Альтернативные меры по борьбе со стрессом

В механике сплошной среды наиболее часто используемой мерой напряжения является тензор напряжения Коши , часто называемый просто тензором напряжения или «истинным напряжением». Однако можно определить несколько альтернативных мер напряжения: ^{[1] [2] [3]}

1. Напряжение Кирхгофа ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$
2. Номинальное напряжение ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$
3. Тензоры напряжений Пиолы– Кирхгофа
   1. Первое напряжение Пиолы–Кирхгофа ( ). Этот тензор напряжений является транспонированным значением номинального напряжения ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}$
   2. Второе напряжение Пиолы–Кирхгофа или напряжение ПК2 ( ). ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$
4. Стресс Биота ( ) ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Определения

Рассмотрим ситуацию, показанную на следующем рисунке. В следующих определениях используются обозначения, показанные на рисунке.

В исходной конфигурации внешняя нормаль к элементу поверхности равна , а тяга, действующая на эту поверхность (предполагая, что она деформируется как общий вектор, принадлежащий деформации), приводит к вектору силы . В деформированной конфигурации элемент поверхности изменяется на с внешней нормалью и вектором тяги, приводящими к силе . Обратите внимание, что эта поверхность может быть либо гипотетическим разрезом внутри тела, либо реальной поверхностью. Величина — тензор градиента деформации , — его определитель. ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle d\Gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} _{0}}$ ${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle J}$

стресс Коши

Напряжение Коши (или истинное напряжение) является мерой силы, действующей на элемент площади в деформированной конфигурации. Этот тензор симметричен и определяется через

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

или

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

где — сила тяги, а — нормаль к поверхности, на которую действует сила тяги. ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

напряжение Кирхгофа

Количество,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

называется тензором напряжений Кирхгофа с определителем . Он широко используется в численных алгоритмах пластичности металлов (где нет изменения объема при пластической деформации). Его также можно назвать взвешенным тензором напряжений Коши . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Напряжение Пиолы–Кирхгофа

Номинальное напряжение/Первое напряжение Пиолы–Кирхгофа

Номинальное напряжение является транспонированным значением первого напряжения Пиолы-Кирхгофа (напряжение PK1, также называемое инженерным напряжением) и определяется через ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

или

${\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

Это напряжение несимметрично и является двухточечным тензором, как и градиент деформации.
Асимметрия вытекает из того факта, что как тензор, он имеет один индекс, прикрепленный к исходной конфигурации, и один к деформированной конфигурации. ^[4]

Второе напряжение Пиолы–Кирхгофа

Если мы откатимся к исходной конфигурации, то получим тягу, действующую на эту поверхность до деформации, предполагая, что она ведет себя как общий вектор, принадлежащий деформации. В частности, мы имеем ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }$

или,

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Напряжение PK2 ( ) симметрично и определяется соотношением ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}$

Био стресс

Напряжение Био полезно, поскольку оно энергетически сопряжено с правым тензором растяжения . Напряжение Био определяется как симметричная часть тензора , где — тензор вращения, полученный из полярного разложения градиента деформации. Таким образом, тензор напряжения Био определяется как ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

Стресс Биота также называют стрессом Яуманна.

Эта величина не имеет физической интерпретации. Однако несимметризированное напряжение Биота имеет интерпретацию ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Отношения

Соотношения между напряжением Коши и номинальным напряжением

Из формулы Нансона, связывающей площади в исходной и деформированной конфигурациях:

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Сейчас,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

или,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

или,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

В индексной нотации,

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

Поэтому,

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

Обратите внимание, что и (как правило) не симметричны, поскольку (как правило) не симметричны. ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

Соотношения между номинальным напряжением и вторым напряжением P–K

Вспомните, что

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

и

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

Поэтому,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

или (используя симметрию ), ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

В индексной нотации,

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

В качестве альтернативы мы можем написать

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

Соотношения между напряжением Коши и вторым напряжением P–K

Вспомните, что

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

С точки зрения 2-го PK-стрессового напряжения мы имеем

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

В индексной нотации,

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

Поскольку напряжение Коши (и, следовательно, напряжение Кирхгофа) симметрично, второе напряжение ПК также симметрично.

В качестве альтернативы мы можем написать

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

или,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Очевидно, из определения операций проталкивания вперед и оттягивания назад мы имеем

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

и

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Следовательно, — это оттягивание назад от , а — это толчок вперед от . ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

Резюме формулы преобразования

Ключ: $${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$$

Смотрите также

• Стресс (физика)
• Теория конечных деформаций
• Механика сплошной среды
• Гиперэластичный материал
• Эластичный материал Коши
• Анализ критической плоскости

Ссылки

1. Дж. Бонет и Р. Вуд, Нелинейная механика сплошной среды для конечно-элементного анализа , Издательство Кембриджского университета.
2. RW Ogden, 1984, Нелинейные упругие деформации , Довер.
3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория упругости , третье издание
4. Трехмерная эластичность. Elsevier. 1 апреля 1988 г. ISBN 978-0-08-087541-5.