Локальный гомеоморфизм

Математическая функция, обратимая вблизи каждой точки

В математике , а точнее топологии , локальный гомеоморфизм — это функция между топологическими пространствами , которая интуитивно сохраняет локальную (хотя и не обязательно глобальную) структуру. Если — локальный гомеоморфизм, то говорят, что это этальное пространство над Локальные гомеоморфизмы используются при изучении пучков . Типичными примерами локальных гомеоморфизмов являются накрывающие отображения . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Топологическое пространство локально гомеоморфно , если каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству . Например, многообразие размерности локально гомеоморфно ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Если есть локальный гомеоморфизм из в то локально гомеоморфно в но обратное не всегда верно. Например, двумерная сфера , будучи многообразием, локально гомеоморфна плоскости но локального гомеоморфизма нет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.}$

Формальное определение

Функция между двумя топологическими пространствами называется локальным гомеоморфизмом ^[1] , если каждая точка имеет открытую окрестность , образ которой открыт в , а ограничение является гомеоморфизмом (где соответствующие топологии подпространства используются на и на ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(U)}$

Примеры и достаточные условия

Локальные гомеоморфизмы против гомеоморфизмов

Каждый гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом. Но локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен . Локальный гомеоморфизм не обязательно должен быть гомеоморфизмом. Например, функция , определяемая (так что геометрически это отображение оборачивает действительную прямую вокруг окружности ), является локальным гомеоморфизмом, но не гомеоморфизмом. Отображение, определяемое , которое оборачивает окружность вокруг себя раз (то есть имеет число оборотов ), является локальным гомеоморфизмом для всех ненулевых, но является гомеоморфизмом только тогда, когда оно биективно (то есть только тогда, когда или ). ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=-1}$

Обобщая предыдущие два примера, каждое накрывающее отображение является локальным гомеоморфизмом; в частности, универсальное накрытие пространства является локальным гомеоморфизмом. В некоторых ситуациях верно и обратное. Например: если является собственным локальным гомеоморфизмом между двумя хаусдорфовыми пространствами и если также является локально компактным , то является накрывающим отображением. ${\displaystyle p:C\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$

Локальные гомеоморфизмы и композиция функций

Композиция двух локальных гомеоморфизмов является локальным гомеоморфизмом; явно, если и являются локальными гомеоморфизмами, то композиция также является локальным гомеоморфизмом. Ограничение локального гомеоморфизма на любое открытое подмножество области снова будет локальным гомоморфизмом; явно, если является локальным гомеоморфизмом , то его ограничение на любое открытое подмножество также является локальным гомеоморфизмом. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Если является непрерывным, а оба являются локальными гомеоморфизмами, то является также локальным гомеоморфизмом. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle f}$

Карты включения

Если — любое подпространство (где, как обычно, снабжено топологией подпространства, индуцированной ), то отображение включения всегда является топологическим вложением . Но оно является локальным гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда открыто в Открытость подмножества в необходима для отображения включения, чтобы быть локальным гомеоморфизмом, поскольку отображение включения не открытого подмножества никогда не даст локального гомеоморфизма (поскольку оно не будет открытым отображением). ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:U\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ограничение функции на подмножество явно равно ее композиции с отображением включения . Поскольку композиция двух локальных гомеоморфизмов является локальным гомеоморфизмом, то если и являются локальными гомоморфизмами, то также является Таким образом, ограничения локальных гомеоморфизмов на открытые подмножества являются локальными гомеоморфизмами. ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle i:U\to X;}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle i:U\to X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}$

Инвариантность домена

Инвариантность области гарантирует, что если — непрерывное инъективное отображение из открытого подмножества , то открыто в и является гомеоморфизмом . Следовательно, непрерывное отображение из открытого подмножества будет локальным гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно является локально инъективным отображением (то есть каждая точка в имеет окрестность такую, что ограничение на является инъективным). ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to f(U)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$

Локальные гомеоморфизмы в анализе

В комплексном анализе показано , что комплексная аналитическая функция (где — открытое подмножество комплексной плоскости ) является локальным гомеоморфизмом именно тогда, когда производная отлична от нуля для всех Функция на открытом круге вокруг не является локальным гомеоморфизмом в точке , когда В этом случае — точка « разветвления » (интуитивно, там листы сходятся). ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f^{\prime }(z)}$ ${\displaystyle z\in U.}$ ${\displaystyle f(x)=z^{n}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$

Используя теорему об обратной функции, можно показать, что непрерывно дифференцируемая функция (где — открытое подмножество ) является локальным гомеоморфизмом, если производная является обратимым линейным отображением (обратимой квадратной матрицей) для любого (Обратное неверно, как показывает локальный гомеоморфизм с ). Аналогичное условие можно сформулировать для отображений между дифференцируемыми многообразиями . ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D_{x}f}$ ${\displaystyle x\in U.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

