Тензор напряжений Коши

Представление механического напряжения в каждой точке деформированного трехмерного объекта.

В механике сплошных сред тензор напряжений Коши (символ , названный в честь Огюстена-Луи Коши ), называемый также истинным тензором напряжений ^[1] или просто тензором напряжений , полностью определяет состояние напряжений в точке внутри материала в деформированном состоянии, размещение или конфигурация. Тензор второго порядка состоит из девяти компонентов и связывает вектор направления e единичной длины с вектором тяги T ^{( e )} на воображаемой поверхности, перпендикулярной e : ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(e)}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.}$^[а]

Базовыми единицами СИ для тензора напряжения и вектора тяги являются ньютон на квадратный метр (Н/м ² ) или паскаль (Па), что соответствует скаляру напряжения. Единичный вектор безразмерен .

Тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора при изменении системы координат. Графическим представлением этого закона трансформации является круг Мора для напряжений.

Тензор напряжений Коши используется для анализа напряжений материальных тел, испытывающих небольшие деформации : это центральное понятие в линейной теории упругости . Для больших деформаций, также называемых конечными деформациями , требуются другие меры напряжения, такие как тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа , тензор напряжений Био и тензор напряжений Кирхгофа .

Согласно принципу сохранения импульса , если сплошное тело находится в статическом равновесии, можно показать, что компоненты тензора напряжений Коши в каждой материальной точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия ( уравнениям движения Коши при нулевом ускорении) . В то же время, согласно принципу сохранения углового момента , равновесие требует, чтобы сумма моментов по произвольной точке была равна нулю, что приводит к выводу, что тензор напряжений симметричен , имея, таким образом, только шесть независимых компонент напряжений. , вместо первоначальных девяти. Однако при наличии парных напряжений, т.е. моментов на единицу объема, тензор напряжений несимметричен. Это также имеет место, когда число Кнудсена близко к единице или континуум представляет собой неньютоновскую жидкость, что может привести к неинвариантным во вращении жидкостям, таким как полимеры . ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

С тензором напряжений связаны определенные инварианты, значения которых не зависят от выбранной системы координат или элемента площади, на котором действует тензор напряжений. Это три собственных значения тензора напряжений, которые называются главными напряжениями.

Принцип напряжения Эйлера – Коши - вектор напряжения

Рисунок 2.1а Внутреннее распределение контактных сил и парных напряжений на перепаде внутренней поверхности в сплошной среде в результате взаимодействия двух частей сплошной среды, разделенных поверхностью ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle S}$

Рисунок 2.1б Внутреннее распределение контактных сил и парных напряжений на перепаде внутренней поверхности в сплошной среде в результате взаимодействия двух частей сплошной среды, разделенных поверхностью ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle S}$

Рисунок 2.1c Вектор напряжений на внутренней поверхности S с вектором нормали n. В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязательно может быть перпендикулярен этой плоскости, т. е. параллелен , и может быть разделен на две составляющие: одну составляющую, нормальную к плоскости, называемую нормальным напряжением , и другую составляющую, параллельную эта плоскость называется напряжением сдвига . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$ ${\displaystyle \tau }$

Принцип напряжений Эйлера-Коши гласит , что на любой поверхности (реальной или воображаемой), разделяющей тело, действие одной части тела на другую эквивалентно (эквивалентно) системе распределенных сил и пар на поверхности, разделяющей тело. body , ^[2] и оно представлено полем , называемым вектором тяги , определенным на поверхности и предполагаемым, что оно непрерывно зависит от единичного вектора поверхности . ^{[3] [4] : стр.66–96.} ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Чтобы сформулировать принцип напряжения Эйлера-Коши, рассмотрим воображаемую поверхность , проходящую через внутреннюю материальную точку , разделяющую непрерывное тело на два сегмента, как показано на рисунках 2.1a или 2.1b (можно использовать либо диаграмму плоскости сечения, либо диаграмму с произвольный объём внутри континуума, окруженного поверхностью ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

Следуя классической динамике Ньютона и Эйлера , движение материального тела производится действием внешних сил , которые предполагаются двух видов: поверхностные силы и объемные силы . ^[5] Таким образом, общая сила , приложенная к телу или к части тела, может быть выражена как: ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

В этой статье будут обсуждаться только поверхностные силы, поскольку они имеют отношение к тензору напряжений Коши.

