Лог-полярные координаты

В математике логарифмически -полярные координаты (или логарифмические полярные координаты ) — это система координат в двух измерениях, в которой точка идентифицируется двумя числами: одним для логарифма расстояния до определенной точки и одним для угла . Логарифмически-полярные координаты тесно связаны с полярными координатами , которые обычно используются для описания областей на плоскости с некоторой вращательной симметрией . В таких областях, как гармонический и комплексный анализ , логарифмически-полярные координаты более каноничны, чем полярные координаты.

Определение и преобразования координат

Лог-полярные координаты на плоскости состоят из пары действительных чисел (ρ,θ), где ρ — логарифм расстояния между заданной точкой и началом координат , а θ — угол между линией отсчета ( осью x ) и линией, проходящей через начало координат и точку. Угловая координата такая же, как и для полярных координат, тогда как радиальная координата преобразуется по правилу

${\displaystyle r=e^{\rho }}$.

где - расстояние до начала координат. Формулы преобразования из декартовых координат в логарифмически-полярные координаты имеют вид ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =\ln \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right),\\\theta =\operatorname {atan2} (y,\,x).\end{cases}}}$

и формулы преобразования из логарифмически-полярных в декартовы координаты следующие:

${\displaystyle {\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}}$

Используя комплексные числа ( x ,  y ) =  x  +  iy , последнее преобразование можно записать как

${\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }}$

т.е. комплексная показательная функция. Из этого следует, что основные уравнения в гармоническом и комплексном анализе будут иметь тот же простой вид, что и в декартовых координатах. Это не относится к полярным координатам.

Некоторые важные уравнения в лог-полярных координатах

Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа в двух измерениях имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

в декартовых координатах. Запись того же уравнения в полярных координатах дает более сложное уравнение

${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

или эквивалентно

${\displaystyle \left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}u+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Однако из соотношения следует, что уравнение Лапласа в логарифмически-полярных координатах, ${\displaystyle r=e^{\rho }}$ ${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\partial }{\partial \rho }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

имеет такое же простое выражение, как и в декартовых координатах. Это справедливо для всех систем координат, где преобразование в декартовы координаты задается конформным отображением . Таким образом, при рассмотрении уравнения Лапласа для части плоскости с вращательной симметрией, например, круглого диска, логарифмически-полярные координаты являются естественным выбором.

Уравнения Коши–Римана

Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении аналитических функций . Аналитическая функция, записанная в декартовых координатах, удовлетворяет уравнениям Коши–Римана: ${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

Если же функция вместо этого выражена в полярной форме , то уравнения Коши–Римана принимают более сложный вид ${\displaystyle f(re^{i\theta })=Re^{i\Phi }}$

${\displaystyle r{\frac {\partial \log R}{\partial r}}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial \log R}{\partial \theta }}=-r{\frac {\partial \Phi }{\partial r}},}$

Как и в случае с уравнением Лапласа, простая форма декартовых координат восстанавливается путем замены полярных координат на логарифмически-полярные (пусть ): ${\displaystyle P=\log R}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial \rho }}}$

Уравнения Коши–Римана можно также записать в виде одного уравнения:

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f(x+iy)=0}$

Выражая и через и это уравнение можно записать в эквивалентной форме ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \rho }}+i{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f(e^{\rho +i\theta })=0}$

Уравнение Эйлера

Когда требуется решить задачу Дирихле в области с вращательной симметрией, обычно используют метод разделения переменных для уравнений с частными производными для уравнения Лапласа в полярной форме. Это означает, что вы пишете . Уравнение Лапласа затем разделяется на два обыкновенных дифференциальных уравнения ${\displaystyle u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Theta ''(\theta )+\nu ^{2}\Theta (\theta )=0\\r^{2}R''(r)+rR'(r)-\nu ^{2}R(r)=0\end{cases}}}$

где - константа. Первое из них имеет постоянные коэффициенты и легко решается. Второе - частный случай уравнения Эйлера ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle r^{2}R''(r)+crR'(r)+dR(r)=0}$

