Теория бесконечно малых деформаций

Математическая модель описания деформации материала под напряжением

В механике сплошной среды теория бесконечно малых деформаций представляет собой математический подход к описанию деформации твердого тела, в котором смещения материальных частиц считаются намного меньшими (действительно, бесконечно меньшими), чем любой соответствующий размер тела; так что можно предположить, что его геометрия и конститутивные свойства материала (такие как плотность и жесткость ) в каждой точке пространства не изменяются в результате деформации.

При таком предположении уравнения механики сплошной среды значительно упрощаются. Этот подход также можно назвать теорией малых деформаций , теорией малых смещений или теорией малого градиента смещений . Это контрастирует с теорией конечных деформаций , в которой делается противоположное предположение.

Теория бесконечно малых деформаций обычно применяется в гражданском и машиностроении для анализа напряжений конструкций, построенных из относительно жестких упругих материалов, таких как бетон и сталь , поскольку общей целью проектирования таких конструкций является минимизация их деформации при типичных нагрузках . Однако такое приближение требует осторожности в случае тонких гибких тел, таких как стержни, пластины и оболочки, которые подвержены значительным вращениям, что делает результаты ненадежными. ^[1]

Тензор бесконечно малой деформации

Для бесконечно малых деформаций сплошного тела , в которых тензор градиента смещений (тензор 2-го порядка) мал по сравнению с единицей, т. е . можно выполнить геометрическую линеаризацию любого из (бесконечно многих возможных) тензоров конечных деформаций, используемых в теория конечной деформации, например лагранжев тензор конечной деформации и эйлеров тензор конечной деформации . При такой линеаризации пренебрегают нелинейными членами или членами второго порядка тензора конечной деформации. Таким образом, мы имеем ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$

$${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$$

$${\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)}$$

Эта линеаризация подразумевает, что лагранжево описание и эйлерово описание примерно одинаковы, поскольку существует небольшая разница в материальных и пространственных координатах данной материальной точки в континууме. Следовательно, компоненты тензора градиента смещения материала и компоненты тензора градиента пространственного смещения примерно равны. Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)}$$

$${\displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)}$$

тензора бесконечно малых деформацийтензором деформаций Кошитензором линейной деформациитензором малых деформаций ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}}$$

Более того, поскольку градиент деформации можно выразить как где – тождественный тензор второго порядка, мы имеем ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}}$$

Кроме того, из общего выражения для лагранжевых и эйлеровых тензоров конечной деформации имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

Геометрический вывод

Рисунок 1. Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента.

Рассмотрим двумерную деформацию бесконечно малого прямоугольного материального элемента размерами ( рис. 1), который после деформации принимает форму ромба. Из геометрии рисунка 1 имеем ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$

Для очень малых градиентов смещения, т. е. , имеем ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$

$${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

Нормальная деформация в направлении прямоугольного элемента определяется выражением ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$$

${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$

$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

Аналогично, нормальная деформация в -направлении и -направлении становится ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

Инженерная деформация сдвига или изменение угла между двумя изначально ортогональными линиями материала, в данном случае линиями и , определяется как ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

Из геометрии рисунка 1 имеем

$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$$

Для малых вращений, т. е . и имеем ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \ll 1}$

$${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$$

$${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$

Аналогично для плоскостей - и - имеем ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Можно видеть, что компоненты тензорной деформации сдвига тензора бесконечно малых деформаций могут быть выражены с использованием определения инженерной деформации , как ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Физическая интерпретация

Из теории конечных деформаций мы имеем

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Для бесконечно малых деформаций имеем

$${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$$

Разделив на, мы имеем ${\displaystyle (dX)^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$$

Для малых деформаций мы предполагаем, что , таким образом, второй член левой части принимает вид: . ${\displaystyle dx\approx dX}$ ${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$

Тогда у нас есть

$${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$$

нормальная деформация ${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$ ${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$

$${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}.}$$

Аналогично для и находим нормальные деформации и соответственно. Следовательно, диагональные элементы тензора бесконечно малых деформаций представляют собой нормальные деформации в координатных направлениях. ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{22}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$

Правила преобразования штаммов

Если мы выберем ортонормированную систему координат ( ), мы можем записать тензор в терминах компонентов относительно этих базовых векторов как ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$$

соглашение Эйнштейна о суммировании ${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{j}}$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$$

Инварианты деформации

Некоторые операции с тензором деформации дают один и тот же результат независимо от того, какая ортонормированная система координат используется для представления компонентов деформации. Результаты этих операций называются инвариантами деформации . Наиболее часто используемые инварианты деформации:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{12}^{2}-\varepsilon _{23}^{2}-\varepsilon _{31}^{2}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$$

Основные штаммы

Можно показать, что можно найти систему координат ( ), в которой компоненты тензора деформаций равны ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$$

главными деформациями ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Если нам даны компоненты тензора деформаций в произвольной ортонормированной системе координат, мы можем найти главные деформации, используя разложение по собственным значениям , определяемое решением системы уравнений

$${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$$

${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Объемная деформация

Объемная деформация , также называемая объемной деформацией , представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора:

$${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$

aV ₀a ³ ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$

$${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема нет.

