Гипоэластичный материал

В механике сплошной среды гипоупругий материал ^[1] — это упругий материал, имеющий конститутивную модель , независимую от конечных мер деформации, за исключением линеаризованного случая. Модели гипоупругих материалов отличаются от моделей гиперупругих материалов (или стандартных моделей упругости) тем, что, за исключением особых обстоятельств, они не могут быть выведены из функции плотности энергии деформации .

Обзор

Гипоупругий материал можно строго определить как материал, который моделируется с использованием уравнения состояния, удовлетворяющего следующим двум критериям: ^[2]

1. Напряжение Коши во времени зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости прохождения этих прошлых конфигураций. В качестве особого случая этот критерий включает упругий материал Коши , для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle t}$
2. Существует тензорнозначная функция, такая что где — материальная скорость тензора напряжений Коши, а — тензор градиента пространственной скорости . ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}$$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$

Если для определения гипоэластичности используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включена как особый случай, что побуждает некоторых разработчиков конститутивных моделей добавлять третий критерий, который специально требует, чтобы гипоупругая модель не была гиперэластичной (т. е. гипоэластичность подразумевает, что напряжение не выводится из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, то из этого следует, что гипоупругий материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагрузки, которые начинаются и заканчиваются с одним и тем же градиентом деформации , но не начинаются и не заканчиваются с одной и той же внутренней энергией.

Обратите внимание, что второй критерий требует только того, чтобы функция существовала . Как поясняется ниже, конкретные формулировки гипоупругих моделей обычно используют так называемую объективную скорость напряжения , так что функция существует только неявно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Модели гипоупругих материалов часто принимают форму, где — объективная скорость напряжения Кирхгофа ( ), — тензор скорости деформации , а — так называемый упругий тензор касательной жесткости, который изменяется вместе с самим напряжением и рассматривается как тензор свойств материала. В гиперупругости касательная жесткость, как правило, также должна зависеть от градиента деформации , чтобы должным образом учитывать искажение и вращение направлений волокон анизотропного материала. ^[3] $${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldsymbol {d}}}$$ ${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}:=J{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]}$ ${\displaystyle {\mathsf {M}}}$

Гипоэластичность и объективные показатели стресса

Во многих практических задачах механики деформируемого твердого тела достаточно характеризовать деформацию материала малым (или линеаризованным) тензором деформации где — компоненты перемещений точек сплошной среды, индексы относятся к декартовым координатам , а индексы, предшествующие запятой, обозначают частные производные (например, ). Но существует также много задач, где необходимо учитывать конечность деформации. Они бывают двух видов: $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})}$$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,3)}$ ${\displaystyle u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}}$

1. большие нелинейные упругие деформации, обладающие потенциальной энергией (проявляемые, например, резиной), в которых компоненты тензора напряжений получаются как частные производные по компонентам тензора конечных деформаций; и ${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})}$ ${\displaystyle W}$
2. неупругие деформации, не обладающие потенциалом, в которых зависимость напряжения от деформации определяется инкрементно.

В первом случае уместна формулировка полной деформации, описанная в статье по теории конечных деформаций . Во втором случае необходима инкрементальная (или скоростная) формулировка, которая должна использоваться в каждом шаге нагрузки или времени конечноэлементной компьютерной программы с использованием обновленной процедуры Лагранжа. Отсутствие потенциала поднимает сложные вопросы из-за свободы в выборе меры конечной деформации и характеристики скорости напряжения.

Для достаточно малого шага нагрузки (или приращения) можно использовать тензор скорости деформации (или деформацию скорости) или приращение, представляющее линеаризованное приращение деформации от начального (напряженного и деформированного) состояния на шаге. Здесь верхняя точка представляет производную материала по времени ( следующую за данной материальной частицей), обозначает малое приращение на шаге, = время, и = скорость материальной точки или скорость смещения. $${\displaystyle d_{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})}$$ $${\displaystyle \Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t}$$ ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v_{i}={\dot {u}}_{i}}$

Однако было бы необъективно использовать производную по времени напряжения Коши (или истинного) . Это напряжение, которое описывает силы на небольшом материальном элементе, воображаемом вырезанным из материала, как в настоящее время деформированного, не является объективным, поскольку оно изменяется с вращениями твердого тела материала. Материальные точки должны характеризоваться их начальными координатами (называемыми лагранжевыми), поскольку в вырезанном элементе (в одном и том же месте) до и после инкрементной деформации содержатся различные материальные частицы. ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Следовательно, необходимо ввести так называемую объективную скорость напряжения , или соответствующее приращение . Объективность необходима для того, чтобы быть функционально связанной с деформацией элемента. Это означает, что она должна быть инвариантной относительно преобразований координат (в частности, поворотов) и должна характеризовать состояние одного и того же материального элемента при его деформации. ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }}_{ij}\Delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$

Смотрите также

• Меры по снятию стресса
• Гиперэластичный материал
• Объективные показатели стресса
• Принцип материальной объективности
• Теория конечных деформаций
• Теория бесконечно малых деформаций

Примечания

1. Трусделл (1963).
2. Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). Нелинейные полевые теории механики (3-е изд.). Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. стр. 401. ISBN 3-540-02779-3.
3. Брэннон, Р. М. (1998). «Предостережения относительно сопряженных мер напряжения и деформации для анизотропной упругости, не зависящей от каркаса». Acta Mechanica . Т. 129. С. 107–116.

Библиография

• Трусделл, Клиффорд (1963), «Замечания о гипоэластичности», Журнал исследований Национального бюро стандартов, раздел B , 67B (3): 141–143