Гибка

Деформация, вызванная внешней нагрузкой

Изгиб двутавровой балки

В прикладной механике изгиб ( также известный как изгиб ) характеризует поведение тонкого элемента конструкции , подвергающегося внешней нагрузке , приложенной перпендикулярно продольной оси элемента.

Предполагается, что структурный элемент таков, что по крайней мере один из его размеров составляет небольшую долю, обычно 1/10 или меньше, от двух других. ^[1] Если длина значительно превышает ширину и толщину, элемент называется балкой . Например, штанга шкафа , провисающая под тяжестью одежды на вешалках , является примером изгиба балки. С другой стороны, оболочка — это конструкция любой геометрической формы, длина и ширина которой имеют один и тот же порядок, но толщина конструкции (известная как «стенка») значительно меньше. Примером изгибаемой оболочки является короткая трубка большого диаметра, но с тонкими стенками, опирающаяся на концы и нагруженная с боков.

В отсутствие уточнения термин «изгиб» неоднозначен, поскольку изгиб может происходить локально во всех объектах. Поэтому, чтобы сделать использование этого термина более точным, инженеры относятся к конкретному объекту, например; изгиб стержней , ^[2] изгиб балок , ^[1] изгиб пластин , ^[3] изгиб оболочек ^[2] и так далее.

Квазистатический изгиб балок

Балка деформируется и внутри нее возникают напряжения при приложении к ней поперечной нагрузки. В квазистатическом случае предполагается, что величина изгибного прогиба и возникающие напряжения не меняются со временем. В горизонтальной балке, поддерживаемой на концах и нагруженной вниз посередине, материал на внешней стороне балки сжимается, а материал на нижней стороне растягивается. Существует две формы внутренних напряжений, вызванных боковыми нагрузками:

• Касательное напряжение , параллельное боковой нагрузке, плюс дополнительное касательное напряжение в плоскостях, перпендикулярных направлению нагрузки;
• Прямое сжимающее напряжение в верхней части балки, применимое в основном к цементобетонным элементам и,
• Прямое растягивающее напряжение , применимое к стальным элементам, находится в нижней части балки.

Эти последние две силы образуют пару или момент , поскольку они равны по величине и противоположны по направлению. Этот изгибающий момент противостоит деформации провисания, характерной для балки, испытывающей изгиб. Распределение напряжений в балке можно спрогнозировать достаточно точно, если использовать некоторые упрощающие допущения. ^[1]

Теория изгиба Эйлера – Бернулли

Элемент изогнутой балки: волокна образуют концентрические дуги, верхние волокна сжаты, а нижние растянуты.

Изгибающие моменты в балке

В теории тонких балок Эйлера-Бернулли основным предположением является то, что «плоские сечения остаются плоскими». Другими словами, любая деформация, вызванная сдвигом по сечению, не учитывается (нет деформации сдвига). Кроме того, это линейное распределение применимо только в том случае, если максимальное напряжение меньше предела текучести материала. Информацию о напряжениях, превышающих предел текучести, см. в статье «Пластический изгиб» . При текучести максимальное напряжение, испытываемое в сечении (в самых дальних точках от нейтральной оси балки), определяется как прочность на изгиб .

Рассмотрим балки, для которых выполняются следующие условия:

• Изначально балка прямая и тонкая, а любое сужение незначительно.
• Материал изотропен (или ортотропен ), линейно упруг и однороден в любом сечении (но не обязательно по длине).
• Учитываются только небольшие отклонения.

В этом случае уравнение, описывающее прогиб балки ( ), можно аппроксимировать следующим образом: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$

где вторая производная его отклоненной формы по интерпретируется как его кривизна, – модуль Юнга , – момент инерции площади поперечного сечения, – внутренний изгибающий момент в балке. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$

Если, кроме того, балка также однородна по своей длине, не имеет конической формы (т.е. постоянного поперечного сечения) и прогибается под действием приложенной поперечной нагрузки , можно показать, что: ^[1] ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

Это уравнение Эйлера – Бернулли для изгиба балки.

После получения решения о перемещении балки изгибающий момент ( ) и поперечная сила ( ) в балке можно рассчитать по соотношениям ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}$

Простой изгиб балки часто анализируется с помощью уравнения балки Эйлера – Бернулли. Условия использования простой теории изгиба: ^[4]

1. Балка подвержена чистому изгибу . Это означает, что поперечная сила равна нулю и что скручивающие или осевые нагрузки отсутствуют.
2. Материал изотропен (или ортотропен ) и однороден .
3. Материал подчиняется закону Гука (он линейно упругий и не деформируется пластически).
4. Балка изначально прямая и имеет постоянное поперечное сечение по всей длине балки.
5. Балка имеет ось симметрии в плоскости изгиба.
6. Пропорции балки таковы, что она выйдет из строя из-за изгиба, а не из-за смятия, сморщивания или коробления вбок .
7. Сечения балки при изгибе остаются плоскими.

