Тензор скорости деформации

Понятие в физике

Двумерный поток, который в выделенной точке имеет только компонент скорости деформации, без средней скорости или вращательного компонента.

В механике сплошных сред тензор скорости деформации или тензор скорости деформации — это физическая величина , которая описывает скорость изменения деформации (т. е. относительной деформации ) материала в окрестности определенной точки, в определенной момент времени. Его можно определить как производную тензора деформации по времени или как симметричную составляющую матрицы Якоби (производную по положению) скорости потока . В механике жидкости это также можно описать как градиент скорости , меру того, как скорость жидкости изменяется между различными точками внутри жидкости. ^[1] Хотя этот термин может относиться к профилю скорости (изменение скорости в разных слоях потока в трубе), ^[2] он часто используется для обозначения градиента скорости потока относительно его координат . ^[3] Эта концепция имеет применение в различных областях физики и техники , включая магнитогидродинамику , горное дело и очистку воды. ^{[4] [5] [6]}

Тензор скорости деформации — это чисто кинематическое понятие, описывающее макроскопическое движение материала. Следовательно, оно не зависит от природы материала или от сил и напряжений, которые могут на него действовать; и это применимо к любой сплошной среде , будь то твердая , жидкая или газообразная .

С другой стороны, для любой жидкости , за исключением сверхтекучих , любое постепенное изменение ее деформации (т. е. ненулевой тензор скорости деформации) приводит к возникновению вязких сил внутри ее из-за трения между соседними элементами жидкости , которые имеют тенденцию противодействовать этому изменению. . В любой точке жидкости эти напряжения могут быть описаны тензором вязких напряжений , который почти всегда полностью определяется тензором скорости деформации и некоторыми внутренними свойствами жидкости в этой точке. Вязкие напряжения также возникают в твердых телах помимо упругих напряжений, наблюдаемых при статической деформации; когда он слишком велик, чтобы его можно было игнорировать, материал называют вязкоупругим .

Размерный анализ

Выполняя анализ размеров , можно определить размеры градиента скорости. Размеры скорости равны , а размеры расстояния равны . Поскольку градиент скорости можно выразить как . Поэтому градиент скорости имеет те же размеры, что и это отношение, т. е. . ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}T^{-1}}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{velocity}}}{\Delta {\text{distance}}}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}}$

В механике сплошных сред

В трех измерениях градиент скорости представляет собой тензор второго порядка , который можно выразить в виде матрицы : ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

$${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle \mathbf {L} }$симметричной матрицыкососимметричной матрицы ${\displaystyle {\textbf {E}}}$ ${\displaystyle {\textbf {W}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} +\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\\\mathbf {W} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} -\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\textbf {E}}}$^[7] ${\displaystyle {\textbf {W}}}$

Связь между напряжением сдвига и полем скоростей

Сэр Исаак Ньютон предположил, что напряжение сдвига прямо пропорционально градиенту скорости: ^[8]

$${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}.}$$

Константа пропорциональности называется динамической вязкостью . ${\displaystyle \mu }$

Формальное определение

Рассмотрим материальное тело, твердое или жидкое, которое течет и/или движется в пространстве. Пусть v — поле скорости внутри тела; то есть гладкая функция от R ³ × R такая, что v ( p , t ) — это макроскопическая скорость материала, проходящего через точку p в момент времени t .

Скорость v ( p + r , t ) в точке, смещенной от p небольшим вектором r , можно записать в виде ряда Тейлора :

$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{higher order terms}},}$$

∇ vлинейное отображениеr

Поле скорости v ( p + r , t ) произвольного потока вокруг точки p (красная точка) в некоторый момент времени t и члены его аппроксимации Тейлора первого порядка относительно p . Третья компонента скорости (за пределами экрана) везде полагается равной нулю.

В произвольной системе отсчета ∇ v связана с матрицей Якоби поля, а именно в 3-х измерениях это матрица 3 × 3

$${\displaystyle \left(\nabla \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$$

v _iv,оси i,∂ _j fчастную производнуюfx _jJpt

В этой системе координат приближение Тейлора для скорости вблизи p равно

$${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} }$$

если v и r рассматриваются как матрицы 3 × 1.

Симметричные и антисимметричные части

Любую матрицу можно разложить на сумму симметричной и антисимметричной матриц . Применяя это к матрице Якоби с симметричными и антисимметричными компонентами E и R соответственно:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$

Это разложение не зависит от системы координат и поэтому имеет физический смысл. Тогда поле скоростей можно аппроксимировать как

$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}}$$

Антисимметричный член R представляет собой жесткое вращение жидкости вокруг точки p . Его угловая скорость равна ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

$${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$$

Произведение ∇ × v называется вращательным ротором векторного поля. Жесткое вращение не меняет взаимного положения элементов жидкости, поэтому антисимметричный член R градиента скорости не способствует скорости изменения деформации. Таким образом, фактическая скорость деформации описывается симметричным членом E , который представляет собой тензор скорости деформации .

