае с конденсаторами, эту формулу также можно вывести непосредственно из комплексных представлений напряжений и токов или предположив синусоидальное напряжение между двумя полюсами индуктора. В последнем случае интегрирование приведенного выше дифференциального уравнения приводит к постоянному члену для тока, который представляет собой фиксированное смещение постоянного тока, протекающее через дроссель. Это значение установлено равным нулю, поскольку анализ переменного тока с использованием импеданса в частотной области учитывает одну частоту за раз, а постоянный ток в этом контексте представляет собой отдельную частоту в ноль герц.

Обобщенный импеданс в s-плоскости

Импеданс, определенный через jω, может строго применяться только к цепям, которые управляются установившимся сигналом переменного тока. Понятие импеданса можно распространить на цепь, на которую подается любой произвольный сигнал, используя комплексную частоту вместо jω . Комплексная частота обозначается символом s и, как правило, представляет собой комплексное число. Сигналы выражаются через комплексную частоту путем преобразования Лапласа выражения сигнала во временной области . Импеданс основных элементов схемы в этих более общих обозначениях выглядит следующим образом:

Для цепи постоянного тока это упрощается до s = 0 . Для установившегося синусоидального сигнала переменного тока s = jω .

Формальный вывод

Импеданс электрического компонента определяется как соотношение между преобразованиями Лапласа напряжения на нем и тока через него, т.е. ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}\{v(t)\}}{{\mathcal {L}}\{i(t)\}}}={\frac {V(s)}{I(s)}}\qquad {\text{(general impedance)}}}$

где – комплексный параметр Лапласа. Например, по закону ВАХ конденсатора , из которого следует, что . ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}={\mathcal {L}}\{C\,\mathrm {d} v(t)/\mathrm {d} t\}=sC{\mathcal {L}}\{v(t)\}}$ ${\displaystyle Z_{C}(s)=1/sC}$

В векторном режиме (стационарный переменный ток, что означает, что все сигналы математически представлены как простые комплексные экспоненты и колеблются с общей частотой ), импеданс можно просто рассчитать как отношение напряжения к току, в котором общий зависящий от времени коэффициент отменяет: ${\displaystyle v(t)={\hat {V}}\,e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle i(t)={\hat {I}}\,e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {v(t)}{i(t)}}={\frac {{\hat {V}}\,e^{j\omega t}}{{\hat {I}}\,e^{j\omega t}}}={\frac {\hat {V}}{\hat {I}}}\qquad {\text{(phasor-regime impedance)}}}$

Опять же, для конденсатора получается , и, следовательно , . Векторную область иногда называют частотной областью, хотя в ней отсутствует одно из измерений параметра Лапласа. ^[17] Для установившегося переменного тока полярная форма комплексного импеданса связывает амплитуду и фазу напряжения и тока. В частности: ${\displaystyle i(t)=C\,\mathrm {d} v(t)/\mathrm {d} t=j\omega C\,v(t)}$ ${\displaystyle Z_{C}(\omega )=1/j\omega C}$

• Величина комплексного импеданса представляет собой отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока;
• Фаза комплексного импеданса — это сдвиг фазы , на который ток отстает от напряжения.

Эти два соотношения сохраняются даже после принятия действительной части комплексной экспоненты (см. векторы ), которая является частью сигнала, который фактически измеряется в реальных схемах.

Сопротивление против реактивного сопротивления

Сопротивление и реактивное сопротивление вместе определяют величину и фазу импеданса посредством следующих соотношений:

${\displaystyle {\begin{aligned}|Z|&={\sqrt {ZZ^{*}}}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {X}{R}}\right)}\end{aligned}}}$

Во многих приложениях относительная фаза напряжения и тока не имеет решающего значения, поэтому важна только величина импеданса.

Сопротивление

Сопротивление — это реальная часть импеданса; устройство с чисто резистивным сопротивлением не имеет фазового сдвига между напряжением и током. ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \ R=|Z|\cos {\theta }\quad }$

Реактивное сопротивление

Реактивное сопротивление — это мнимая часть импеданса; компонент с конечным реактивным сопротивлением вызывает фазовый сдвиг между напряжением на нем и током, проходящим через него. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \ X=|Z|\sin {\theta }\quad }$

Чисто реактивный компонент отличается тем, что синусоидальное напряжение на компоненте находится в квадратуре с синусоидальным током через компонент. Это означает, что компонент поочередно поглощает энергию из цепи, а затем возвращает энергию в цепь. Чистое реактивное сопротивление не рассеивает никакой мощности.

Емкостное реактивное сопротивление

Конденсатор имеет чисто реактивное сопротивление, обратно пропорциональное частоте сигнала . Конденсатор состоит из двух проводников, разделенных изолятором , также известным как диэлектрик .

${\displaystyle X_{\mathsf {C}}={\frac {-1\ ~}{\ \omega \ C\ }}={\frac {-1\ ~}{\ 2\pi \ f\ C\ }}~.}$

Знак минус указывает на то, что мнимая часть импеданса отрицательна.

