Гипоэластичный материал

В механике сплошной среды гипоупругий материал ^[1] — это упругий материал, конститутивная модель которого не зависит от конечных мер деформации, за исключением линеаризованного случая. Модели гипоупругого материала отличаются от моделей гиперупругого материала (или стандартных моделей упругости) тем, что, за исключением особых обстоятельств, они не могут быть получены из функции плотности энергии деформации .

Обзор

Гипоупругий материал можно строго определить как материал, который моделируется с использованием определяющего уравнения , удовлетворяющего следующим двум критериям: ^[2]

1. Напряжение Коши во времени зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости прохождения этих прошлых конфигураций. В качестве частного случая этот критерий включает упругий материал Коши , для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle t}$
2. Существует тензорная функция такая, что ${\displaystyle G}$
   $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}$$
   где – скорость материала тензора напряжений Коши, – тензор градиента пространственной скорости . ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$

Если для определения гипоэластичности используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включена как особый случай, что побудит некоторых разработчиков конститутивного моделирования добавить третий критерий, который конкретно требует, чтобы гипоэластичная модель не была гиперэластичной (т. е. гипоэластичность подразумевает, что напряжение не выводимая из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, из этого следует, что гипоэластичный материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагружения, которые начинаются и заканчиваются с одним и тем же градиентом деформации , но не начинаются и не заканчиваются с одинаковой внутренней энергией.

Обратите внимание, что второй критерий требует только существования функции . Как поясняется ниже, в конкретных формулировках гипоэластичных моделей обычно используется так называемая объективная скорость напряжения , так что эта функция существует только неявно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Модели гипоупругих материалов часто принимают форму

$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldsymbol {d}}}$$

напряжения Кирхгофатензор скорости деформацииградиента деформации^[3] ${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}:=J{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]}$ ${\displaystyle {\mathsf {M}}}$

Гипоэластичность и объективные уровни напряжения

Во многих практических задачах механики твердого тела достаточно охарактеризовать деформацию материала тензором малых (или линеаризованных) деформаций

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})}$$

${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,3)}$ ${\displaystyle u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}}$

1. большие нелинейные упругие деформации, обладающие потенциальной энергией (проявляемые, например, резиной), в которых компоненты тензора напряжений получаются как частные производные по компонентам тензора конечных деформаций; и ${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})}$ ${\displaystyle W}$
2. неупругие деформации, не обладающие потенциалом, в которых зависимость напряжения от деформации определяется постепенно.

В первом случае подходит формулировка полной деформации, описанная в статье по теории конечных деформаций . В последнем случае необходима инкрементная (или скоростная) формулировка, которая должна использоваться на каждом шаге нагрузки или временном шаге компьютерной программы конечных элементов с использованием обновленной лагранжевой процедуры. Отсутствие потенциала ставит сложные вопросы из-за свободы выбора конечной меры деформации и характеристики скорости напряжения.

Для достаточно малого шага (или приращения) нагружения можно использовать тензор скорости деформации (или деформации скорости)

$${\displaystyle d_{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})}$$

$${\displaystyle \Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t}$$

${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v_{i}={\dot {u}}_{i}}$

Однако было бы необъективно использовать производную по времени от напряжения Коши (или истинного) напряжения . Это напряжение, которое описывает силы, действующие на небольшой материальный элемент, который, как предполагается, вырезается из деформированного в данный момент материала, не является объективным, поскольку оно меняется в зависимости от вращения твердого тела материала. Точки материала должны характеризоваться своими начальными координатами (называемыми лагранжианом), поскольку в элементе, который вырезается (в одном и том же месте) до и после дополнительной деформации, содержатся разные частицы материала. ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Следовательно, необходимо ввести так называемый объективный коэффициент напряжения , или соответствующий прирост . Объективность необходима для функциональной связи с деформацией элемента. Это означает, что оно должно быть инвариантным относительно преобразований координат (в частности, вращения) и должно характеризовать состояние одного и того же материального элемента при его деформации. ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }}_{ij}\Delta t}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$

Смотрите также

• Стрессовые меры
• Гиперэластичный материал
• Объективные показатели стресса
• Принцип материальной объективности
• Теория конечной деформации
• Теория бесконечно малых деформаций

Примечания

1. Трусделл (1963).
2. Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные теории поля в механике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ИСБН 3-540-02779-3.
3. Брэннон, РМ (1998). «Предостережения относительно мер сопряженных напряжений и деформаций для безразличной к каркасу анизотропной упругости». Акта Механика . Том. 129. стр. 107–116.

Библиография

• Трусделл, Клиффорд (1963), «Замечания о гипоэластичности», Исследовательский журнал Национального бюро стандартов, раздел B , 67B (3): 141–143.