Прогиб симметрично отклоненной балки и принцип суперпозиции

При изгибающих нагрузках в направлении оси балки развиваются сжимающие и растягивающие силы. Эти силы вызывают напряжения в балке. Максимальное сжимающее напряжение наблюдается у самого верхнего края балки, а максимальное растягивающее напряжение — у нижнего края балки. Поскольку напряжения между этими двумя противоположными максимумами изменяются линейно , на линейном пути между ними существует точка, в которой нет изгибающего напряжения. Местом расположения этих точек является нейтральная ось. Из-за этой области без напряжения и прилегающих областей с низким напряжением использование балок с одинаковым поперечным сечением при изгибе не является особенно эффективным средством выдерживания нагрузки, поскольку при этом не используется полная мощность балки до тех пор, пока она не окажется на грани крах. Широкополочные балки ( двутавровые балки ) и ферменные балки эффективно устраняют эту неэффективность, поскольку минимизируют количество материала в этой недостаточно напряженной области.

Классическая формула для определения изгибающего напряжения в балке при простом изгибе: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}$

где

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$это изгибающее напряжение
• ${\displaystyle M_{z}}$– момент относительно нейтральной оси
• ${\displaystyle y}$– перпендикулярное расстояние к нейтральной оси
• ${\displaystyle I_{z}}$– второй момент площади относительно нейтральной оси z .
• ${\displaystyle W_{z}}$- Момент сопротивления относительно нейтральной оси z . ${\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}$

Расширение теории изгиба балки Эйлера-Бернулли

Гибка пластика

Уравнение справедливо только тогда, когда напряжение в крайнем волокне (т. е. в части балки, наиболее удаленной от нейтральной оси) ниже предела текучести материала, из которого оно изготовлено. При более высоких нагрузках распределение напряжений становится нелинейным, и пластичные материалы в конечном итоге перейдут в пластическое шарнирное состояние, в котором величина напряжения равна пределу текучести повсюду в балке, с разрывом на нейтральной оси, где напряжение изменяется от от растяжения до сжатия. Это пластическое шарнирное состояние обычно используется в качестве предельного состояния при проектировании стальных конструкций. ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}$

Сложный или асимметричный изгиб

Приведенное выше уравнение справедливо только в том случае, если поперечное сечение симметрично. Для однородных балок с несимметричными сечениями максимальное напряжение изгиба в балке определяется выражением

${\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}$^[6]

где - координаты точки поперечного сечения, в которой должно быть определено напряжение, как показано справа, - изгибающие моменты вокруг осей центроидов y и z , - вторые моменты площади (отличные от моментов инерция) относительно осей y и z и является произведением моментов площади . Используя это уравнение, можно рассчитать напряжение изгиба в любой точке поперечного сечения балки независимо от ориентации момента или формы поперечного сечения. Обратите внимание, что не следует переходить от одной точки сечения к другой. ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle M_{y}}$ ${\displaystyle M_{z}}$ ${\displaystyle I_{y}}$ ${\displaystyle I_{z}}$ ${\displaystyle I_{yz}}$ ${\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}$

Большая деформация изгиба

При больших деформациях тела напряжение в поперечном сечении рассчитывают по расширенному варианту этой формулы. Прежде всего необходимо сделать следующие предположения:

1. Допущение плоских сечений – до и после деформации рассматриваемое сечение тела остается плоским (т.е. не закрученным).
2. Касательные и нормальные напряжения в этом сечении, перпендикулярные вектору нормали поперечного сечения, не влияют на нормальные напряжения, параллельные этому сечению.

Учет больших изгибов следует учитывать, когда радиус изгиба меньше десяти высот сечения h: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho <10h.}$

С учетом этих допущений напряжение при большом изгибе рассчитывается как:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}$

где

${\displaystyle F}$это нормальная сила

${\displaystyle A}$это площадь сечения

${\displaystyle M}$это изгибающий момент

${\displaystyle \rho }$— местный радиус изгиба (радиус изгиба на текущем участке)

${\displaystyle {{I_{x}}'}}$- момент инерции площади вдоль оси x в данном месте (см. теорему Штейнера ) ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y}$— положение по оси y на площади сечения, в которой рассчитывается напряжение . ${\displaystyle \sigma }$

Когда радиус изгиба приближается к бесконечности и , исходная формула возвращается: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle y\ll \rho }$

${\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}$.

Теория изгиба Тимошенко

Деформация балки Тимошенко. Нормаль поворачивается на величину , не равную . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle dw/dx}$

В 1921 году Тимошенко усовершенствовала теорию балок Эйлера-Бернулли, добавив в уравнение балки эффект сдвига. Кинематические предположения теории Тимошенко таковы:

• нормали к оси балки после деформации остаются прямыми
• толщина балки после деформации не изменяется

Однако нормали к оси не обязаны оставаться перпендикулярными оси после деформации.

