Эластичность (физика)

Физическое свойство, когда материалы или предметы возвращаются к исходной форме после деформации.

В физике и материаловедении эластичность — это способность тела сопротивляться искажающему влиянию и возвращаться к своему первоначальному размеру и форме, когда это влияние или сила устраняются. Твердые объекты деформируются при приложении к ним адекватных нагрузок ; если материал эластичен, объект после удаления вернется к своей первоначальной форме и размеру. В этом отличие от пластичности , при которой объект не может этого сделать и вместо этого остается в деформированном состоянии.

Физические причины упругого поведения могут быть совершенно разными для разных материалов. В металлах атомная решетка меняет размер и форму под действием сил (в систему добавляется энергия). Когда силы устраняются, решетка возвращается в исходное состояние с более низкой энергией. Для каучуков и других полимеров эластичность обусловлена ​​растяжением полимерных цепей под действием силы.

Закон Гука гласит, что сила, необходимая для деформации упругих объектов, должна быть прямо пропорциональна расстоянию деформации, независимо от того, насколько большим станет это расстояние. Это известно как идеальная эластичность , при которой данный объект возвращается к своей первоначальной форме независимо от того, насколько сильно он деформируется. Это всего лишь идеальная концепция ; большинство материалов, обладающих упругостью, на практике остаются чисто упругими лишь до очень малых деформаций, после которых наступает пластическая (остаточная) деформация.

В технике эластичность материала количественно определяется модулем упругости, таким как модуль Юнга , модуль объемного сжатия или модуль сдвига , которые измеряют величину напряжения , необходимую для достижения единицы деформации ; более высокий модуль указывает на то, что материал труднее деформировать. Единицей этого модуля в системе СИ является паскаль (Па). Предел упругости материала или предел текучести — это максимальное напряжение , которое может возникнуть до начала пластической деформации. Его единицей СИ также является паскаль (Па).

Обзор

Когда упругий материал деформируется под действием внешней силы, он испытывает внутреннее сопротивление деформации и восстанавливает его в исходное состояние, если внешняя сила больше не применяется. Существуют различные модули упругости , такие как модуль Юнга , модуль сдвига и модуль объемного сжатия , каждый из которых является мерой присущих материалу упругих свойств, таких как сопротивление деформации под приложенной нагрузкой. Различные модули применимы к различным видам деформации. Например, модуль Юнга применяется к растяжению/сжатию тела, тогда как модуль сдвига применяется к его сдвигу . ^[1] Модуль Юнга и модуль сдвига относятся только к твердым веществам, тогда как модуль объемного сжатия относится к твердым телам, жидкостям и газам.

Упругость материалов описывается кривой растяжения , которая показывает связь между напряжением (средней восстанавливающей внутренней силой на единицу площади) и деформацией (относительной деформацией). ^[2] Кривая обычно нелинейна, но ее можно (с помощью ряда Тейлора ) аппроксимировать как линейную для достаточно малых деформаций (при которых члены более высокого порядка пренебрежимо малы). Если материал изотропен , линеаризованная зависимость напряжения-деформации называется законом Гука , который часто предполагается применимым вплоть до предела упругости для большинства металлов или кристаллических материалов, тогда как нелинейная упругость обычно требуется для моделирования больших деформаций эластичных материалов даже в эластичный диапазон. При еще более высоких напряжениях материалы проявляют пластическое поведение , то есть они необратимо деформируются и не возвращаются к своей первоначальной форме после прекращения приложения напряжения. ^[3] Для резиноподобных материалов, таких как эластомеры , наклон кривой растяжения увеличивается с увеличением напряжения, а это означает, что каучуки постепенно становятся все труднее растягиваться, в то время как для большинства металлов градиент уменьшается при очень высоких напряжениях, а это означает, что они постепенно становится легче растягиваться. ^[4] Эластичностью обладают не только твердые тела; Неньютоновские жидкости , такие как вязкоупругие жидкости , также будут проявлять эластичность в определенных условиях, количественно определяемых числом Деборы . В ответ на небольшое, быстро приложенное и снятое напряжение эти жидкости могут деформироваться, а затем вернуться к своей первоначальной форме. При больших нагрузках или нагрузках, приложенных в течение более длительных периодов времени, эти жидкости могут начать течь, как вязкая жидкость.

Поскольку эластичность материала описывается с точки зрения соотношения напряжение-деформация, важно, чтобы термины « напряжение » и «деформация» определялись без двусмысленности. Обычно рассматриваются два типа отношений. К первому типу относятся материалы, упругие только при небольших деформациях. Второй касается материалов, которые не ограничиваются малыми деформациями. Очевидно, что второй тип отношений является более общим в том смысле, что он должен включать первый тип как частный случай.