Когда тело подвергается воздействию внешних поверхностных сил или контактных сил , следуя уравнениям движения Эйлера , внутренние контактные силы и моменты передаются от точки к точке тела и от одного сегмента к другому через разделительную поверхность из-за механического взаимодействия. контакт одной части континуума с другой (рис. 2.1а и 2.1б). На элементе площади , содержащей , с нормальным вектором , распределение силы равносильно контактной силе, действующей в точке P, и поверхностному моменту . В частности, контактная сила определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}$

где среднее поверхностное сцепление . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

Принцип напряжения Коши утверждает ^{[6] : стр. 47–102} , что по мере того, как становится очень маленьким и стремится к нулю, соотношение становится и вектор напряжения пары исчезает. В конкретных областях механики сплошной среды предполагается, что парное напряжение не исчезает; однако классические разделы механики сплошной среды обращаются к неполярным материалам , которые не учитывают парные напряжения и моменты тела. ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

Результирующий вектор определяется как поверхностная тяга , ^[7] также называемая вектором напряжения , ^[8] тяга , ^[4] или вектор тяги . ^[6] задано в точке , связанной с плоскостью с нормальным вектором : ${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

Это уравнение означает, что вектор напряжения зависит от его местоположения в теле и ориентации плоскости, на которую он действует.

Это означает, что уравновешивающее действие внутренних контактных сил порождает плотность контактных сил или поле тяги Коши ^[5] , которое представляет собой распределение внутренних контактных сил по объему тела в определенной конфигурации тела в данный момент времени . Это не векторное поле, поскольку оно зависит не только от положения конкретной материальной точки, но и от локальной ориентации элемента поверхности, определяемой его вектором нормали . ^[9] ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязательно может быть перпендикулярен этой плоскости, т. е. параллелен , и может быть разделен на две составляющие (рис. 2.1в): ${\displaystyle \mathbf {n} }$

• одно нормаль к плоскости, называемое нормальным напряжением

${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

где - нормальная составляющая силы к дифференциальной зоне ${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} }$ ${\displaystyle dS}$

• а другой, параллельный этой плоскости, называется напряжением сдвига

${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

где – касательная составляющая силы к дифференциальной площади поверхности . Касательное напряжение можно дополнительно разложить на два взаимно перпендикулярных вектора. ${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} }$ ${\displaystyle dS}$

Постулат Коши

Согласно постулату Коши , вектор напряжения остается неизменным для всех поверхностей, проходящих через точку и имеющих один и тот же вектор нормали при , ^{[7] [10]} , т. е. имеющих общую касательную при . Это означает, что вектор напряжения является функцией только вектора нормали и не зависит от кривизны внутренних поверхностей. ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Основная лемма Коши

Следствием постулата Коши является Фундаментальная лемма Коши , ^{[1] [7] [11],} также называемая теоремой взаимности Коши , ^{[12] : стр. 103–130} , которая утверждает, что векторы напряжений, действующие на противоположных сторонах одной и той же поверхности, равны равные по величине и противоположные по направлению. Основная лемма Коши эквивалентна третьему закону движения действия и противодействия Ньютона и выражается как

${\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.}$

Теорема о напряжениях Коши - тензор напряжений

Состояние напряжения в какой-либо точке тела затем определяется всеми векторами напряжения T ^{( n )} , связанными со всеми плоскостями (бесконечное число), которые проходят через эту точку. ^[13] Однако, согласно фундаментальной теореме Коши , ^[11] также называемой теоремой Коши о напряжении , ^[1] просто зная векторы напряжений в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, вектор напряжения в любой другой плоскости, проходящей через эту точку, можно найти через уравнения преобразования координат.

Теорема о напряжении Коши утверждает, что существует тензорное поле второго порядка σ ( x , t), называемое тензором напряжений Коши, независимое от n , такое, что T является линейной функцией от n :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Из этого уравнения следует, что вектор напряжений T ^{( n )} в любой точке P в континууме, связанном с плоскостью с нормальным единичным вектором n , может быть выражен как функция векторов напряжений на плоскостях, перпендикулярных осям координат, т.е. через компоненты σij тензора напряжений σ _.