Скорость сдвига и степень сжатия

Симметричный член E (тензор скорости деформации) можно разбить на сумму скаляра, умноженного на единичный тензор, который представляет собой постепенное изотропное расширение или сжатие; и бесследовый симметричный тензор, который представляет собой постепенную сдвиговую деформацию без изменения объема: ^[9]

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).}$$

То есть,

$${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}S_{ij}}+\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)} ^{E_{ij}}-S_{ij}} _{{\text{rate-of-shear tensor }}D_{ij}},}$$

Здесь δ — единичный тензор , такой, что δ _ij равен 1, если i = j , и 0, если i ≠ j . Это разложение не зависит от выбора системы координат и поэтому является физически значимым.

След тензора скорости расширения представляет собой дивергенцию поля скорости:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};}$$

Тензор скорости сдвига представлен симметричной матрицей 3 × 3 и описывает поток, который объединяет потоки сжатия и расширения вдоль трех ортогональных осей, так что изменение объема не происходит. Этот тип течения возникает, например, когда резиновую полоску растягивают, потянув за концы, или когда мед падает с ложки гладкой непрерывной струей.

Для двумерного потока дивергенция v имеет только два члена и количественно определяет изменение площади, а не объема. Коэффициент 1/3 в термине скорости расширения следует заменить на1/2в таком случае.

Примеры

Исследование градиентов скорости полезно при анализе материалов, зависящих от траектории движения, и при последующем изучении напряжений и деформаций; например, Пластическая деформация металлов . ^[3] Пристеночный градиент скорости несгоревших реагентов, вытекающих из трубы, является ключевым параметром для характеристики стабильности пламени. ^{[5] : 1–3} Градиент скорости плазмы может определять условия решения фундаментальных уравнений магнитной гидродинамики. ^[4]

Жидкость в трубе

Рассмотрим поле скоростей жидкости, текущей по трубе . Слой жидкости, контактирующий с трубой, стремится к покою относительно трубы. Это называется условием прилипания . ^[10] Если разница скоростей между слоями жидкости в центре трубы и по бокам трубы достаточно мала, то течение жидкости наблюдается в виде сплошных слоев. Этот тип течения называется ламинарным течением .

Разницу скоростей потока между соседними слоями можно измерить с помощью градиента скорости, определяемого выражением . Где – разница в скорости потока между двумя слоями и – расстояние между слоями. ${\displaystyle \Delta u/\Delta y}$ ${\displaystyle \Delta u}$ ${\displaystyle \Delta y}$

Смотрите также

• Тензор напряжений (значения)
• Теория конечной деформации § Производная по времени градиента деформации , градиента пространственной и материальной скорости из механики сплошной среды

Рекомендации

1. Карл Шашке (2014). Словарь химической инженерии . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199651450.
2. «Информация: Вязкость: градиент скорости» .
3. «Градиент скорости на continuummechanics.org».
4. Чжан, Цзуджин (июнь 2017 г.), «Обобщенная МГД-система с градиентом скорости в пространствах Бесова отрицательного порядка», Acta Applicandae Mathematicae , 149 (1): 139–144, doi : 10.1007/s10440-016-0091-0, ISSN  1572-9036, S2CID  207075598
5. Грумер, Дж.; Харрис, Мэн; Роу, В.Р. (июль 1956 г.), Фундаментальные воспоминания, выбросы и пределы желтого кончика топливных газовоздушных смесей (PDF) , Горное управление
6. Рохас, JC; Морено, Б.; Гарралон, Г.; Плаза, Ф.; Перес, Дж.; Гомес, Массачусетс (2010), «Влияние градиента скорости в гидравлическом флокуляторе на удаление NOM с помощью аэрированных ультрафильтрационных мембран со спиральной намоткой (ASWUF)», Journal of Hazardous Materials , 178 (1): 535–540, doi : 10.1016/j .jhazmat.2010.01.116, ISSN  0304-3894, PMID  20153578
7. Гонсалес, О.; Стюарт, AM (2008). Первый курс механики сплошных сред . Кембриджские тексты по прикладной математике. Издательство Кембриджского университета. стр. 134–135.
8. Бэтчелор, ГК (2000). Введение в гидродинамику. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета. п. 145. ИСБН 9780521663960.
9. Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1997). Механика жидкости . Перевод Сайкса, Дж. Б.; Рид, штат Вашингтон (2-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2767-0.
10. Левицкий, Р. «Обзор терминологии механики жидкости» (PDF) .