Для небольших деформаций в качестве меры напряжения используется напряжение Коши , в то время как в качестве меры деформации используется тензор бесконечно малых деформаций ; результирующее (прогнозируемое) поведение материала называется линейной упругостью , которая (для изотропных сред) называется обобщенным законом Гука . Упругие материалы Коши и гипоупругие материалы представляют собой модели, расширяющие закон Гука и учитывающие возможность больших вращений, больших искажений, а также собственной или наведенной анизотропии .

В более общих ситуациях можно использовать любую из нескольких мер напряжения , и обычно желательно (но не обязательно), чтобы соотношение упругого напряжения и деформации было сформулировано в терминах конечной меры деформации , которая является сопряженной по работе с выбранным напряжением. интеграл по времени от скалярного произведения меры напряжения на скорость меры деформации должен быть равен изменению внутренней энергии для любого адиабатического процесса , остающегося ниже предела упругости.

Единицы

Международная система

Единицей упругости и модуля упругости в системе СИ является паскаль (Па). Эта единица определяется как сила на единицу площади, обычно это измерение давления , которое в механике соответствует напряжению . Паскаль и, следовательно, эластичность имеют размерность L ⁻¹ ⋅M⋅T ⁻² .

Для наиболее часто используемых конструкционных материалов модуль упругости измеряется в гигапаскалях (ГПа, 10 ⁹ Па).

Линейная эластичность

Как отмечалось выше, при небольших деформациях большинство упругих материалов, таких как пружины, обладают линейной упругостью и могут быть описаны линейной зависимостью между напряжением и деформацией. Это соотношение известно как закон Гука . Зависимая от геометрии версия идеи ^[a] была впервые сформулирована Робертом Гуком в 1675 году как латинская анаграмма «ceiiinosssttuv». Он опубликовал ответ в 1678 году: « Ut tensio, sic vis », что означает « Как расширение, так и сила », ^{[5] [6]} линейная зависимость, обычно называемая законом Гука . Этот закон можно сформулировать как взаимосвязь между растягивающей силой F и соответствующим смещением растяжения : ${\displaystyle x}$

${\displaystyle F=kx,}$

где k — константа, известная как жесткость или жесткость пружины . Это также можно сформулировать как взаимосвязь между стрессом и напряжением : ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon ,}$

где E известен как модуль Юнга . ^[7]

Хотя общая константа пропорциональности между напряжением и деформацией в трех измерениях представляет собой тензор 4-го порядка, называемый жесткостью , системы, демонстрирующие симметрию , такие как одномерный стержень, часто можно свести к применению закона Гука.

Конечная эластичность

Упругое поведение объектов, подвергающихся конечным деформациям, описывается с использованием ряда моделей, таких как модели упругого материала Коши , модели гипоупругого материала и модели гиперупругого материала . Градиент деформации ( F ) является основной мерой деформации, используемой в теории конечных деформаций .

Эластичные материалы Коши

Материал называется упругим по Коши, если тензор напряжений Коши σ является функцией только градиента деформации F :

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

В целом неверно утверждать, что напряжение Коши является функцией просто тензора деформации , поскольку в такой модели отсутствует важная информация о вращении материала, необходимая для получения правильных результатов для анизотропной среды, подвергнутой вертикальному растяжению по сравнению с тем же расширением, приложенным горизонтально и затем подвергают повороту на 90 градусов; обе эти деформации имеют одинаковые тензоры пространственных деформаций, но должны давать разные значения тензора напряжений Коши.

Хотя напряжение в упругом по Коши материале зависит только от состояния деформации, работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Таким образом, эластичность Коши включает в себя неконсервативные «негиперупругие» модели (в которых работа деформации зависит от пути), а также консервативные модели « гиперупругого материала » (для которых напряжение может быть получено из скалярной функции «упругого потенциала»).

Гипоэластичные материалы

Гипоупругий материал можно строго определить как материал, который моделируется с использованием материального уравнения , удовлетворяющего следующим двум критериям: ^[8]

1. Напряжение Коши во времени зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости прохождения этих прошлых конфигураций. В качестве частного случая этот критерий включает упругий материал Коши , для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle t}$
2. Существует такая тензорная функция , где – скорость материала тензора напряжений Коши, а – тензор градиента пространственной скорости . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$

Если для определения гипоэластичности используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включена как особый случай, что побудит некоторых разработчиков моделей добавить третий критерий, который конкретно требует, чтобы гипоэластичная модель не была гиперэластичной (т. е. гипоэластичность подразумевает, что напряжение не выводимая из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, из этого следует, что гипоэластичный материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагружения, которые начинаются и заканчиваются с одним и тем же градиентом деформации , но не начинаются и не заканчиваются с одинаковой внутренней энергией.

