Определяющее уравнение

Связь между двумя физическими величинами, специфичная для вещества.

В физике и технике материальное уравнение или материальное соотношение — это отношение между двумя физическими величинами (особенно кинетическими величинами, связанными с кинематическими величинами), которое специфично для материала или вещества и аппроксимирует реакцию этого материала на внешние стимулы, обычно как приложенные поля или силы . Они комбинируются с другими уравнениями, управляющими физическими законами , для решения физических проблем; например, в механике жидкости - течение жидкости в трубе , в физике твердого тела - реакция кристалла на электрическое поле, или в структурном анализе - связь между приложенными напряжениями или нагрузками и деформациями .

Некоторые определяющие уравнения являются просто феноменологическими ; другие вытекают из первых принципов . Обычное приближенное материальное уравнение часто выражается как простая пропорциональность с использованием параметра, который считается свойством материала, например, электропроводность или жесткость пружины . Однако часто необходимо учитывать зависимость материала от направления, и скалярный параметр обобщается до тензора . Определяющие соотношения также изменяются для учета скорости реакции материалов и их нелинейного поведения. ^[1] См. статью Функция линейного отклика .

Механические свойства материи

Первое материальное уравнение (определяющий закон) было разработано Робертом Гуком и известно как закон Гука . Рассматривается случай линейно-упругих материалов . После этого открытия широко использовался этот тип уравнения, часто называемый в этом примере «соотношением напряжения-деформации», но также называемый «определяющим предположением» или «уравнением состояния». Уолтер Нолл развил использование определяющих уравнений, уточнив их классификацию и роль требований инвариантности, ограничений и определений таких терминов, как «материал», «изотропный», «эолотропный» и т. д. Класс «определяющих соотношений» вида скорость напряжения = f (градиент скорости, напряжение, плотность) была предметом диссертации Уолтера Нолла в 1954 году под руководством Клиффорда Трусделла . ^[2]

В современной физике конденсированного состояния основное уравнение играет важную роль. См. Линейные определяющие уравнения и Нелинейные корреляционные функции . ^[3]

Определения

Деформация твердых тел

Трение

Трение – сложное явление. Макроскопически силу трения F между границей раздела двух материалов можно смоделировать как пропорциональную силе реакции R в точке контакта двух интерфейсов через безразмерный коэффициент трения μ _f , который зависит от пары материалов:

${\displaystyle F=\mu _{\text{f}}R.}$

Это может быть применено к статическому трению (трению, предотвращающему скольжение двух неподвижных объектов самостоятельно), кинетическому трению (трению между двумя объектами, скользящим друг по другу) или качению (сила трения, которая предотвращает скольжение, но вызывает возникновение крутящего момента на круглый предмет).

Стресс и напряжение

Определяющее соотношение напряжения и деформации для линейных материалов широко известно как закон Гука . В своей простейшей форме закон определяет константу пружины (или константу упругости) k в скалярном уравнении, утверждая, что сила растяжения/сжатия пропорциональна расширенному (или сжатому) смещению x :

${\displaystyle F_{i}=-kx_{i}}$

это означает, что материал реагирует линейно. Эквивалентно, через напряжение σ , модуль Юнга E и деформацию ε (безразмерный):

${\displaystyle \sigma =E\,\varepsilon }$

В общем, силы, деформирующие твердые тела, могут быть нормальными к поверхности материала (нормальные силы) или тангенциальными (силы сдвига). Это можно описать математически с помощью тензора напряжений :

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}}$

где C — тензор упругости , а S — тензор податливости .

Твердотельные деформации

Несколько классов деформаций в упругих материалах следующие: ^[4]

Пластик

Приложенная сила вызывает невосстановимые деформации материала, когда напряжение (или упругая деформация) достигает критической величины, называемой пределом текучести.

Эластичный

После деформации материал восстанавливает свою первоначальную форму.

вязкоупругий

Если зависящие от времени резистивные вклады велики, ими нельзя пренебрегать. Каучуки и пластмассы обладают этим свойством и, конечно, не удовлетворяют закону Гука. Фактически возникает упругий гистерезис.