где константы. Это уравнение обычно решается с помощью анзаца , но с помощью логарифмически-полярного радиуса его можно преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами: ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle R(r)=r^{\lambda }}$

${\displaystyle P''(\rho )+(c-1)P'(\rho )+dP(\rho )=0}$

При рассмотрении уравнения Лапласа, и, таким образом, уравнение для принимает простой вид ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle d=-\nu ^{2}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle P''(\rho )-\nu ^{2}P(\rho )=0}$

При решении задачи Дирихле в декартовых координатах это в точности уравнения для и . Таким образом, снова естественным выбором для области с вращательной симметрией являются не полярные, а логарифмически-полярные координаты. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Дискретная геометрия

Дискретная система координат в круговом диске, заданная логарифмически-полярными координатами ( n  = 25)

Дискретная система координат в круглом диске, которую можно легко выразить в логарифмически-полярных координатах ( n  = 25)

Часть фрактала Мандельброта, демонстрирующая спиральное поведение

Чтобы численно решить PDE в домене, в этом домене необходимо ввести дискретную систему координат. Если домен имеет вращательную симметрию, и вам нужна сетка, состоящая из прямоугольников, полярные координаты являются плохим выбором, так как в центре круга они порождают треугольники, а не прямоугольники. Однако это можно исправить, введя логарифмически-полярные координаты следующим образом. Разделим плоскость на сетку квадратов со стороной 2 / n , где n — положительное целое число. Используйте комплексную экспоненциальную функцию для создания логарифмически-полярной сетки в плоскости. Затем левая полуплоскость отображается на единичный круг с числом радиусов, равным  n . Может быть даже более выгодным вместо этого отобразить диагонали в этих квадратах, что дает дискретную систему координат в единичном круге, состоящем из спиралей, см. рисунок справа. ${\displaystyle \pi }$

Оператор Дирихле-Неймана

Последняя система координат подходит, например, для решения задач Дирихле и Неймана. Если дискретную систему координат интерпретировать как неориентированный граф в единичном круге, ее можно рассматривать как модель электрической сети. Каждому отрезку линии в графике соответствует проводимость, заданная функцией . Электрическая сеть будет тогда служить дискретной моделью для задачи Дирихле в единичном круге, где уравнение Лапласа принимает форму закона Кирхгофа. В узлах на границе круга определяется электрический потенциал (данные Дирихле), который индуцирует электрический ток (данные Неймана) через граничные узлы. Линейный оператор из данных Дирихле в данные Неймана называется оператором Дирихле-Неймана и зависит от топологии и проводимости сети. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Lambda _{\gamma }}$

В случае сплошного диска следует, что если проводимость однородна, скажем, всюду, то оператор Дирихле-Неймана удовлетворяет следующему уравнению: ${\displaystyle \gamma =1}$

${\displaystyle \Lambda _{\gamma }^{2}+{\frac {\partial ^{2}\ }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Анализ изображения

Уже в конце 1970-х годов были даны приложения для дискретной спиральной системы координат в анализе изображений ( регистрации изображений ). Представление изображения в этой системе координат, а не в декартовых координатах, дает вычислительные преимущества при вращении или масштабировании изображения. Кроме того, фоторецепторы в сетчатке человеческого глаза распределены таким образом, что имеют большое сходство со спиральной системой координат. ^[1] Его также можно найти во фрактале Мандельброта (см. рисунок справа).

Лог-полярные координаты также можно использовать для построения быстрых методов преобразования Радона и его обратного преобразования. ^[2]

Смотрите также

• Полярные координаты
• Декартовы координаты
• Цилиндрические координаты
• Сферические координаты
• Лог-полярное отображение в ретинотопии

Ссылки

1. Вайман, Чайкин, Логарифмические спиральные сетки для обработки и отображения изображений , Компьютерная графика и обработка изображений 11, 197–226 (1979).
2. Андерссон, Фредрик, Быстрое обращение преобразования Радона с использованием логарифмически-полярных координат и частичных обратных проекций , SIAM J. Appl. Math. 65, 818–837 (2005).

Внешние ссылки

• Сайт неньютоновского исчисления