В логике ложь [1] или неправда — это состояние обладания отрицательным истинностным значением и нулевая логическая связка . В истинностно-функциональной системе логики высказываний это одно из двух постулируемых значений истинности, наряду с ее отрицанием , истиной . [2] Обычными обозначениями ложного являются (особенно в булевой логике и информатике ), O (в префиксной записи O pq ) и символ подъема . [3] [4]
Другой подход используется для некоторых формальных теорий (например, интуиционистского исчисления высказываний ), где вводится константа высказываний (т.е. нулевая связка) , истинностное значение которой всегда ложно в указанном выше смысле. [5] [6] [7] Это утверждение можно рассматривать как абсурдное, и его часто называют абсурдом.
В булевой логике каждая переменная обозначает значение истинности , которое может быть либо истинным (1), либо ложным (0).
В классическом исчислении высказываний каждому предложению будет присвоено истинное или ложное значение. Некоторые системы классической логики включают специальные символы для ложных значений (0 или ), в то время как другие вместо этого полагаются на такие формулы, как p ∧ ¬ p и ¬( p → p ) .
И в булевой логике, и в классической логике истинное и ложное противоположны по отношению к отрицанию ; отрицание ложного дает истину, а отрицание истины дает ложь.
Отрицание ложного эквивалентно истине не только в классической логике и булевой логике, но и в большинстве других логических систем, как объясняется ниже.
В большинстве логических систем отрицание , материальное условное и ложное соотносятся как:
Фактически, это определение отрицания в некоторых системах, [8] таких как интуиционистская логика , и оно может быть доказано в исчислении высказываний, где отрицание является фундаментальной связкой. Поскольку p → p обычно является теоремой или аксиомой, следствием этого является то, что отрицание ложного ( ¬ ⊥ ) истинно.
Противоречие — это ситуация, которая возникает, когда оказывается , что утверждение , которое считается истинным, влечет за собой ложное (т. е. φ ⊢ ⊥ ). Используя приведенную выше эквивалентность, тот факт, что φ является противоречием, может быть получен, например, из ⊢ ¬φ . Утверждение, которое само по себе влечет за собой ложь, иногда называют противоречием, а противоречия и ложь иногда не различают, особенно из-за того, что в английском языке для обозначения того и другого используется латинский термин falsum , но ложь — это одно конкретное суждение .
Логические системы могут содержать или не содержать принцип взрыва ( ex falso quodlibet на латыни ), ⊥ ⊢ φ для всех φ . По этому принципу противоречия и ложь эквивалентны, поскольку одно влечет за собой другое.
Формальная теория , использующая связку " ", считается непротиворечивой тогда и только тогда, когда среди ее теорем нет ложных . При отсутствии пропозициональных констант вместо них можно использовать некоторые заменители (например, описанные выше) для определения непротиворечивости.