Анэластик

Если материал близок к упругому, но приложенная сила вызывает дополнительные зависящие от времени силы сопротивления (т.е. зависят от скорости изменения растяжения/сжатия, помимо растяжения/сжатия). Этой характеристикой обладают металлы и керамика, но она обычно незначительна, хотя и не так велика, когда происходит нагрев из-за трения (например, при вибрации или сдвиговых напряжениях в машинах).

Гиперэластичный

Приложенная сила вызывает смещения в материале в соответствии с функцией плотности энергии деформации .

Столкновения

Относительная скорость отделения v _{отделения} объекта A после столкновения с другим объектом B связана с относительной скоростью сближения v _{сближения} коэффициентом восстановления , определяемым экспериментальным законом удара Ньютона : ^[5]

${\displaystyle e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separation}}}{|\mathbf {v} |_{\text{approach}}}}}$

который зависит от материалов, из которых сделаны A и B, поскольку столкновение включает взаимодействие на поверхностях A и B. Обычно 0 ≤ e ≤ 1 , в котором e = 1 для полностью упругих столкновений и e = 0 для полностью неупругих столкновений. . Возможно возникновение e ≥ 1 – при сверхупругих (или взрывных) столкновениях.

Деформация жидкостей

Уравнение сопротивления дает силу сопротивления D объекта площади поперечного сечения A, движущегося через жидкость плотностью ρ со скоростью v (относительно жидкости).

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}}$

где коэффициент сопротивления (безразмерный) c _d зависит от геометрии объекта и сил сопротивления на границе раздела жидкости и объекта.

Для ньютоновской жидкости вязкости μ напряжение сдвига τ линейно связано со скоростью деформации ( градиент скорости поперечного потока ) ∂ u / ∂ y (единицы с ⁻¹ ). В однородном сдвиговом потоке :

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},}$

где u ( y ) изменение скорости потока u в поперечном (поперечном) направлении y . В общем, для ньютоновской жидкости связь между элементами τij тензора сдвиговых напряжений и деформацией жидкости определяется _{выражением}

${\displaystyle \tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)}$  с и  ${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$    ${\displaystyle \Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,}$

где v _i — компоненты вектора скорости потока в соответствующих направлениях координат x _i , e _ij — компоненты тензора скорости деформации, Δ — объемная скорость деформации (или скорость дилатации) и δ _ij — дельта Кронекера . ^[6]

Закон идеального газа является определяющим соотношением в том смысле, что давление p и объем V связаны с температурой T через количество молей n газа:

${\displaystyle pV=nRT}$

где R — газовая постоянная (Дж⋅К ⁻¹ ⋅моль ⁻¹ ).

Электромагнетизм

Определяющие уравнения электромагнетизма и смежных областей

И в классической , и в квантовой физике точная динамика системы образует набор связанных дифференциальных уравнений , которые почти всегда слишком сложны, чтобы их можно было точно решить, даже на уровне статистической механики . В контексте электромагнетизма это замечание относится не только к динамике свободных зарядов и токов (входящих непосредственно в уравнения Максвелла), но и к динамике связанных зарядов и токов (входящих в уравнения Максвелла через определяющие соотношения). В результате обычно используются различные аппроксимационные схемы.

Например, в реальных материалах для определения временного и пространственного отклика зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана , уравнение Фоккера-Планка или уравнения Навье-Стокса . Например, см. Магнитогидродинамика , гидродинамика , электрогидродинамика , сверхпроводимость , моделирование плазмы . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., например, теорию линейного отклика , отношения Грина-Кубо и функцию Грина (теория многих тел) .

Эти сложные теории предоставляют подробные формулы для определяющих соотношений, описывающих электрический отклик различных материалов, таких как диэлектрическая проницаемость , проницаемость , проводимость и так далее.

Прежде чем проводить расчеты по электромагнетизму (т. е. применять макроскопические уравнения Максвелла), необходимо указать взаимосвязи между полями смещения D и E и магнитными H-полями H и B. Эти уравнения определяют реакцию связанного заряда и тока на приложенные поля и называются определяющими соотношениями.

