Уравнения Лондона

Электромагнитные уравнения, описывающие сверхпроводники

Когда температура материала падает ниже критической температуры сверхпроводимости, магнитные поля внутри материала вытесняются посредством эффекта Мейсснера . Уравнения Лондона дают количественное объяснение этого эффекта.

Уравнения Лондонов, разработанные братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами в 1935 году, ^[1] являются определяющими соотношениями для сверхпроводника, связывающими его сверхпроводящий ток с электромагнитными полями внутри и вокруг него. В то время как закон Ома является простейшим определяющим соотношением для обычного проводника , уравнения Лондонов являются простейшим содержательным описанием сверхпроводящих явлений и формируют генезис почти любого современного вводного текста по этому предмету. ^{[2] [3] [4]} Главным триумфом уравнений является их способность объяснять эффект Мейсснера , ^[5] при котором материал экспоненциально вытесняет все внутренние магнитные поля при пересечении порога сверхпроводимости.

Описание

Существуют два уравнения Лондонов, выраженные в терминах измеримых полей:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{\rm {s}}}{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

Здесь — плотность (сверхпроводящего) тока , E и B — соответственно электрическое и магнитное поля внутри сверхпроводника, — заряд электрона или протона, — масса электрона, а — феноменологическая константа, слабо связанная с плотностью числа сверхпроводящих носителей. ^[6] ${\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {s}}}$ ${\displaystyle e\,}$ ${\displaystyle m\,}$ ${\displaystyle n_{\rm {s}}\,}$

Два уравнения можно объединить в одно «уравнение Лондона» ^{[6] [7]} в терминах конкретного векторного потенциала , калибровка которого привязана к «калибровке Лондона», что дает: ^[8] ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}.}$

В лондонской калибровке векторный потенциал подчиняется следующим требованиям, что гарантирует его интерпретацию как плотности тока: ^[9]

• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} _{\rm {s}}=0,}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=0}$в объеме сверхпроводника,
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0,}$где — нормальный вектор на поверхности сверхпроводника. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

Первое требование, также известное как условие калибровки Кулона , приводит к постоянной плотности сверхпроводящих электронов , как и ожидалось из уравнения непрерывности. Второе требование согласуется с тем фактом, что сверхток течет вблизи поверхности. Третье требование гарантирует отсутствие накопления сверхпроводящих электронов на поверхности. Эти требования устраняют всю свободу калибровки и однозначно определяют векторный потенциал. Можно также записать уравнение Лондона в терминах произвольной калибровки ^[10], просто определив , где — скалярная функция, а — изменение калибровки, которое сдвигает произвольную калибровку к калибровке Лондона. Выражение векторного потенциала справедливо для магнитных полей, которые медленно меняются в пространстве. ^[4] ${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {s}}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=(\mathbf {A} +\nabla \phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla \phi }$

Глубина проникновения Лондона

Если второе уравнение Лондона преобразовать, применив закон Ампера , ^[11]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} }$,

тогда его можно преобразовать в уравнение Гельмгольца для магнитного поля:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

где обратное собственное значение лапласиана :

${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}\equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$

— характерный масштаб длины , на котором внешние магнитные поля экспоненциально подавляются: он называется лондонской глубиной проникновения : типичные значения составляют от 50 до 500 нм . ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}}$

Например, рассмотрим сверхпроводник в свободном пространстве, где магнитное поле снаружи сверхпроводника является постоянной величиной, направленной параллельно сверхпроводящей граничной плоскости в направлении z . Если x ведет перпендикулярно границе, то можно показать, что решение внутри сверхпроводника будет

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

Отсюда, пожалуй, легче всего понять физический смысл глубины проникновения Лондона.

Обоснование

Оригинальные аргументы

Хотя важно отметить, что приведенные выше уравнения не могут быть выведены формально, ^[12] Лондоны следовали определенной интуитивной логике при формулировании своей теории. Вещества в потрясающе широком диапазоне составов ведут себя примерно в соответствии с законом Ома , который гласит, что ток пропорционален электрическому полю. Однако такая линейная зависимость невозможна в сверхпроводнике, поскольку, почти по определению, электроны в сверхпроводнике текут без какого-либо сопротивления. С этой целью братья Лондоны представили себе электроны так, как если бы они были свободными электронами под воздействием однородного внешнего электрического поля. Согласно закону силы Лоренца

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\dot {\mathbf {v} }}=-e\mathbf {E} -e\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

эти электроны должны столкнуться с однородной силой, и, таким образом, они должны фактически ускоряться равномерно. Предположим, что электроны в сверхпроводнике теперь движутся электрическим полем, тогда согласно определению плотности тока мы должны иметь ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}=-n_{\rm {s}}e{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} }$

Это первое уравнение Лондона. Чтобы получить второе уравнение, возьмите ротор первого уравнения Лондона и примените закон Фарадея ,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$,

чтобы получить

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} \right)=0.}$

В его нынешнем виде это уравнение допускает как постоянные, так и экспоненциально затухающие решения. Лондоны поняли из эффекта Мейсснера, что постоянные ненулевые решения нефизичны, и таким образом постулировали, что не только производная по времени вышеприведенного выражения равна нулю, но и что выражение в скобках должно быть тождественно равно нулю:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$