Уравнение квазистатического изгиба линейно-упругой изотропной однородной балки постоянного сечения при этих предположениях имеет вид ^[7]

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

где - момент инерции площади поперечного сечения, - площадь поперечного сечения, - модуль сдвига , - поправочный коэффициент сдвига , - приложенная поперечная нагрузка. Для материалов с коэффициентами Пуассона ( ) близкими к 0,3 поправочный коэффициент сдвига для прямоугольного сечения примерно равен ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}$

Вращение ( ) нормали описывается уравнением ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}$

Изгибающий момент ( ) и поперечная сила ( ) определяются выражением ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}$

Балки на упругом фундаменте

Балки на упругих основаниях можно объяснить согласно теориям Эйлера-Бернулли, Тимошенко или другим теориям изгиба. В некоторых применениях, таких как железнодорожные пути, фундаменты зданий и машин, корабли на воде, корни растений и т. д., балка, подвергающаяся нагрузкам, поддерживается на непрерывных упругих основаниях (т. е. непрерывные реакции, возникающие из-за внешней нагрузки, распределяются по длине луч) ^{[8] [9] [10] [11]}

Автомобиль пересекает мост (балка частично опирается на упругий фундамент, распределение изгибающего момента)

Динамический изгиб балок

Динамический изгиб балок, ^[12] также известный как изгибные колебания балок, был впервые исследован Даниэлем Бернулли в конце 18 века. Уравнение движения колеблющейся балки Бернулли имело тенденцию переоценивать собственные частоты балок и было незначительно улучшено Рэлеем в 1877 году путем добавления вращения в средней плоскости. В 1921 году Стивен Тимошенко еще больше усовершенствовал теорию, включив влияние сдвига на динамическую реакцию изгибающихся балок. Это позволило использовать теорию для решения задач, связанных с высокими частотами вибрации, где динамическая теория Эйлера – Бернулли неадекватна. Теории Эйлера-Бернулли и Тимошенко о динамическом изгибе балок продолжают широко использоваться инженерами.

Теория Эйлера – Бернулли

Уравнение Эйлера-Бернулли для динамического изгиба тонких изотропных однородных балок постоянного поперечного сечения под действием приложенной поперечной нагрузки имеет вид ^[7] ${\displaystyle q(x,t)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}$

где – модуль Юнга, – момент инерции площади поперечного сечения, – прогиб нейтральной оси балки, – масса единицы длины балки. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle w(x,t)}$ ${\displaystyle m}$

Бесплатные вибрации

Для ситуации, когда поперечная нагрузка на балку отсутствует, уравнение изгиба принимает вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}$

Тогда свободные гармонические колебания балки можно выразить как

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}$

и уравнение изгиба можно записать как

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}$

Общее решение приведенного выше уравнения есть

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

где константы и ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$ ${\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}$

Теория Тимошенко – Рэлея

В 1877 году Рэлей предложил усовершенствовать динамическую теорию балки Эйлера – Бернулли, включив в нее эффект инерции вращения поперечного сечения балки. Тимошенко усовершенствовала эту теорию в 1922 году, добавив эффект сдвига в уравнение пучка. Сдвиговые деформации нормали к средней поверхности балки допускаются в теории Тимошенко – Рэлея.

Уравнение изгиба линейно-упругой изотропной однородной балки постоянного сечения при этих предположениях имеет вид ^{[7] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

где - полярный момент инерции поперечного сечения, - масса на единицу длины балки, - плотность балки, - площадь поперечного сечения, - модуль сдвига, - поправочный коэффициент сдвига . Для материалов с коэффициентами Пуассона ( ) близкими к 0,3 коэффициент поправки на сдвиг примерно равен ${\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}$ ${\displaystyle m=\rho A}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}$

Бесплатные вибрации

Для свободных, гармонических колебаний уравнения Тимошенко–Рэлея принимают вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}$

Это уравнение можно решить, заметив, что все производные должны иметь одинаковую форму, чтобы их можно было сократить, и, следовательно, можно ожидать решения этой формы. Это наблюдение приводит к характеристическому уравнению ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{kx}}$

${\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}$

Решения этого уравнения четвертой степени :

${\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}$

где

${\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}$

Тогда общее решение уравнения балки Тимошенко-Рэлея для свободных колебаний можно записать как

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}$

Квазистатический изгиб пластин.

