В математике говорят, что математический объект удовлетворяет свойству локально , если свойство выполняется на некоторых ограниченных, непосредственных участках объекта (например, на некоторых достаточно малых или произвольно малых окрестностях точек).
Возможно, наиболее известным примером идеи локальности является концепция локального минимума (или локального максимума ), которая является точкой функции, функциональное значение которой является наименьшим (соответственно, наибольшим) в непосредственной близости от точек. [1] Это следует противопоставить идее глобального минимума (или глобального максимума), которая соответствует минимуму (соответственно, максимуму) функции по всей ее области определения. [2] [3]
Иногда говорят, что топологическое пространство проявляет свойство локально , если свойство проявляется «вблизи» каждой точки одним из следующих способов:
Здесь следует отметить, что условие (2) по большей части сильнее условия (1), и что следует проявлять особую осторожность, чтобы различать их. Например, некоторые различия в определении локальной компактности могут возникнуть в результате различного выбора этих условий.
При наличии некоторого понятия эквивалентности (например, гомеоморфизма , диффеоморфизма , изометрии ) между топологическими пространствами два пространства называются локально эквивалентными, если каждая точка первого пространства имеет окрестность, эквивалентную окрестности второго пространства.
Например, окружность и линия — это совершенно разные объекты. Нельзя растянуть окружность так, чтобы она выглядела как линия, и сжать линию так, чтобы она поместилась на окружности без зазоров и наложений. Однако небольшой участок окружности можно растянуть и сделать плоским, чтобы он выглядел как небольшой участок линии. По этой причине можно сказать, что окружность и линия локально эквивалентны.
Аналогично, сфера и плоскость локально эквивалентны. Достаточно маленький наблюдатель, стоящий на поверхности сферы (например, человек и Земля), счел бы ее неотличимой от плоскости.
Для бесконечной группы «малая окрестность» принимается за конечно порожденную подгруппу . Говорят, что бесконечная группа локально P, если каждая конечно порожденная подгруппа является P. Например, группа локально конечна , если каждая конечно порожденная подгруппа конечна, и группа локально разрешима, если каждая конечно порожденная подгруппа разрешима .
Для конечных групп "малая окрестность" берется как подгруппа, определяемая в терминах простого числа p , обычно локальные подгруппы , нормализаторы нетривиальных p -подгрупп . В этом случае свойство называется локальным, если его можно обнаружить из локальных подгрупп. Глобальные и локальные свойства составили значительную часть ранней работы по классификации конечных простых групп , которая была выполнена в 1960-х годах.
Для коммутативных колец идеи алгебраической геометрии делают естественным принятие «малой окрестности» кольца в качестве локализации в простом идеале . В этом случае свойство называется локальным, если его можно обнаружить из локальных колец . Например, быть плоским модулем над коммутативным кольцом является локальным свойством, но быть свободным модулем — нет. Подробнее см. Локализация модуля .