Логическое следствие

Связь между утверждениями, которые верны, когда одно логически вытекает из другого.

Логическое следствие (также следование ) — это фундаментальная концепция логики , которая описывает отношения между утверждениями , которые остаются истинными, когда одно утверждение логически следует из одного или нескольких утверждений. Действительным логическим аргументом является тот, в котором вывод вытекает из посылок , поскольку вывод является следствием посылок. Философский анализ логических последствий включает в себя вопросы: в каком смысле вывод следует из своих посылок? и что означает, что вывод является следствием посылок? ^[1] Вся философская логика предназначена для объяснения природы логических следствий и природы логической истины . ^[2]

Логическое следствие необходимо и формально , посредством примеров, объясняющих формальные доказательства и модели интерпретации . ^[1] Говорят, что предложение является логическим следствием набора предложений для данного языка тогда и только тогда , когда , используя только логику (т. е. без учета каких-либо личных интерпретаций предложений), предложение должно быть истинным, если каждое предложение в наборе истинно. ^[3]

Логики делают точные описания логических последствий относительно данного языка , либо создавая дедуктивную систему для языка , либо формальную предполагаемую семантику языка . Польский логик Альфред Тарский выделил три особенности адекватной характеристики следствия: (1) Отношение логического следствия опирается на логическую форму предложений: (2) Отношение является априорным , т. е. оно может быть определено с учетом или без него. к эмпирическим данным (чувственному опыту); и (3) отношение логического следствия имеет модальный компонент. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Официальные счета

Наиболее широко преобладающим взглядом на то, как лучше всего объяснить логические последствия, является обращение к формальности. Это означает, что то, следуют ли утверждения друг из друга логически, зависит от структуры или логической формы утверждений, независимо от содержания этой формы.

Синтаксические объяснения логических последствий основаны на схемах , использующих правила вывода . Например, мы можем выразить логическую форму допустимого аргумента как:

Все X есть Y

Все Y есть Z

Следовательно, все X есть Z.

Этот аргумент формально действителен, поскольку действителен каждый экземпляр аргументов, построенных с использованием этой схемы.

Это контрастирует с аргументом типа «Фред — сын брата Майка. Следовательно, Фред — племянник Майка». Поскольку этот аргумент зависит от значений слов «брат», «сын» и «племянник», утверждение «Фред — племянник Майка» является так называемым материальным следствием утверждения «Фред — сын брата Майка», а не формальным последствие. Формальное следствие должно быть истинным во всех случаях , однако это неполное определение формального следствия, поскольку даже аргумент « P — сын брата Q , следовательно, P — племянник Q » действителен во всех случаях, но не является формальный аргумент . ^[1]

Априорное свойство логического следствия

Если известно, что логически следует из , то никакая информация о возможных интерпретациях не повлияет на это знание. На наше знание, которое является логическим следствием, не может повлиять эмпирическое знание . ^[1] Дедуктивно достоверные аргументы могут быть признаны таковыми без обращения к опыту, поэтому они должны быть познаваемы априори. ^[1] Однако сама по себе формальность не гарантирует, что эмпирические знания не влияют на логическое следствие. Таким образом, априорное свойство логической последовательности считается независимым от формальности. ^[1] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Доказательства и модели

Два преобладающих метода объяснения логических последствий включают выражение концепции в терминах доказательств и с помощью моделей . Изучение синтаксического следствия (логики) называется (ее) теорией доказательства , тогда как изучение (ее) семантического следствия называется (ее) теорией моделей . ^[4]

Синтаксическое следствие

Формула — это синтаксическое следствие ^[5] [ ^{6] [7] [8] [9]} внутри некоторой формальной системы набора формул, если существует формальное доказательство из множества . Это обозначается . Символ турникета был первоначально введен Фреге в 1879 году, но в настоящее время его использование восходит только к Россеру и Клини (1934–1935). ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A}$ ${\displaystyle \vdash }$

Синтаксическое следствие не зависит от какой-либо интерпретации формальной системы. ^[10]

