Логарифмический график

2D-графика с логарифмическими масштабами по обеим осям.

Логарифмический график y  =  x  (синий), y  =  x ²  (зеленый) и y  =  x ³  (красный).
Обратите внимание на маркировку логарифмического масштаба на каждой из осей, а также на то, что оси log  x и log  y (где логарифмы равны 0) находятся там, где сами x и y равны 1.

В науке и технике логарифмический график или логарифмический график представляет собой двумерный график числовых данных, в котором используются логарифмические масштабы как по горизонтальной, так и по вертикальной оси. Степенные функции – отношения формы – выглядят как прямые линии на логарифмическом графике, где показатель степени соответствует наклону, а коэффициент соответствует точке пересечения. Таким образом, эти графики очень полезны для распознавания этих взаимосвязей и оценки параметров . Для логарифма можно использовать любое основание, хотя чаще всего используется основание 10 (обычные журналы). ${\displaystyle y=ax^{k}}$

Связь с мономами

Учитывая мономиальное уравнение, логарифмирование уравнения (с любым основанием) дает: ${\displaystyle y=ax^{k},}$

$${\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}$$

${\displaystyle X=\log x}$ ${\displaystyle Y=\log y,}$

$${\displaystyle Y=mX+b}$$

mkgradientbayxayх^[1]

Уравнения

Уравнение линии в логарифмическом масштабе будет иметь вид:

$${\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,}$$

$${\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},}$$

mb

Наклон логарифмической диаграммы

Нахождение наклона логарифмического графика с использованием соотношений

Чтобы найти наклон графика, на оси x выбираются две точки , скажем, x ₁ и x ₂ . Используя приведенное выше уравнение:

$${\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,}$$

$${\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.}$$

m

$${\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},}$$

F ₁Fx ₁F ₂Fx ₂отрицательный

$${\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}$$

Нахождение функции по логарифмическому графику

Вышеописанная процедура теперь меняется на обратную, чтобы найти форму функции F ( x ) с использованием ее (предполагаемого) известного логарифмического графика. Чтобы найти функцию F , выберите некоторую фиксированную точку ( x ₀ , F ₀ ), где F ₀ является сокращением для F ( x ₀ ), где-нибудь на прямой линии на графике выше, а затем какую-нибудь другую произвольную точку ( x ₁ , F ₁ ) на том же графике. Тогда из приведенной выше формулы наклона:

$${\displaystyle m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}}$$

$${\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m}].}$$

^{log ₁₀ ( F ₁ )}F ₁

$${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}}$$

$${\displaystyle F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},}$$

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$$

Fxx ₀F ₀x ₁F ₁

$${\displaystyle F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},}$$

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}}$$

m

Нахождение площади под прямолинейным отрезком логарифмического графика.

Чтобы вычислить площадь под непрерывным прямолинейным сегментом логарифмического графика (или оценить площадь почти прямой линии), возьмите определенную ранее функцию

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$$

$${\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constant} }{m+1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}}$$

Переставляя исходное уравнение и подставляя значения фиксированной точки, обнаруживается, что

$${\displaystyle \mathrm {constant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}$$

Подставив обратно в интеграл, вы обнаружите, что для A от x ₀ до x ₁

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}}$$

Поэтому, ${\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]}$

При m  = −1 интеграл принимает вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}\,dx={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}}$$

Приложения

Логарифмический график, объединяющий информацию, охватывающую более одного порядка величины по обеим осям.

Эти графики полезны, когда параметры a и b необходимо оценить на основе числовых данных. Подобные спецификации часто используются в экономике .

Одним из примеров является оценка функций спроса на деньги на основе теории запасов , в которой можно предположить, что спрос на деньги в момент времени t определяется выражением

$${\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},}$$

MденегRнорма доходностиY — реальный доходUлогарифмически нормальное распределение.Abcэластичности .

$${\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},}$$

mMaArRyYuUu нормальнообычного метода наименьших квадратов

Другим экономическим примером является оценка производственной функции Кобба – Дугласа фирмы , которая является правой частью уравнения.

$${\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},}$$

QNKUA ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}}$$

qQaAnNkи=U.

Логарифмическая регрессия также может использоваться для оценки фрактальной размерности естественного фрактала .

Однако идти в другом направлении – наблюдать, что данные выглядят как приблизительная линия в логарифмическом масштабе, и делать вывод, что данные подчиняются степенному закону – не всегда верно. ^[2]

Фактически, многие другие функциональные формы выглядят приблизительно линейными в логарифмическом масштабе, и простая оценка степени соответствия линейной регрессии зарегистрированным данным с использованием коэффициента детерминации ( R ² ) может быть недействительной, поскольку предположения линейной регрессии модель регрессии, такая как ошибка Гаусса, может не удовлетворяться; кроме того, тесты на соответствие логарифмической формы могут демонстрировать низкую статистическую мощность , поскольку эти тесты могут иметь низкую вероятность отклонения степенных законов в присутствии других истинных функциональных форм. Хотя простые логарифмические графики могут быть поучительны для выявления возможных степенных законов и использовались еще Парето в 1890-х годах, проверка степенных законов требует более сложной статистики. ^[2]

Эти графики также чрезвычайно полезны, когда данные собираются путем изменения управляющей переменной по экспоненциальной функции, и в этом случае управляющая переменная x более естественно представлена ​​в логарифмическом масштабе, так что точки данных расположены равномерно, а не сжимаются в начале. низкий конец. Выходная переменная y может быть либо представлена ​​линейно, получая график линейного логарифма (log  x , y ), либо ее логарифм также может быть взята, что дает график логарифмического значения (log  x , log  y ).

График Боде ( график частотной характеристики системы) также представляет собой логарифмический график.

В химической кинетике общий вид зависимости скорости реакции от концентрации принимает форму степенного закона ( закона действия масс ), поэтому логарифмический график полезен для оценки параметров реакции из эксперимента.

Смотрите также

• Полулогарифмический график (лин-логарифм или лог-лин)
• Сила закона
• Закон Ципфа

Рекомендации

1. Графики М. Борна на логарифмической и полулогарифмической бумаге (www.intmath.com)
2. Клаузе, А.; Шализи, ЧР; Ньюман, МЭД (2009). «Степенное распределение в эмпирических данных». Обзор СИАМ . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Бибкод : 2009SIAMR..51..661C. дои : 10.1137/070710111. S2CID  9155618.

Внешние ссылки

• Сайт неньютоновского исчисления