В математике липшицева область ( или область с липшицевой границей ) — это область в евклидовом пространстве , граница которой «достаточно регулярна» в том смысле, что ее можно рассматривать как локально являющуюся графиком непрерывной функции Липшица . Термин назван в честь немецкого математика Рудольфа Липшица .
Определение
Пусть . Пусть будет областью и пусть обозначает границу . Тогда называется липшицевой областью , если для каждой точки существует гиперплоскость размерности, проходящая через , непрерывная по Липшицу функция над этой гиперплоскостью и действительные числа и такие, что
где
- — единичный вектор , нормальный к
- - открытый шар радиуса ,
Другими словами, в каждой точке своей границы локально находится множество точек, расположенных над графиком некоторой функции Липшица.
Обобщение
Более общее понятие — это слабо липшицевы домены, которые являются доменами, граница которых локально выравнивается билипшицевым отображением. Липшицевы домены в указанном выше смысле иногда называются сильно липшицевыми в отличие от слабо липшицевых доменов.
Область является слабо липшицевой , если для каждой точки существует радиус и отображение, такие что
- является биекцией ;
- и обе являются липшицевыми функциями;
где обозначает единичный шар в и
(Сильно) липшицева область всегда является слабо липшицевой областью, но обратное неверно. Примером слабо липшицевой области, которая не может быть сильно липшицевой областью, является область с двумя кирпичами [1]
Применение доменов Липшица
Многие теоремы Соболева о вложении требуют, чтобы область исследования была липшицевой. Следовательно, многие уравнения в частных производных и вариационные задачи определяются на липшицевых областях.
Ссылки
- ^ Вернер Лихт, М. «Сглаженные проекции над слабо липшицевыми доменами», arXiv , 2016.
- Дакоронья, Б. (2004). Введение в вариационное исчисление . Imperial College Press, Лондон. ISBN 1-86094-508-2.