Чтобы доказать это выражение, рассмотрим тетраэдр с тремя гранями, ориентированными в координатных плоскостях, и с бесконечно малой площадью d A , ориентированной в произвольном направлении, заданном нормальным единичным вектором n (рис. 2.2). Тетраэдр образуется путем разрезания бесконечно малого элемента по произвольной плоскости с единичной нормалью n . Вектор напряжения на этой плоскости обозначается T ^{( n )} . ^{Векторы напряжений} , действующие на грани тетраэдра, обозначаются как T ( ^{e1 ) _, T} ( ^{e2 ) _и T} ( ^{e3 ) _и} по определению являются компонентами _σij тензора напряжений σ . Этот тетраэдр иногда называют тетраэдром Коши . Равновесие сил, т.е. первый закон движения Эйлера (второй закон движения Ньютона), дает:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

Рисунок 2.2. Вектор напряжения, действующий на плоскость с нормальным единичным вектором n .
Примечание о соглашении о знаках: Тетраэдр образуется разрезанием параллелепипеда по произвольной плоскости n . Итак, сила, действующая на плоскость n , является реакцией другой половины параллелепипеда и имеет противоположный знак.

где правая часть представляет собой произведение массы, заключенной в тетраэдре, и его ускорения: ρ — плотность, a — ускорение, h — высота тетраэдра, считая плоскость n основанием. Площадь граней тетраэдра, перпендикулярных осям, можно найти, проецируя d A на каждую грань (с помощью скалярного произведения):

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

а затем подставляя в уравнение, чтобы сократить d A :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

Чтобы рассмотреть предельный случай, когда тетраэдр сжимается в точку, h должен стремиться к 0 (интуитивно плоскость n перемещается вдоль n в сторону O ). В результате правая часть уравнения приближается к 0, поэтому

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

Если предположить, что материальный элемент (рис. 2.3) имеет плоскости, перпендикулярные осям координат декартовой системы координат, векторы напряжений, связанные с каждой из плоскостей элемента, т. е. T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} и T ^{( e ₃₎ )} можно разложить на нормальную составляющую и две сдвиговые составляющие, т.е. составляющие в направлении трех координатных осей. Для частного случая поверхности с нормальным единичным вектором , ориентированным в направлении оси x ₁ , обозначим нормальное напряжение как σ ₁₁ , а два касательных напряжения как σ ₁₂ и σ ₁₃ :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

В индексной записи это

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

Девять компонентов σ _ij векторов напряжений являются компонентами декартова тензора второго порядка, называемого тензором напряжений Коши , который можно использовать для полного определения состояния напряжения в точке и определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

где σ11 , σ22 _и σ33 _— нормальные напряжения , _{а σ12 ,} σ13 , σ21 , σ23 _, σ31 и _σ32 — касательные _{напряжения} . _{_} _ Первый индекс i указывает, что напряжение действует в плоскости, нормальной к оси X _i , а второй индекс j обозначает направление, в котором действует напряжение (Например, σ ₁₂ подразумевает, что напряжение действует в плоскости, которая нормально к 1- _й оси, т. е. X ₁ , и действует вдоль 2 _-й оси, т. е. X ₂ ). Компонент напряжения считается положительным, если он действует в положительном направлении координатных осей и если плоскость, на которой он действует, имеет вектор внешней нормали, указывающий в положительном направлении координат.

Таким образом, используя компоненты тензора напряжений

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Альтернативно, в матричной форме мы имеем

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Представление тензора напряжений Коши в нотации Фойгта использует преимущества симметрии тензора напряжений для выражения напряжения в виде шестимерного вектора формы:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

Обозначение Фойгта широко используется для представления отношений напряжения и деформации в механике твердого тела, а также для повышения эффективности вычислений в программном обеспечении для численной механики конструкций.

Правило преобразования тензора напряжений

Можно показать, что тензор напряжений является контравариантным тензором второго порядка, что является выражением того, как он преобразуется при изменении системы координат. Из x _i -системы в x _i ' -систему компоненты σ _ij в исходной системе преобразуются в компоненты σ _ij ' в новой системе по правилу тензорного преобразования (рис. 2.4):

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

где A — матрица вращения с компонентами a _ij . В матричной форме это

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Рисунок 2.4 Преобразование тензора напряжений

Расширение матричной операции и упрощение членов с использованием симметрии тензора напряжений дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

Круг Мора для напряжений является графическим представлением этой трансформации напряжений.

Нормальные и касательные напряжения

Величина компонента нормального напряжения σ _n любого вектора напряжения T ^{( n )} , действующего на произвольную плоскость с нормальным единичным вектором n в данной точке, в терминах компонентов σ _ij тензора напряжений σ , представляет собой скалярное произведение вектор напряжения и единичный вектор нормали:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} \\&=T_{i}^{(\mathbf {n} )}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.\end{aligned}}}$

Величину составляющей напряжения сдвига τ _n , действующей ортогонально вектору n , можно затем найти с помощью теоремы Пифагора :

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}.}$

Законы баланса - уравнения движения Коши.

