stringtranslate.com

Домен Липшица

В математике липшицева область ( или область с липшицевой границей ) — это область в евклидовом пространстве , граница которой «достаточно регулярна» в том смысле, что ее можно рассматривать как локально являющуюся графиком непрерывной функции Липшица . Термин назван в честь немецкого математика Рудольфа Липшица .

Определение

Пусть . Пусть будет областью и пусть обозначает границу . Тогда называется липшицевой областью , если для каждой точки существует гиперплоскость размерности, проходящая через , непрерывная по Липшицу функция над этой гиперплоскостью и действительные числа и такие, что

где

единичный вектор , нормальный к
- открытый шар радиуса ,

Другими словами, в каждой точке своей границы локально находится множество точек, расположенных над графиком некоторой функции Липшица.

Обобщение

Более общее понятие — это слабо липшицевы домены, которые являются доменами, граница которых локально выравнивается билипшицевым отображением. Липшицевы домены в указанном выше смысле иногда называются сильно липшицевыми в отличие от слабо липшицевых доменов.

Область является слабо липшицевой , если для каждой точки существует радиус и отображение, такие что

где обозначает единичный шар в и

(Сильно) липшицева область всегда является слабо липшицевой областью, но обратное неверно. Примером слабо липшицевой области, которая не может быть сильно липшицевой областью, является область с двумя кирпичами [1]

Применение доменов Липшица

Многие теоремы Соболева о вложении требуют, чтобы область исследования была липшицевой. Следовательно, многие уравнения в частных производных и вариационные задачи определяются на липшицевых областях.

Ссылки

  1. ^ Вернер Лихт, М. «Сглаженные проекции над слабо липшицевыми доменами», arXiv , 2016.