Тензор девиатора деформации

Тензор бесконечно малых деформаций , аналогично тензору напряжений Коши , можно выразить как сумму двух других тензоров: ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

1. тензор средней деформации , или тензор объемной деформации , или тензор сферической деформации , связанный с расширением или изменением объема; и ${\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}$
2. девиаторная составляющая, называемая тензором девиатора деформации , , связанная с искажением. ${\displaystyle \varepsilon '_{ij}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$$

${\displaystyle \varepsilon _{M}}$

$${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$$

Тензор девиаторной деформации можно получить вычитанием тензора средней деформации из тензора бесконечно малых деформаций:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Октаэдрические деформации

Пусть ( ) будут направлениями трех главных деформаций. Октаэдрическая плоскость — это плоскость, нормаль которой составляет равные углы с тремя главными направлениями. Инженерная деформация сдвига в октаэдрической плоскости называется октаэдрической деформацией сдвига и определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$$

^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$

Нормальная деформация в октаэдрической плоскости определяется выражением

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$$

^{[ нужна цитата ]}

Эквивалентная нагрузка

Скалярная величина, называемая эквивалентной деформацией или эквивалентной деформацией фон Мизеса , часто используется для описания состояния деформации в твердых телах. В литературе можно найти несколько определений эквивалентного штамма. В литературе по пластичности обычно используется определение :

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$$

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$$

Уравнения совместимости

Для заданных компонентов деформации уравнение тензора деформации представляет собой систему шести дифференциальных уравнений для определения трех компонент смещений , что дает переопределенную систему. Таким образом, решения для произвольного выбора компонентов деформации, вообще говоря, не существует. Поэтому на компоненты деформации накладываются некоторые ограничения, называемые уравнениями совместимости . С добавлением трех уравнений совместимости количество независимых уравнений сокращается до трех, что соответствует количеству неизвестных компонентов смещения. Эти ограничения на тензор деформаций были обнаружены Сен-Венаном и называются « уравнениями совместимости Сен-Венана ». ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle u_{i}}$

Функции совместимости служат для обеспечения однозначности функции непрерывного перемещения . Если представить упругую среду как набор бесконечно малых кубов в недеформированном состоянии, то после деформирования среды произвольный тензор деформаций не может привести к ситуации, когда искаженные кубы все еще подходят друг к другу, не перекрываясь. ${\displaystyle u_{i}}$

В индексной записи уравнения совместимости выражаются как

$${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}$$

В инженерных обозначениях

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$

Особые случаи

Плоская деформация

Плоскодеформированное состояние в сплошной среде.

В реальных инженерных компонентах напряжение (и деформация) представляют собой трехмерные тензоры , но в призматических конструкциях, таких как длинная металлическая заготовка, длина конструкции намного больше, чем два других измерения. Деформации, связанные с длиной, т.е. нормальная деформация и сдвиговая деформация и (если длина имеет 3-направленное направление) ограничиваются близлежащим материалом и малы по сравнению с деформациями поперечного сечения . Тогда плоская деформация является приемлемым приближением. Тензор деформации для плоской деформации записывается как: ${\displaystyle \varepsilon _{33}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

тензорплоской деформацией

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle \sigma _{33}}$ ${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$

Антиплоская деформация

Антиплоская деформация — это еще одно особое состояние деформации, которое может возникнуть в теле, например, в области, близкой к винтовой дислокации . Тензор деформации для антиплоской деформации определяется выражением

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$$

Связь с тензором бесконечно малого вращения

Тензор бесконечно малых деформаций определяется как

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$$

тензор бесконечно малого вращениятензор бесконечно малого углового смещенияматрицей бесконечно малого вращениякососимметричени ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}}$ ${\displaystyle |W_{ij}|\ll 1}$

Осевой вектор

Кососимметричный тензор второго порядка имеет три независимые скалярные компоненты. Эти три компонента используются для определения аксиального вектора , следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {w} }$

$${\displaystyle W_{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~W_{jk}}$$

символ перестановки ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {W}}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$$

вектором бесконечно малого вращения

$${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$$

$${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$$

${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {W}}\rVert \ll 1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle |\mathbf {w} |}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

Связь между тензором деформации и вектором вращения

Учитывая непрерывное однозначное поле перемещений и соответствующий тензор бесконечно малых деформаций , мы имеем (см. Производная тензора (механика сплошной среды) ) ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$$

${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$

$${\displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$$

Связь между тензором вращения и вектором вращения

Из важного тождества, касающегося ротора тензора, мы знаем , что для непрерывного однозначного поля смещений ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {W}}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {W}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$$

Тензор деформаций в недекартовых координатах

Тензор деформаций в цилиндрических координатах

В цилиндрических полярных координатах ( ) вектор смещения можно записать как ${\displaystyle r,\theta ,z}$

$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$$

^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$

Тензор деформаций в сферических координатах

Сферические координаты ( r , θ , φ ), обычно используемые в физике : радиальное расстояние r , полярный угол θ ( тета ) и азимутальный угол φ ( фи ). Символ ρ ( rho ) часто используется вместо r .

В сферических координатах ( ) вектор смещения можно записать как ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

$${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$$

^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Деформация (механика)
• Совместимость (механика)
• Стресс
• Тензодатчик
• Тензор упругости
• Кривая напряжение-деформация
• Закон Гука
• коэффициент Пуассона
• Теория конечной деформации
• Скорость деформации
• Плоское напряжение
• Корреляция цифровых изображений

Рекомендации

1. Борези, Артур П. (Артур Питер), 1924- (2003). Расширенная механика материалов . Шмидт, Ричард Дж. (Ричард Джозеф), 1954- (6-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 62. ИСБН 1601199228. ОСЛК  430194205.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Слотер, Уильям С. (2002). Линеаризованная теория упругости . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. дои : 10.1007/978-1-4612-0093-2. ISBN 9781461266082.

Внешние ссылки