Рисунок 4. Сплошное тело в равновесии.

Первый закон движения Коши

Согласно принципу сохранения импульса , если сплошное тело находится в статическом равновесии, можно показать, что компоненты тензора напряжений Коши в каждой материальной точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия:

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}$,

где ${\displaystyle \sigma _{ji,j}=\sum _{j}\partial _{j}\sigma _{ji}}$

Например, для гидростатической жидкости в условиях равновесия тензор напряжений принимает вид:

${\displaystyle {\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}},}$

где – гидростатическое давление, – дельта Кронекера . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\delta _{ij}}\ }$

Второй закон движения Коши

Согласно принципу сохранения углового момента , равновесие требует, чтобы сумма моментов по отношению к произвольной точке была равна нулю, что приводит к выводу, что тензор напряжений симметричен , то есть имеет только шесть независимых компонент напряжений вместо исходного. девять:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$

Однако при наличии парных напряжений, т.е. моментов на единицу объема, тензор напряжений несимметричен. Это также имеет место, когда число Кнудсена близко к единице или континуум представляет собой неньютоновскую жидкость, что может привести к неинвариантным во вращении жидкостям, таким как полимеры . ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

Главные напряжения и инварианты напряжений

Напряженные компоненты на 2D вращающемся элементе . Пример того, как изменяются компоненты напряжений на гранях (краях) прямоугольного элемента при изменении угла его ориентации. Главные напряжения возникают, когда касательные напряжения одновременно исчезают со всех граней. Ориентация, при которой это происходит, дает основные направления . В этом примере, когда прямоугольник горизонтален, напряжения определяются выражением ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}-10&10\\10&15\end{matrix}}\right].}$

В каждой точке нагруженного тела есть по крайней мере три плоскости, называемые главными плоскостями , с векторами нормалей , называемыми главными направлениями , где соответствующий вектор напряжения перпендикулярен плоскости, т. е. параллелен или в том же направлении, что и вектор нормали . и где нет нормальных касательных напряжений . Три напряжения, нормальные к этим главным плоскостям, называются главными напряжениями . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

Компоненты тензора напряжений зависят от ориентации системы координат в рассматриваемой точке. Однако сам тензор напряжений является физической величиной и поэтому не зависит от системы координат, выбранной для его представления. С каждым тензором связаны определенные инварианты , которые также не зависят от системы координат. Например, вектор — это простой тензор первого ранга. В трех измерениях он состоит из трех компонентов. Значение этих компонентов будет зависеть от системы координат, выбранной для представления вектора, но величина вектора является физической величиной (скаляром) и не зависит от декартовой системы координат , выбранной для представления вектора (при условии, что она нормальный ). Аналогично, каждый тензор второго ранга (например, тензоры напряжений и деформаций) имеет три связанные с ним независимые инвариантные величины. Одним из наборов таких инвариантов являются главные напряжения тензора напряжений, которые являются собственными значениями тензора напряжений. Их векторы направления являются главными направлениями или собственными векторами . ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

Вектор напряжения, параллельный нормальному единичному вектору, определяется как: ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} }$

где – константа пропорциональности и в данном конкретном случае соответствует величинам векторов нормальных напряжений или главных напряжений. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

Зная это и , мы имеем ${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$ ${\displaystyle n_{i}=\delta _{ij}n_{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

Это однородная система , т.е. равная нулю, трех линейных уравнений, где – неизвестные. Для получения нетривиального (ненулевого) решения для определительная матрица коэффициентов должна быть равна нулю, т.е. система сингулярна. Таким образом, ${\displaystyle n_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}}$

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

Расширение определителя приводит к характеристическому уравнению

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

Характеристическое уравнение имеет три действительных корня , т.е. не мнимых в силу симметрии тензора напряжений. , и , являются главными напряжениями, функциями собственных значений . Собственные значения являются корнями характеристического многочлена . Главные напряжения уникальны для данного тензора напряжений. Следовательно, из характеристического уравнения коэффициенты , и , называемые первым, вторым и третьим инвариантами напряжений соответственно, всегда имеют одно и то же значение независимо от ориентации системы координат. ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Для каждого собственного значения существует нетривиальное решение для в уравнении . Эти решения представляют собой главные направления или собственные векторы , определяющие плоскость, в которой действуют главные напряжения. Главные напряжения и главные направления характеризуют напряжение в точке и не зависят от ориентации. ${\displaystyle n_{j}}$ ${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$