Определение определяющей связи между вспомогательными полями D и H и полями E и B начинается с определения самих вспомогательных полей:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$

где P — поле поляризации , а M — поле намагничивания , которые определяются через микроскопические связанные заряды и связанный ток соответственно. Прежде чем перейти к расчету M и P , полезно рассмотреть следующие частные случаи.

Без магнитных или диэлектрических материалов

В отсутствие магнитных или диэлектрических материалов определяющие соотношения просты:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}$

где ε ₀ и µ ₀ — две универсальные константы, называемые диэлектрической проницаемостью свободного пространства и проницаемостью свободного пространства соответственно.

Изотропные линейные материалы

В ( изотропном ^[7] ) линейном материале, где P пропорционально E , а M пропорционально B , определяющие соотношения также просты. С точки зрения поляризации P и намагниченности M они таковы:

${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}$

где χ _e и χ _m — электрическая и магнитная восприимчивости данного материала соответственно. С точки зрения D и H определяющие отношения таковы:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}$

где ε и µ — константы (зависящие от материала), называемые диэлектрической проницаемостью и проницаемостью материала соответственно. Они связаны с восприимчивостью следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=\chi _{m}+1}$

Общий случай

Для реальных материалов определяющие отношения не являются линейными, за исключением приближенных. Вычисление определяющих отношений на основе первых принципов включает в себя определение того, как P и M создаются из данных E и B. ^{[примечание 1]} Эти отношения могут быть эмпирическими (основанными непосредственно на измерениях) или теоретическими (основанными на статистической механике , теории переноса или других инструментах физики конденсированного состояния ). Используемые детали могут быть макроскопическими или микроскопическими , в зависимости от уровня, необходимого для исследуемой проблемы.

В общем, определяющие соотношения обычно еще можно записать:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }$

но ε и µ , вообще говоря, не являются простыми константами, а, скорее, являются функциями E , B , положения и времени и имеют тензорный характер. Примеры:

• Дисперсия и поглощение , где ε и μ являются функциями частоты. (Причинность не позволяет материалам быть недисперсионными; см., например, соотношения Крамерса-Кронига .) Поля также не должны быть синфазными, что приводит к тому, что ε и μ являются комплексными . Это также приводит к поглощению.
• Нелинейность ,где ε и µ являются функциями E и B.
• Анизотропия (например, двойное лучепреломление или дихроизм ), которая возникает, когда ε и μ являются тензорами второго ранга,
  $${\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}$$
• Зависимость P и M от E и B в других местах и ​​времени. Это могло быть связано с пространственной неоднородностью ; например, в доменной структуре , гетероструктуре или жидком кристалле , или чаще всего в ситуации, когда просто несколько материалов занимают разные области пространства. Или это может быть связано с изменяющейся во времени средой или гистерезисом . В таких случаях P и M можно рассчитать как: ^{[8] [9]}
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}}$$
  в котором функции диэлектрической и магнитной проницаемостей заменены интегралами по более общим электрическим и магнитным восприимчивостям. ^[10] В однородных материалах зависимость от других мест известна как пространственная дисперсия .

В качестве вариации этих примеров, в целом материалы являются бианизотропными , где D и B зависят как от E , так и от H через дополнительные константы связи ξ и ζ : ^[11]

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}$

На практике некоторые свойства материалов оказывают незначительное влияние в определенных обстоятельствах, что позволяет пренебречь небольшими эффектами. Например: оптическими нелинейностями можно пренебречь при низкой напряженности поля; дисперсия материала не имеет значения, когда частота ограничена узкой полосой пропускания ; поглощением материала можно пренебречь для длин волн, для которых материал прозрачен; а металлы с конечной проводимостью часто аппроксимируются в микроволновом или более длинноволновом диапазоне как идеальные металлы с бесконечной проводимостью (образующие жесткие барьеры с нулевой глубиной проникновения поля).

Некоторые искусственные материалы, такие как метаматериалы и фотонные кристаллы, имеют индивидуальную диэлектрическую проницаемость и проницаемость.