На низких частотах конденсатор приближается к разомкнутой цепи, поэтому через него не течет ток.

Постоянное напряжение, приложенное к конденсатору, вызывает накопление заряда на одной стороне; электрическое поле из-за накопленного заряда является источником противодействия току. Когда потенциал , связанный с зарядом, точно уравновешивает приложенное напряжение, ток становится равным нулю.

Под действием переменного тока конденсатор накапливает лишь ограниченный заряд, прежде чем разность потенциалов меняет знак и заряд рассеивается. Чем выше частота, тем меньше накапливается заряда и тем меньше сопротивление току.

Индуктивное реактивное сопротивление

Индуктивное реактивное сопротивление пропорционально частоте сигнала и индуктивности . ${\displaystyle X_{L}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle X_{L}=\omega L=2\pi fL\quad }$

Индуктор состоит из спирального проводника. Закон электромагнитной индукции Фарадея создает обратную ЭДС (ток, противодействующий напряжению) из-за скорости изменения плотности магнитного потока в токовой петле. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\quad }$

Для индуктора, состоящего из катушки с петлями, это дает: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{d\Phi _{B} \over dt}\quad }$

Обратная ЭДС является источником сопротивления току. Постоянный постоянный ток имеет нулевую скорость изменения и рассматривает индуктор как короткое замыкание (обычно он изготавливается из материала с низким удельным сопротивлением ). Переменный ток имеет усредненную по времени скорость изменения, пропорциональную частоте, это вызывает увеличение индуктивного реактивного сопротивления с частотой.

Общее реактивное сопротивление

Полное реактивное сопротивление определяется выражением

${\displaystyle {X=X_{L}+X_{C}}}$(обратите внимание, что это отрицательно) ${\displaystyle X_{C}}$

так что полное сопротивление равно

${\displaystyle \ Z=R+jX}$

Объединение импедансов

Общий импеданс многих простых цепей компонентов можно рассчитать, используя правила последовательного и параллельного соединения импедансов. Правила идентичны правилам объединения сопротивлений, за исключением того, что числа в целом являются комплексными числами . Однако в общем случае требуются эквивалентные преобразования импеданса в дополнение к последовательным и параллельным преобразованиям.

Комбинация серий

Для компонентов, соединенных последовательно, ток через каждый элемент цепи одинаков; общее сопротивление представляет собой сумму импедансов компонентов.

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}\quad }$

Или явно в реальном и мнимом выражении:

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}=R+jX=(R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n})+j(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})\quad }$

Параллельная комбинация

Для компонентов, соединенных параллельно, напряжение на каждом элементе схемы одинаково; отношение токов через любые два элемента является обратным отношением их сопротивлений.

Следовательно, обратный общий импеданс представляет собой сумму обратных импедансов компонентов:

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{Z_{n}}}}$

или, когда n = 2:

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}={\frac {Z_{1}+Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}}}}$

${\displaystyle \ Z_{\text{eq}}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$

Эквивалентный импеданс можно рассчитать через эквивалентное последовательное сопротивление и реактивное сопротивление . ^[18] ${\displaystyle Z_{\text{eq}}}$ ${\displaystyle R_{\text{eq}}}$ ${\displaystyle X_{\text{eq}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{eq}}&=R_{\text{eq}}+jX_{\text{eq}}\\R_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\\X_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\end{aligned}}}$

Измерение

Измерение импеданса устройств и линий передачи является практической задачей радиотехники и других областей. Измерения импеданса могут проводиться на одной частоте, или может представлять интерес изменение импеданса устройства в диапазоне частот. Импеданс может быть измерен или отображен непосредственно в Омах, либо могут отображаться другие значения, связанные с импедансом; например, в радиоантенне коэффициент стоячей волны или коэффициент отражения могут быть более полезными, чем просто сопротивление. Измерение импеданса требует измерения величины напряжения и тока, а также разности фаз между ними. Импеданс часто измеряют «мостовыми» методами , аналогичными мосту Уитстона постоянного тока ; калиброванное эталонное сопротивление настраивается для компенсации влияния импеданса тестируемого устройства. Измерение импеданса в силовых электронных устройствах может потребовать одновременного измерения и подачи питания на рабочее устройство.

Импеданс устройства можно рассчитать путем комплексного деления напряжения и тока. Импеданс устройства можно рассчитать, подав синусоидальное напряжение на устройство последовательно с резистором и измерив напряжение на резисторе и на устройстве. Выполнение этого измерения путем качания частот приложенного сигнала позволяет определить фазу и величину импеданса. ^[19]

Использование импульсной характеристики может использоваться в сочетании с быстрым преобразованием Фурье (БПФ) для быстрого измерения электрического импеданса различных электрических устройств. ^[19]

Измеритель LCR (индуктивность (L), емкость (C) и сопротивление (R)) — это устройство, обычно используемое для измерения индуктивности, сопротивления и емкости компонента; по этим значениям можно рассчитать импеданс на любой частоте.