Деформация тонкой пластины с выделением смещения средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)

Отличительной особенностью балок является то, что один из размеров намного больше двух других. Конструкция называется пластиной, если она плоская и один из ее размеров значительно меньше двух других. Существует несколько теорий, пытающихся описать деформацию и напряжение в пластине под действием приложенных нагрузок, две из которых широко используются. Это

• теория пластин Кирхгофа – Лява (также называемая классической теорией пластин)
• теория пластин Миндлина – Рейснера (также называемая теорией сдвига пластин первого порядка)

Теория пластин Кирхгофа – Лява.

Предположения теории Кирхгофа – Лява таковы.

• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, после деформации остаются прямыми
• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, после деформации остаются нормальными к срединной поверхности
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Эти предположения подразумевают, что

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

где – смещение точки пластины, – смещение срединной поверхности. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle w^{0}}$

Соотношения деформации-перемещения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Уравнения равновесия:

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

где – приложенная нагрузка, нормальная к поверхности пластины. ${\displaystyle q(x)}$

В терминах перемещений уравнения равновесия изотропной линейно-упругой пластины в отсутствие внешней нагрузки можно записать в виде

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

В прямой тензорной записи

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

Теория пластин Миндлина – Рейсснера

Специальное предположение этой теории состоит в том, что нормали к срединной поверхности остаются прямыми и нерастяжимыми, но не обязательно нормальны к срединной поверхности после деформации. Перемещения пластины определяются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

где повороты нормали. ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

Соотношения деформации-перемещения, вытекающие из этих предположений, имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

где – поправочный коэффициент сдвига. ${\displaystyle \kappa }$

Уравнения равновесия:

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}$

Динамический изгиб пластин

Динамика тонких пластинок Кирхгофа

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах, исследование стоячих волн и режимов колебаний. Уравнения, управляющие динамическим изгибом пластин Кирхгофа:

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

где для пластины с плотностью ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}$

и

${\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}$

На рисунках ниже показаны некоторые формы колебаний круглой пластины.

• 
  режим к = 0, р = 1
• 
  режим к = 0, р = 2
• 
  режим к = 1, р = 2

Смотрите также

• Изгибающий момент
• Гибочный станок (гибка плоского металла)
• Тормоз (гибка листового металла)
• Эффект жаровни
• Гибка пластин
• Гибка (металлообработка)
• Механика сплошных сред
• Контрафлексура
• Прогиб (инженерия)
• Гибкий подшипник
• Список моментов инерции площади
• Гибка труб

• Диаграмма сдвига и момента
• Прочность на сдвиг
• Теория сэндвича
• Вибрация
• Вибрация пластин

Рекомендации

1. Boresi, AP и Шмидт, RJ и Сайдботтом, OM, 1993, Передовая механика материалов , John Wiley and Sons, Нью-Йорк.
2. Либай А. и Симмондс Дж. Г., 1998, Нелинейная теория упругих оболочек , Издательство Кембриджского университета.
3. Тимошенко С. и Войновский-Кригер С., 1959, Теория пластин и оболочек , McGraw-Hill.
4. Шигли Дж., «Проектирование машиностроения», стр. 44, международное издание, паб McGraw Hill, 1986, ISBN  0-07-100292-8
5. Гир, Дж. М. и Тимошенко, С. П., 1997, Механика материалов , Издательство PWS.
6. Кук и Янг, 1995, Передовая механика материалов, Macmillan Publishing Company: Нью-Йорк.
7. Thomson, WT, 1981, Теория вибрации с приложениями.
8. ХЕТЕНИ, Миклош (1946). Балки на эластичном фундаменте . Анн-Арбор, Мичиганский университет, США.
9. МЕЛЕРСКИЙ, Э., С. (2006). Расчетный анализ балок, круглых пластин и цилиндрических резервуаров на упругих фундаментах (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Группа Тейлора и Фрэнсиса. п. 284. ИСБН 978-0-415-38350-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. ЦУДИК, Э. Анализ балок и рам на упругом фундаменте . США: Траффорд Паблишинг. п. 248. ИСБН 1-4120-7950-0.
11. ФРИДРЁШЕК, Карел; Тврда, Катарина; Янчо, Роланд; и другие. (2013). Справочник по конструкциям на эластичном фундаменте (1-е изд.). Острава, Чехия: VSB - Технический университет Остравы. стр. 1–1691. ISBN 978-80-248-3238-8.
12. Хан, С.М., Бенароя, Х. и Вэй, Т., 1999, «Динамика поперечно вибрирующих балок с использованием четырех инженерных теорий», Journal of Sound and Vibration , vol. 226, нет. 5, стр. 935–988.
13. Розингер, Х.Э. и Ричи, И.Г., 1977, О поправке Тимошенко на сдвиг в вибрирующих изотропных балках, J. Phys. Д: Прил. Физика, вып. 10, стр. 1461–1466.

Внешние ссылки

• Формулы изгиба
• Напряжения и прогиб балки, таблицы прогиба балки