Локальные гомеоморфизмы и волокна

Предположим, что есть непрерывная открытая сюръекция между двумя хаусдорфовыми пространствами со счетной второй степенью , где есть пространство Бэра и есть нормальное пространство . Если каждое волокно из является дискретным подпространством из (что является необходимым условием для того, чтобы быть локальным гомеоморфизмом), то является -значным локальным гомеоморфизмом на плотном открытом подмножестве из Чтобы прояснить вывод этого утверждения, пусть будет (единственным) наибольшим открытым подмножеством из , таким что является локальным гомеоморфизмом. ^{[примечание 1]} Если каждое волокно из является дискретным подпространством из , то это открытое множество обязательно является плотным подмножеством из В частности, если то заключение, которое может быть ложным без предположения, что волокна являются дискретными (см. эту сноску ^{[примечание 2]} для примера). Одно из следствий состоит в том, что каждое непрерывное открытое сюръекция между полностью метризуемыми пространствами со счетной второй степенью, имеющими дискретные волокна, является «почти всюду» локальным гомеоморфизмом (в топологическом смысле, который является плотным открытым подмножеством своей области). Например, отображение, определяемое многочленом, является непрерывной открытой сюръекцией с дискретными волокнами, поэтому этот результат гарантирует, что максимальное открытое подмножество плотно в с дополнительными усилиями (например, с использованием теоремы об обратной функции ) можно показать, что что подтверждает, что это множество действительно плотно в Этот пример также показывает, что возможно для быть собственным плотным подмножеством области определения '. Поскольку каждое волокно каждого непостоянного многочлена является конечным (и, следовательно, дискретным и даже компактным подпространством), этот пример обобщается на такие многочлены всякий раз, когда отображение, индуцированное им, является открытым отображением. ^{[примечание 3]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{O}:O\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle O\neq \varnothing ;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle O_{f}=\mathbb {R} \setminus \{0\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Локальные гомеоморфизмы и хаусдорфовость

Существуют локальные гомеоморфизмы , где является хаусдорфовым пространством , но не является. Рассмотрим, например, факторпространство , где отношение эквивалентности на непересекающемся объединении двух копий вещественных чисел отождествляет каждое отрицательное вещественное число первой копии с соответствующим отрицательным вещественным числом второй копии. Две копии не отождествляются и не имеют непересекающихся окрестностей, поэтому не является хаусдорфовым. Легко проверить, что естественное отображение является локальным гомеоморфизмом. Волокно имеет два элемента, если и один элемент, если Аналогично, можно построить локальный гомеоморфизм , где является хаусдорфовым, а не является: выберите естественное отображение из в с тем же отношением эквивалентности, что и выше. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle y<0.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim }$ ${\displaystyle \sim }$

Характеристики

Отображение является локальным гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно непрерывно , открыто и локально инъективно . В частности, каждый локальный гомеоморфизм является непрерывным и открытым отображением . Следовательно, биективный локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом.

Является ли функция локальным гомеоморфизмом или нет, зависит от ее области значений. Образ локального гомеоморфизма обязательно является открытым подмножеством своей области значений и также будет локальным гомеоморфизмом (то есть будет продолжать быть локальным гомеоморфизмом, когда он рассматривается как сюръективное отображение на свой образ, где имеет топологию подпространства, унаследованную от ). Однако, в общем случае возможно, чтобы быть локальным гомеоморфизмом, но не быть локальным гомеоморфизмом (как в случае с отображением, определенным, например, с помощью ). Отображение является локальным гомоморфизмом тогда и только тогда, когда является локальным гомеоморфизмом и является открытым подмножеством ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=(x,0),}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$

Каждое волокно локального гомеоморфизма является дискретным подпространством своей области определения. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X.}$

Локальный гомеоморфизм переносит «локальные» топологические свойства в обоих направлениях: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle X}$локально связно тогда и только тогда, когда есть; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$является локально линейно связным тогда и только тогда, когда является; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$локально компактен тогда и только тогда, когда ; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$удовлетворяет первой аксиоме счетности тогда и только тогда, когда является. ${\displaystyle f(X)}$

Как указывалось выше, свойство Хаусдорфа не является локальным в этом смысле и не должно сохраняться при локальных гомеоморфизмах.

Локальные гомеоморфизмы с областью значений находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с пучками множеств на этом соответствии, которое на самом деле является эквивалентностью категорий . Более того, каждое непрерывное отображение с областью значений естественным образом порождает однозначно определенный локальный гомеоморфизм с областью значений . Все это подробно объясняется в статье о пучках . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Обобщения и аналогичные понятия

Идея локального гомеоморфизма может быть сформулирована в геометрических условиях, отличных от топологических пространств. Для дифференцируемых многообразий мы получаем локальные диффеоморфизмы ; для схем мы имеем формально этальные морфизмы и этальные морфизмы ; а для топосов мы получаем этальные геометрические морфизмы.

Смотрите также

• Диффеоморфизм  – Изоморфизм дифференцируемых многообразий
• Гомеоморфизм  — отображение, сохраняющее все топологические свойства данного пространства.
• Изоморфизм  — в математике обратимый гомоморфизм.
• Инвариантность области определения  – Теорема топологии о гомеоморфных подмножествах евклидова пространства
• Локальный диффеоморфизм
• Локально Хаусдорфово пространство
• Нехаусдорфово многообразие  – обобщение многообразийPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. Предположения о непрерывности и открытости подразумевают, что множество равно объединению всех открытых подмножеств таких , что ограничение является инъективным отображением . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$
2. Рассмотрим непрерывную открытую сюръекцию, определяемую следующим образом : Множество для этого отображения является пустым множеством; то есть не существует непустого открытого подмножества , для которого ограничение является инъективным отображением. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)=x.}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to \mathbb {R} }$
3. И даже если полиномиальная функция не является открытой картой, то эта теорема, тем не менее, может быть применена (возможно, многократно) к ограничениям функции на надлежащим образом выбранные подмножества области определения (на основе рассмотрения локальных минимумов/максимумов карты).

Цитаты

1. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.