Семантическое следствие

Формула является семантическим следствием внутри некоторой формальной системы набора утверждений тогда и только тогда, когда не существует модели, в которой все члены истинны и ложны. ^[11] Обозначается . Другими словами, набор интерпретаций, которые делают все члены истинными, является подмножеством множества интерпретаций, которые делают истинными. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {FS}}A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Модальные аккаунты

Модальные объяснения логических последствий представляют собой вариации следующей основной идеи:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$истинно тогда и только тогда, когда необходимо , чтобы все элементы истинно, тогда оно истинно. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Альтернативно (и, большинство сказали бы, эквивалентно):

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$истинно тогда и только тогда, когда все элементы не могут быть истинными и ложными. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Такие объяснения называются «модальными», поскольку они апеллируют к модальным понятиям логической необходимости и логической возможности . «Необходимо, чтобы» часто выражается как универсальный квантор возможных миров , так что приведенные выше утверждения переводятся как:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$истинно тогда и только тогда, когда не существует возможного мира, в котором все элементы истинны и ложны (неверны). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Рассмотрим модальный счет с точки зрения аргумента, приведенного в качестве примера выше:

Все лягушки зеленые.

Кермит — лягушка.

Следовательно, Кермит зеленый.

Заключение является логическим следствием предпосылок, поскольку мы не можем представить себе возможный мир, в котором (а) все лягушки зеленые; (б) Кермит — лягушка; и (c) Кермит не зеленый.

Модально-формальные счета

Модально-формальные описания логических последствий объединяют модальные и формальные объяснения, приведенные выше, давая вариации следующей основной идеи:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$тогда и только тогда, когда аргумент, имеющий ту же логическую форму, что и /, не может иметь истинные посылки и ложный вывод. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Счета на основе варранта

Все рассмотренные выше теории «сохраняют истину», поскольку все они предполагают, что характерной чертой хорошего вывода является то, что он никогда не позволяет перейти от истинных посылок к ложному заключению. В качестве альтернативы некоторые предложили теорию « гарантийного сохранения», согласно которой характерной чертой хорошего вывода является то, что он никогда не позволяет перейти от обоснованно утверждаемых посылок к заключению, которое не является обоснованно утверждаемым. Это (приблизительно) точка зрения, которой отдают предпочтение такие интуиционисты , как Майкл Даммет .

Немонотонное логическое следствие

Все рассмотренные выше объяснения дают монотонные отношения следствий, т.е. такие, что если является следствием , то является следствием любого надмножества . Также возможно указать немонотонные отношения следствий, чтобы уловить идею о том, что, например, «Твити может летать» является логическим следствием ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$

{Птицы обычно умеют летать, Твити — птица}

но не из

{Птицы обычно умеют летать, Твити — птица, Твити — пингвин}.

Смотрите также

• Абстрактная алгебраическая логика
• Амфек
• Булева алгебра (логика)
• Логический домен
• Булева функция
• Булева логика
• Причинность
• Дедуктивное мышление
• Логический вентиль
• Логический график
• Закон Пирса
• Вероятностная логика
• Пропозициональное исчисление
• Единственный достаточный оператор
• Строгое условное
• Тавтология (логика)
• Тавтологическое следствие
• Поэтому подпишите
• Турникет (символ)
• Двойной турникет
• Период действия

Примечания

1. Билл, Дж. К. и Рестолл, Грег, Логические последствия. Стэнфордская энциклопедия философии (выпуск осенью 2009 г.), Эдвард Н. Залта (ред.).
2. Куайн, Уиллард Ван Орман , Философия логики .
3. МакКеон, Мэтью , Интернет-энциклопедия философии «Логические последствия» .
4. Коста Досен (1996). «Логическое следствие: поворот в стиле». В Марии Луизе Далла Кьяра ; Кес Доэтс; Даниэле Мундичи; Йохан ван Бентем (ред.). Логика и научные методы: первый том Десятого Международного конгресса по логике, методологии и философии науки, Флоренция, август 1995 г. Спрингер. п. 292. ИСБН 978-0-7923-4383-7.
5. Даммет, Майкл (1993) философия языка издательства Гарвардского университета, стр.82ff.
6. Лир, Джонатан (1986) и логическая теория издательства Кембриджского университета, 136 стр.
7. Крит, Ричард, и Фридман, Майкл (2007) Кембриджский партнер издательства Carnap Cambridge University Press, 371 стр.
8. FOLDOC: «синтаксическое последствие». Архивировано 3 апреля 2013 г. в Wayback Machine.
9. SC Kleene, Введение в метаматематику (1952), Van Nostrand Publishing. стр.88.
10. Хантер, Джеффри , Металогика: введение в метатеорию стандартной логики первого порядка, University of California Press, 1971, стр. 75.
11. Этчеменди, Джон , Логическое следствие , Кембриджский философский словарь.