Расчет определяющих отношений

Теоретический расчет материальных уравнений — распространенная, важная, а иногда и трудная задача в теоретической физике конденсированного состояния и материаловедении . В общем, материальные уравнения теоретически определяются путем расчета того, как молекула реагирует на локальные поля посредством силы Лоренца . Возможно, потребуется смоделировать и другие силы, такие как колебания решетки в кристаллах или силы связи. Учет всех сил приводит к изменениям в молекуле, которые используются для расчета P и M в зависимости от локальных полей.

Локальные поля отличаются от приложенных полей из-за полей, создаваемых поляризацией и намагниченностью близлежащего материала; эффект, который также необходимо смоделировать. Более того, реальные материалы не являются непрерывными носителями информации ; локальные поля реальных материалов сильно различаются в атомном масштабе. Поля необходимо усреднить по подходящему объему, чтобы сформировать континуальное приближение.

Эти приближения континуума часто требуют определенного типа квантово-механического анализа, такого как квантовая теория поля в применении к физике конденсированного состояния . См., например, теорию функционала плотности , отношения Грина–Кубо и функцию Грина .

Другой набор методов гомогенизации (развитый из традиции обработки таких материалов, как конгломераты и ламинаты ) основан на аппроксимации неоднородного материала однородной эффективной средой ^{[12] [13]} (справедливо для возбуждений с длинами волн , намного превышающими масштаб неоднородности). ^{[14] [15] [16] [17]}

Теоретическое моделирование свойств многих реальных материалов в континуальном приближении часто также опирается на экспериментальные измерения. ^[18] Например, ε изолятора на низких частотах можно измерить, превратив его в конденсатор с параллельными пластинами , а ε на частотах оптического света часто измеряют с помощью эллипсометрии .

Термоэлектрические и электромагнитные свойства вещества.

Эти определяющие уравнения часто используются в кристаллографии , области физики твердого тела . ^[19]

Фотоника

Показатель преломления

(Абсолютный) показатель преломления среды n (безразмерный) является существенно важным свойством геометрической и физической оптики , определяемым как отношение скорости света в вакууме c ₀ к скорости света в среде c :

${\displaystyle n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}}$

где ε - диэлектрическая проницаемость, а ε _{r -} относительная диэлектрическая проницаемость среды, аналогично µ - проницаемость, а µ _r - относительная проницаемость среды. Диэлектрическая проницаемость вакуума равна ε ₀ , а проницаемость вакуума равна μ ₀ . В общем, n (также _εr ) являются комплексными числами .

Относительный показатель преломления определяется как соотношение двух показателей преломления. Абсолютное относится к материалу, относительное относится к каждой возможной паре интерфейсов;

${\displaystyle n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}}$

Скорость света в материи

Как следствие определения, скорость света в веществе равна

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}}$

для особого случая вакуума; ε = ε ₀ и µ = µ ₀ ,

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$

Пьезооптический эффект

Пьезооптический эффект связывает напряжения в твердых телах σ с диэлектрической проницаемостью a , которые связаны тензором четвертого ранга, называемым пьезооптическим коэффициентом Π (единицы K ^-1 ):

${\displaystyle a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}}$

Транспортные явления

Определения

Окончательные законы

Существует несколько законов, которые почти одинаково описывают перенос материи или ее свойства. В каждом случае прописью читают:

Поток (плотность) пропорционален градиенту , константа пропорциональности является характеристикой материала.

В общем случае константу необходимо заменить тензором 2-го ранга, чтобы учесть зависимость материала от направления.

Смотрите также

• Определяющее уравнение (физическая химия)
• Основное уравнение
• Принцип материальной объективности
• Реология

Примечания

1. Свободные заряды и токи реагируют на поля посредством закона силы Лоренца , и этот ответ рассчитывается на фундаментальном уровне с использованием механики. Реакция связанных зарядов и токов рассматривается с использованием более грубых методов, подпадающих под понятия намагничивания и поляризации. В зависимости от проблемы можно отказаться от бесплатных сборов вообще.