Обратите внимание, что второй критерий требует только существования функции . Как подробно описано в основной статье о гипоупругих материалах , в конкретных формулировках гипоэластичных моделей обычно используются так называемые объективные скорости, так что функция существует только неявно и обычно требуется явно только для числовых обновлений напряжения, выполняемых посредством прямого интегрирования фактического (не объективного) напряжения. ставка. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Гиперэластичные материалы

Гиперупругие материалы (также называемые упругими материалами Грина) представляют собой консервативные модели, полученные на основе функции плотности энергии деформации ( W ). Модель является гиперупругой тогда и только тогда, когда можно выразить тензор напряжений Коши как функцию градиента деформации через соотношение вида

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}$

В этой формулировке энергетический потенциал ( W ) рассматривается как функция градиента деформации ( ). Требуя также удовлетворения материальной объективности , энергетический потенциал можно альтернативно рассматривать как функцию тензора деформации Коши-Грина ( ), и в этом случае гиперупругая модель может быть альтернативно записана как ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}$

Приложения

Линейная упругость широко используется при проектировании и анализе таких конструкций, как балки , пластины и оболочки , а также сэндвич-композиты . Эта теория также является основой большей части механики разрушения .

Гиперэластичность в основном используется для определения реакции объектов на основе эластомеров , таких как прокладки , и биологических материалов, таких как мягкие ткани и клеточные мембраны .

Факторы, влияющие на эластичность

Для изотропных материалов наличие трещин влияет на модули Юнга и модули сдвига, перпендикулярные плоскостям трещин, которые уменьшаются (модуль Юнга быстрее, чем модуль сдвига) с увеличением плотности разрушения , ^[9] что указывает на то, что наличие трещин делает тела более хрупкие. С микроскопической точки зрения взаимосвязь между напряжением и деформацией материалов обычно определяется свободной энергией Гельмгольца , термодинамической величиной . Молекулы располагаются в конфигурации, которая минимизирует свободную энергию, с учетом ограничений, вытекающих из их структуры, и, в зависимости от того, доминирует ли энергетический или энтропийный член над свободной энергией, материалы в широком смысле можно классифицировать как энергетически-эластичные и энтропийно-эластичные . Таким образом, микроскопические факторы, влияющие на свободную энергию, такие как равновесное расстояние между молекулами, могут влиять на эластичность материалов: например, в неорганических материалах по мере увеличения равновесного расстояния между молекулами при 0 К модуль объемного сжатия уменьшается. ^[10] Влияние температуры на эластичность трудно выделить, поскольку на нее влияет множество факторов. Например, объемный модуль материала зависит от формы его решетки , его поведения при расширении , а также от колебаний молекул, все из которых зависят от температуры. ^[11]

Смотрите также

• Тензор упругости
• Эластография
• Тактильное изображение
• Модуль упругости
• Линейная эластичность
• Псевдоэластичность
• Устойчивость
• Эластичность резины
• Жесткость
• Пластичность

Примечания

1. Описания поведения материала не должны зависеть от геометрии и формы объекта, изготовленного из рассматриваемого материала. Первоначальная версия закона Гука предполагает константу жесткости, которая зависит от исходного размера и формы объекта. Таким образом, константа жесткости не является строго свойством материала. ^{[ нужна цитата ]}

Рекомендации

1. Ландау Л.Д., Липшиц Э.М. Теория упругости, 3-е издание, 1970: 1–172.
2. Трелоар, LRG (1975). Физика упругости резины . Оксфорд: Кларендон Пресс. п. 2. ISBN 978-0-1985-1355-1.
3. Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 70. ИСБН 978-0-1237-4446-3.
4. де С, Гейсбертус (2006). Структура, деформация и целостность материалов, Том I: Основы и эластичность . Вайнхайм: Wiley VCH. п. 32. ISBN 978-3-527-31426-3.
5. Атанакович, Теодор М.; Гуран, Ардешир (2000). «Закон Гука». Теория упругости для ученых и инженеров . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. п. 85. ИСБН 978-0-8176-4072-9.
6. «Сила и дизайн». Столетия гражданского строительства: выставка редких книг, посвященная наследию гражданского строительства . Библиотека науки, техники и технологий Линды Холл. Архивировано из оригинала 13 ноября 2010 года.^{[ нужна страница ]}
7. Ибрагимбегович, Аднан (2 июня 2009 г.). Нелинейная механика твердого тела: теоретические формулировки и методы решения методом конечных элементов. Springer Science & Business Media. стр. 20–26. ISBN 978-90-481-2330-8.
8. Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные теории поля в механике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ИСБН 978-3-540-02779-9.
9. Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 387. ИСБН 978-0-1237-4446-3.
10. Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 344. ИСБН 978-0-1237-4446-3.
11. Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность: теория, приложения и численные показатели . Оксфорд: Эльзевир. п. 365. ИСБН 978-0-1237-4446-3.

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 38: Эластичность