Это приводит ко второму уравнению Лондона и (с точностью до калибровочного преобразования, которое фиксируется выбором «калибровки Лондона»), поскольку магнитное поле определяется через ${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle B=\nabla \times A_{\rm {s}}.}$

Кроме того, согласно закону Ампера , можно вывести, что: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \times \mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

С другой стороны, поскольку , то имеем , что приводит к тому, что пространственное распределение магнитного поля подчиняется : ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

с глубиной проникновения . В одном измерении такое уравнение Гельмгольца имеет вид решения ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}={\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$ ${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

Внутри сверхпроводника магнитное поле экспоненциально затухает, что хорошо объясняет эффект Мейсснера. С распределением магнитного поля мы можем снова использовать закон Ампера, чтобы увидеть, что сверхток также течет вблизи поверхности сверхпроводника, как и ожидалось из требования интерпретации как физического тока. ${\displaystyle (x>0)}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$

Хотя приведенное выше обоснование справедливо для сверхпроводника, можно также рассуждать таким же образом для идеального проводника. Однако один важный факт, который отличает сверхпроводник от идеального проводника, заключается в том, что идеальный проводник не демонстрирует эффект Мейсснера для . Фактически, постулат не справедлив для идеального проводника. Вместо этого производная по времени должна быть сохранена и не может быть просто удалена. Это приводит к тому, что производная по времени поля (вместо поля) подчиняется: ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Для , глубоко внутри идеального проводника мы имеем , а не как сверхпроводник. Следовательно, исчезнет ли магнитный поток внутри идеального проводника, зависит от начального состояния (охлаждается ли он в нулевом поле или нет). ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =0}$

Канонические аргументы импульса

Также возможно обосновать уравнения Лондонов другими способами. ^{[13] [14]} Плотность тока определяется согласно уравнению

${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}.}$

Переводя это выражение из классического описания в квантово-механическое, мы должны заменить значения и на ожидаемые значения их операторов. Оператор скорости ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} +e\mathbf {A} _{\rm {s}}\right)}$

определяется делением калибровочно-инвариантного кинематического оператора импульса на массу частицы m . ^[15] Обратите внимание, что мы используем в качестве заряда электрона. Затем мы можем сделать эту замену в уравнении выше. Однако важное предположение из микроскопической теории сверхпроводимости состоит в том, что сверхпроводящее состояние системы является основным состоянием, и согласно теореме Блоха ^[16] в таком состоянии канонический импульс p равен нулю. Это оставляет ${\displaystyle -e}$

${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}},}$

что является уравнением Лондона согласно второй формуле выше.

Ссылки

1. Лондон, Ф. ; Лондон, Х. (1935). "Электромагнитные уравнения сверхпроводника". Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 149 (866): 71. Bibcode :1935RSPSA.149...71L. doi : 10.1098/rspa.1935.0048 .
2. Майкл Тинкхэм (1996). Введение в сверхпроводимость . McGraw-Hill. ISBN 0-07-064878-6.
3. Нил Эшкрофт ; Дэвид Мермин (1976). Физика твердого тела . Saunders College. стр. 738. ISBN 0-03-083993-9.
4. Чарльз Киттель (2005). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Wiley. ISBN 0-471-41526-X.
5. Мейснер, В.; Р. Оксенфельд (1933). «Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit». Naturwissenschaften . 21 (44): 787. Бибкод : 1933NW.....21..787M. дои : 10.1007/BF01504252. S2CID  37842752.
6. Джеймс Ф. Аннетт (2004). Сверхпроводимость, сверхтекучесть и конденсаты . Оксфорд. стр. 58. ISBN 0-19-850756-9.
7. Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . John Wiley & Sons. стр. 604. ISBN 0-19-850756-9.
8. Лондон, Ф. (1 сентября 1948 г.). «К проблеме молекулярной теории сверхпроводимости». Physical Review . 74 (5): 562–573. Bibcode : 1948PhRv...74..562L. doi : 10.1103/PhysRev.74.562.
9. Майкл Тинкхэм (1996). Введение в сверхпроводимость . McGraw-Hill. стр. 6. ISBN 0-07-064878-6.
10. Бардин, Дж. (1 февраля 1951 г.). «Выбор калибровки в подходе Лондона к теории сверхпроводимости». Physical Review . 81 (3): 469–470. Bibcode :1951PhRv...81..469B. doi :10.1103/PhysRev.81.469.2.
11. (Смещение игнорируется, поскольку предполагается, что электрическое поле медленно меняется со временем, а этот член уже подавлен множителем c .)
12. Майкл Тинкхэм (1996). Введение в сверхпроводимость . McGraw-Hill. стр. 5. ISBN 0-07-064878-6.
13. Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . John Wiley & Sons. стр. 603–604. ISBN 0-19-850756-9.
14. Майкл Тинкхэм (1996). Введение в сверхпроводимость . McGraw-Hill. стр. 5–6. ISBN 0-07-064878-6.
15. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика — нерелятивистская теория . Баттерворт-Хайнеман. С. 455–458. ISBN 0-7506-3539-8.
16. Тинкхэм, стр. 5: «Эта теорема, по-видимому, неопубликована, хотя и известна».