Пример

Рассмотрим схему резервуара LC . Комплексное сопротивление цепи равно

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {j\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}.}$

Сразу видно, что значение минимально (в данном случае фактически равно 0), когда ${\textstyle {1 \over |Z|}}$

${\displaystyle \omega ^{2}LC=1.}$

Следовательно, основная резонансная угловая частота равна

${\displaystyle \omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}.}$

Переменный импеданс

В общем, ни импеданс, ни адмиттанс не могут меняться со временем, поскольку они определены для комплексных экспонент, в которых −∞ < t < +∞ . Если комплексное экспоненциальное соотношение напряжения и тока изменяется со временем или по амплитуде, элемент схемы нельзя описать с использованием частотной области. Однако многие компоненты и системы (например, варикапы , используемые в радиотюнерах ) могут демонстрировать нелинейные или изменяющиеся во времени отношения напряжения к току, которые кажутся линейными, не зависящими от времени (LTI) для малых сигналов и в небольших окнах наблюдения. поэтому их можно грубо описать так, как если бы они имели изменяющийся во времени импеданс. Это описание является приблизительным: при больших колебаниях сигнала или широких окнах наблюдения соотношение напряжения и тока не будет LTI и не может быть описано импедансом.

Смотрите также

• Анализ биоэлектрического импеданса  - метод оценки состава тела.
• Характеристический импеданс  - свойство электрической цепи.
• Электрические характеристики динамических громкоговорителей
• Высокий импеданс  – когда через него проходит только небольшой ток.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Иммиттанс  – комбинированная мера импеданса и адмиттанса.
• Анализатор импеданса
• Импедансное мостовое соединение
• Импедансная кардиография  – гемореологический метод выявления свойств кровотока в грудной клетке.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Контроль импеданса
• Согласование импеданса  – регулировка входного/выходного импеданса электрической цепи для какой-либо цели.
• Импедансная микробиология
• Преобразователь отрицательного импеданса  - активная цепь, которая подает энергию в цепи.
• Расстояние сопротивления  — графическая метрика электрического сопротивления между узлами.
• Сопротивление линии передачи
• Универсальный диэлектрический отклик  . Возникающее поведение масштабирования в гетерогенных материалах под воздействием переменного тока.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. — мнимая единица; т. е. используется в электротехнике. Символ не используется, поскольку он часто используется для обозначения тока. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle i}$

Рекомендации

1. Слерцберг; Остерхельд (1950). Основы электричества для радио и телевидения. 2-е изд. МакГроу-Хилл. стр. 360 - 362
2. Каллегаро, Л. (2012). Электрический импеданс: принципы, измерение и применение. CRC Press, с. 5
3. Каллегаро, разд. 1,6
4. Клайн, Рональд Р., Штайнмец: инженер и социалист , издательство Университета Джонса Хопкинса, 1992 ISBN  9780801842986 , стр. 78.
5. Наука , с. 18, 1888 ^{[ нужна полная цитата ] [ не удалось проверить ]}
6. Оливер Хевисайд, Электрик , с. 212, 23 июля 1886 г., переиздано как Electrical Papers, Volume II , стр. 64, Книжный магазин AMS, ISBN 0-8218-3465-7. 
7. Кляйн, с. 79.
8. Кляйн, с. 81-2.
9. Кеннелли, Артур, «Импеданс», Труды Американского института инженеров-электриков , том. 10, стр. 175–232, 18 апреля 1893 г.
10. Кляйн, с. 85.
11. Кляйн, с. 90-1.
12. Гросс, Чарльз А. (2012). Основы электротехники. Таддеус Адам Роппель. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4398-9807-9. OCLC  863646311.
13. Комплексный импеданс, Гиперфизика
14. Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд (1989). «1». Искусство электроники. Издательство Кембриджского университета. стр. 31–32. ISBN 978-0-521-37095-0.
15. Закон Ома переменного тока, Гиперфизика
16. Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд (1989). «1». Искусство электроники. Издательство Кембриджского университета. стр. 32–33. ISBN 978-0-521-37095-0.
17. Александр, Чарльз; Садику, Мэтью (2006). Основы электрических цепей (3, переработанное изд.). МакГроу-Хилл. стр. 387–389. ISBN 978-0-07-330115-0.
18. Выражения параллельного импеданса, гиперфизика
19. Джордж Льюис младший; Джордж К. Льюис-старший и Уильям Ольбрихт (август 2008 г.). «Экономичная схема измерения широкополосной спектроскопии электрического импеданса и анализа сигналов для пьезоматериалов и ультразвуковых преобразователей». Измерительная наука и технология . 19 (10): 105102. Бибкод : 2008MeScT..19j5102L. дои : 10.1088/0957-0233/19/10/105102. ПМК 2600501 . ПМИД  19081773. 

• Клайн, Рональд Р., Штайнмец: инженер и социалист , Plunkett Lake Press, 2019 г. (переиздание электронной книги издательства Johns Hopkins University Press, 1992 ISBN 9780801842986 ). 

Внешние ссылки

• ECE 209: Обзор схем как систем LTI. Краткое объяснение анализа схем в области Лапласа; включает определение импеданса.