Система координат с осями, ориентированными по главным направлениям, предполагает, что нормальные напряжения являются главными напряжениями, а тензор напряжений представляется диагональной матрицей:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

Главные напряжения могут быть объединены для формирования инвариантов напряжений , , и . Первый и третий инварианты являются соответственно следом и определителем тензора напряжений. Таким образом, ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

Благодаря своей простоте главная система координат часто бывает полезна при рассмотрении состояния упругой среды в конкретной точке. Главные напряжения часто выражаются в следующем уравнении для оценки напряжений в направлениях x и y или осевых и изгибающих напряжений на детали. ^{[14] : стр. 58–59.} Главные нормальные напряжения затем можно использовать для расчета напряжения фон Мизеса и, в конечном итоге, коэффициента безопасности и запаса прочности.

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Используя только часть уравнения под квадратным корнем , вы получите максимальное и минимальное напряжение сдвига для плюса и минуса. Это показано как:

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Максимальные и минимальные напряжения сдвига

Максимальное напряжение сдвига или максимальное главное напряжение сдвига равно половине разницы между наибольшим и наименьшим главными напряжениями и действует в плоскости, делящей пополам угол между направлениями наибольшего и наименьшего главных напряжений, т. е. плоскости максимальное касательное напряжение ориентировано от плоскостей главных напряжений. Максимальное напряжение сдвига выражается как ${\displaystyle 45^{\circ }}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$

Предполагая, что тогда ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

Когда тензор напряжений не равен нулю, нормальная составляющая напряжения, действующая на плоскость при максимальном сдвиговом напряжении, отлична от нуля и равна

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)}$

Тензор девиатора напряжений

Тензор напряжений можно выразить как сумму двух других тензоров напряжений: ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

1. средний тензор гидростатических напряжений или тензор объемных напряжений или средний тензор нормальных напряжений , который имеет тенденцию изменять объем нагруженного тела; и ${\displaystyle \pi \delta _{ij}}$
2. девиаторная составляющая, называемая тензором девиатора напряжений , , которая имеет тенденцию искажать его. ${\displaystyle s_{ij}}$

Так

${\displaystyle \sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,}$

где среднее напряжение, определяемое формулой ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {1}{3}}I_{1}.\,}$

Давление ( ) обычно определяется как отрицательная одна треть следа тензора напряжений минус любое напряжение, которому способствует расхождение скорости, т.е. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=\lambda \,\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi ,}$

где – константа пропорциональности, – оператор дивергенции , – k :-я декартова координата , – скорость , и – k - я декартова компонента . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle u_{k}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Тензор девиаторных напряжений можно получить вычитанием тензора гидростатических напряжений из тензора напряжений Коши:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

Инварианты тензора девиатора напряжений

Поскольку это тензор второго порядка, тензор девиатора напряжений также имеет набор инвариантов , которые можно получить с помощью той же процедуры, которая используется для расчета инвариантов тензора напряжений. Можно показать, что главные направления тензора девиатора напряжений совпадают с главными направлениями тензора напряжений . Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{3}=0,}$

где и – первый, второй и третий девиаторные инварианты напряжений соответственно. Их значения одинаковы (инвариантны) независимо от ориентации выбранной системы координат. Эти девиаторные инварианты напряжений могут быть выражены как функция компонентов или его главных значений , , и , или, альтернативно, как функция или его главных значений , , и . Таким образом, ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s_{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\\[3pt]J_{2}&={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ji}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {s}}^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\frac {1}{3}}I_{1}^{2}-I_{2}={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right],\\[3pt]J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\frac {1}{3}}s_{ij}s_{jk}s_{ki}={\frac {1}{3}}{\text{tr}}\left({\boldsymbol {s}}^{3}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(s_{1}^{3}+s_{2}^{3}+s_{3}^{3}\right)\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\frac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}={\frac {1}{3}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{3})-\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+{\frac {2}{9}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{3}\right].\,\end{aligned}}}$

Поскольку тензор девиатора напряжений находится в состоянии чистого сдвига. ${\displaystyle s_{kk}=0}$