Рекомендации

1. Клиффорд Трусделл и Уолтер Нолл; Стюарт С. Антман, редактор (2004). Нелинейные теории поля в механике. Спрингер. п. 4. ISBN 3-540-02779-3. {{cite book}}: |author=имеет общее имя ( справка )CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. См. отчет Трусделла в «Трусделл. Натурализация и апофеоз Уолтера Нолла» . См. также отчет Нолла и классический трактат обоих авторов: Клиффорд Трусделл и Уолтер Нолл – Стюарт С. Антман (редактор) (2004). «Предисловие» (первоначально опубликовано как том III/3 знаменитой Физической энциклопедии в 1965 году) . Нелинейные теории поля в механике (3-е изд.). Спрингер. п. xiii. ISBN 3-540-02779-3. {{cite book}}: |author=имеет общее имя ( справка )
3. Йорген Раммер (2007). Квантовая полевая теория неравновесных состояний. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-87499-1.
4. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
5. Основные принципы физики, П. М. Уилан, М. Дж. Ходжесон, 2-е издание, 1978 г., Джон Мюррей, ISBN 0 7195 3382 1 
6. Кей, Дж. М. (1985). Механика жидкости и процессы переноса . Издательство Кембриджского университета. стр. 10 и 122–124. ISBN 9780521316248.
7. Обобщение на неизотропные материалы является простым; просто замените константы тензорными величинами.
8. Халеви, Питер (1992). Пространственная дисперсия в твердых телах и плазме . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 978-0-444-87405-4.
9. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-30932-Х.
10. Обратите внимание, что используемый здесь термин «магнитная восприимчивость» используется в терминах B и отличается от стандартного определения в терминах H.
11. Т.Г. Маккей; Лахтакия (2010). Электромагнитная анизотропия и бианизотропия: практическое руководство. Всемирная научная. Архивировано из оригинала 13 октября 2010 г. Проверено 22 мая 2012 г.
12. Аспнес, DE , «Эффекты локального поля и теория эффективной среды: микроскопическая перспектива», Am. Дж. Физ. 50 , стр. 704–709 (1982).
13. Хабиб Аммари; Хёнбэ Кан (2006). Обратные задачи, многомасштабный анализ и теория эффективной среды: семинар в Сеуле, Обратные задачи, многомасштабный анализ и гомогенизация, 22–24 июня 2005 г., Сеульский национальный университет, Сеул, Корея. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. п. 282. ИСБН 0-8218-3968-3.
14. OC Зенкевич; Роберт Лерой Тейлор; Дж. З. Чжу; Перумал Нитиарасу (2005). Метод конечных элементов (Шестое изд.). Оксфорд, Великобритания: Баттерворт-Хайнеманн. п. 550 и далее. ISBN 0-7506-6321-9.
15. Н. Бахвалов и Г. Панасенко, Гомогенизация: процессы усреднения в периодических средах (Kluwer: Dordrecht, 1989); Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов и интегральных функционалов (Springer: Берлин, 1994).
16. Виталий Ломакин; Стейнберг БЗ; Хейман Э; Фельсен Л.Б. (2003). «Гомогенизация полевых и сетевых составов для многомасштабных ламинатных диэлектрических плит» (PDF) . Транзакции IEEE по антеннам и распространению . 51 (10): 2761 и далее. Бибкод : 2003ITAP...51.2761L. дои : 10.1109/TAP.2003.816356. Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2012 г.
17. AC Гилберт (Рональд Р. Койфман, редактор) (май 2000 г.). Темы анализа и его приложений: Избранные тезисы. Сингапур: Всемирная научная издательская компания. п. 155. ИСБН 981-02-4094-5. {{cite book}}: |author=имеет общее имя ( справка )
18. Эдвард Д. Палик; Гош Г. (1998). Справочник по оптическим константам твердых тел. Лондон, Великобритания: Академическая пресса. п. 1114. ИСБН 0-12-544422-2.
19. «2. Физические свойства как тензоры». www.mx.iucr.org . Архивировано из оригинала 19 апреля 2018 года . Проверено 19 апреля 2018 г.