Ресурсы

• Андерсон, Арканзас; Белнап, Н.Д. младший (1975), Entailment , vol. 1, Принстон, Нью-Джерси: Принстон.
• Аугусто, Луис М. (2017), Логические последствия. Теория и приложения: Введение.Лондон: Публикации колледжа. Серия: Математическая логика и основания.
• Барвайз, Джон ; Этчеменди, Джон (2008), Язык, доказательство и логика , Стэнфорд: публикации CSLI..
• Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булево рассуждение: логика булевых уравнений1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Норвелл, Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications, Минеола, Нью-Йорк, 2003 г.
• Дэвис, Мартин, изд. (1965), Неразрешимое, Основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых проблемах и вычислимых функциях, Нью-Йорк: Raven Press, ISBN 9780486432281. В число статей входят работы Гёделя , Чёрча , Россера , Клини и Поста .
• Даммет, Майкл (1991), Логическая основа метафизики, издательство Гарвардского университета, ISBN 9780674537866.
• Эджингтон, Дороти (2001), Условные обозначения , Блэквеллв Лу Гобле (редактор), «Руководство Блэквелла по философской логике ».
• Эджингтон, Дороти (2006), «Индикативные условные обозначения», Условные обозначения , Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университетв Эдварде Н. Залте (ред.), Стэнфордской энциклопедии философии .
• Этчеменди, Джон (1990), Концепция логического следствия , издательство Гарвардского университета.
• Гобл, Лу, изд. (2001), Путеводитель Блэквелла по философской логике , Блэквелл.
• Хэнсон, Уильям Х (1997), «Концепция логического следствия», The Philosophical Review , 106 (3): 365–409, doi : 10.2307/2998398, JSTOR  2998398365–409.
• Хендрикс, Винсент Ф. (2005), Разговор «Мысль 2: ускоренный курс размышлений и выражения» , Нью-Йорк: Автоматическая пресса / VIP, ISBN 978-87-991013-7-5
• Планшетт, Пенсильвания (2001), Логическое следствиев изд. Гобла Лу, « Руководство Блэквелла по философской логике ». Блэквелл.
• Куайн, Западная Вирджиния (1982), Методы логики , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.(1-е изд. 1950 г.), (2-е изд. 1959 г.), (3-е изд. 1972 г.), (4-е издание, 1982 г.).
• Шапиро, Стюарт (2002), Необходимость, значение и рациональность: понятие логического следствияв изд. Д. Жакетта, «Спутник философской логики» . Блэквелл.
• Тарский, Альфред (1936), О концепции логического следствияПерепечатано Тарским А., 1983. Логика, семантика, метаматематика , 2-е изд. Издательство Оксфордского университета . Первоначально опубликовано на польском и немецком языках .
• Рышард Войчицкий (1988). Теория логических исчислений: основная теория последовательных операций . Спрингер. ISBN 978-90-277-2785-5.
• Статья о «выводах» с сайта math.niu.edu, «Выводы», заархивировано 21 октября 2014 г. в Wayback Machine.
• Определение «неявных» AllWords

Внешние ссылки

• Билл, Джей-Си ; Рестолл, Грег (19 ноября 2013 г.). «Логическое следствие». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2016 г.).
• «Логическое следствие». Интернет-энциклопедия философии .
• Логическое следствие в проекте онтологии философии Индианы
• Логическое следствие в PhilPapers
• «Импликация», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]