В механике твердого тела обычно используется величина, называемая эквивалентным напряжением или напряжением фон Мизеса . Эквивалентное напряжение определяется как

${\displaystyle \sigma _{\text{vM}}={\sqrt {3\,J_{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}~\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}\,.}$

Октаэдрические напряжения

Рисунок 6. Октаэдрические плоскости напряжений

Рассматривая главные направления как оси координат, плоскость, нормальный вектор которой составляет равные углы с каждой из главных осей (т. е. имеющая направляющие косинусы, равные ), называется октаэдрической плоскостью . Всего имеется восемь октаэдрических плоскостей (рис. 6). Нормальная и сдвиговая компоненты тензора напряжений на этих плоскостях называются октаэдрическим нормальным напряжением и октаэдрическим сдвиговым напряжением соответственно. Октаэдрическая плоскость, проходящая через начало координат, известна как π-плоскость ( π не путать со средним напряжением, обозначенным π в разделе выше) . На π-плоскости , . ${\displaystyle |1/{\sqrt {3}}|}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{oct}}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$ ${\textstyle s_{ij}={\frac {1}{3}}I}$

Зная, что тензор напряжений точки О (рис. 6) в главных осях равен

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

тогда вектор напряжения на октаэдрической плоскости определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\text{oct}}^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$

Нормальная составляющая вектора напряжения в точке О, связанная с октаэдрической плоскостью, равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{oct}}&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\frac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}$

что является средним нормальным напряжением или гидростатическим напряжением. Это значение одинаково во всех восьми октаэдрических плоскостях. Тогда напряжение сдвига в октаэдрической плоскости равно

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Анализ критической плоскости

Примечания

1. Подробно:

   ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {e} )}&T_{2}^{(\mathbf {e} )}&T_{3}^{(\mathbf {e} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Рекомендации

1. Фритьов Иргенс (2008), «Механика сплошных сред». Спрингер. ISBN  3-540-74297-2
2. Трусделл, К .; Тупен, Р.А. (1960), «Классические теории поля», в книге Флюгге, Зигфрид (ред.), Принципы классической механики и теории поля / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie , Handbuch der Physik (Энциклопедия физики), том. III/1, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 226–793, Бибкод : 1960HDP.....2.....F, doi : 10.1007/978-3-642-45943-6 , ISBN 978-3-540-02547-4, МР  0118005, Збл  0118.39702.
3. Питер Чедвик (1999), «Механика сплошной среды: краткая теория и проблемы». Dover Publications, серия «Книги по физике». ISBN 0-486-40180-4 . страницы 
4. Юань-чэн Фунг и Пин Тонг (2001) «Классическая и вычислительная механика твердого тела». Всемирная научная. ISBN 981-02-4124-0 
5. Смит и Трусделл стр.97
6. Г. Томас Мейс и Джордж Э. Мейс (1999), «Механика сплошных сред для инженеров» (2-е издание). ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-1855-6 
7. И-Ши Лю (2002), «Механика сплошных сред». ISBN Спрингера 3-540-43019-9 
8. Хан-Чин Ву (2005), «Механика сплошной среды и пластичность». ЦРК Пресс. ISBN 1-58488-363-4 
9. Люблинер
10. Басар
11. Теодор М. Атанакович и Ардешир Гуран (2000), «Теория упругости для ученых и инженеров». Спрингер. ISBN 0-8176-4072-X 
12. Кейт Д. Хьельмстад (2005), «Основы строительной механики» (2-е издание). Прентис-Холл. ISBN 0-387-23330-X 
13. Вай-Фах Чен и Да-Цзянь Хан (2007), «Пластичность для инженеров-строителей». ISBN издательства Дж. Росс 1-932159-75-4 
14. Бернард Хэмрок (2005), «Основы элементов машин». МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-297682-9 
15. Рабиндранат Чаттерджи (1999), «Математическая теория механики сплошных сред». Альфа Наука. ISBN 81-7319-244-8 
16. Джон Конрад Джегер, Н.Г.В. Кук и Р.В. Циммерман (2007), «Основы механики горных пород» (4-е издание). Уайли-Блэквелл. ISBN 0-632-05759-9 
17. Мохаммед Амин (2005), «Вычислительная эластичность: теория упругости, методы конечных и граничных элементов» (книга). Альфа Наука, ISBN 1-84265-201-X 
18. Уильям Прагер (2004), «Введение в механику сплошной среды». Дуврские публикации. ISBN 0-486-43809-0