Ягненок сдвиг

Разница в энергии электронных состояний водородоподобного атома, не предсказываемая уравнением Дирака

Тонкая структура энергетических уровней водорода – релятивистские поправки к модели Бора

В физике сдвиг Лэмба , названный в честь Уиллиса Лэмба , представляет собой аномальную разницу в энергии между двумя электронными орбиталями в атоме водорода . Разница не была предсказана теорией и не может быть выведена из уравнения Дирака , которое предсказывает одинаковые энергии. Следовательно, сдвиг Лэмба представляет собой отклонение от теории, наблюдаемое в различных энергиях, содержащихся в ² S _1/2 и ² P _1/2 орбиталях атома водорода.

Сдвиг Лэмба вызван взаимодействием между виртуальными фотонами, созданными посредством флуктуаций энергии вакуума , и электроном, движущимся вокруг ядра водорода на каждой из этих двух орбиталей. Сдвиг Лэмба с тех пор сыграл значительную роль посредством флуктуаций энергии вакуума в теоретическом предсказании излучения Хокинга от черных дыр .

Этот эффект был впервые измерен в 1947 году в эксперименте Лэмба-Резерфорда на микроволновом спектре водорода ^[1] , и это измерение дало стимул для теории перенормировки, чтобы справиться с расходимостями. Это было предвестником современной квантовой электродинамики, разработанной Джулианом Швингером , Ричардом Фейнманом , Эрнстом Штюкельбергом , Син-Итиро Томонагой и Фрименом Дайсоном . Лэмб получил Нобелевскую премию по физике в 1955 году за свои открытия, связанные со сдвигом Лэмба.

Важность

В 1978 году, в 65-й день рождения Лэмба, Фримен Дайсон обратился к нему со следующими словами: «Те годы, когда сдвиг Лэмба был центральной темой физики, были золотыми годами для всех физиков моего поколения. Вы были первым, кто увидел, что этот крошечный сдвиг, столь неуловимый и трудноизмеримый, прояснит наши представления о частицах и полях». ^[2]

Вывод

Этот эвристический вывод электродинамического сдвига уровня следует подходу Теодора А. Велтона . ^{[3] [4]}

Флуктуации в электрических и магнитных полях, связанных с вакуумом QED, возмущают электрический потенциал , обусловленный атомным ядром . Это возмущение вызывает флуктуацию в положении электрона , что объясняет сдвиг энергии. Разность потенциальной энергии определяется как

${\displaystyle \Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r}})+\cdots }$

Так как колебания изотропны ,

${\displaystyle \langle \delta {\vec {r}}\rangle _{\rm {vac}}=0,}$

${\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}\rangle _{\rm {vac}}={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\nabla ^{2}.}$

Таким образом, можно получить

${\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {1}{6}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}.}$

Классическое уравнение движения для смещения электрона ( δr ) _{k → ,} вызванного одной модой поля волнового вектора k → и частотой ν, имеет вид

${\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\delta r)_{\vec {k}}=-eE_{\vec {k}},}$

и это справедливо только тогда, когда частота ν больше ν ₀ на орбите Бора, . Электрон не способен реагировать на флуктуирующее поле, если флуктуации меньше естественной орбитальной частоты в атоме. ${\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}$

Для поля, колеблющегося при ν ,

${\displaystyle \delta r(t)\cong \delta r(0)(e^{-i\nu t}+e^{i\nu t}),}$

поэтому

${\displaystyle (\delta r)_{\vec {k}}\cong {\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}E_{\vec {k}}={\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}{\mathcal {E}}_{\vec {k}}\left(a_{\vec {k}}e^{-i\nu t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+h.c.\right)\qquad {\text{with}}\qquad {\mathcal {E}}_{\vec {k}}=\left({\frac {\hbar ck/2}{\epsilon _{0}\Omega }}\right)^{1/2},}$

где — некоторый большой нормировочный объем (объем гипотетического «ящика», содержащего атом водорода), а обозначает эрмитово сопряжение предыдущего члена. Суммируя по всем ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h.c.}$ ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left\langle 0\left|(E_{\vec {k}})^{2}\right|0\right\rangle \\&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)\\&=2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}4\pi \int dkk^{2}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)&&{\text{since continuity of }}{\vec {k}}{\text{ implies }}\sum _{\vec {k}}\to 2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k\\&={\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dk}{k}}\end{aligned}}}$

Этот результат расходится, когда нет ограничений относительно интеграла (как на больших, так и на малых частотах). Как упоминалось выше, этот метод, как ожидается, будет действителен только когда , или эквивалентно . Он также действителен только для длин волн, превышающих длину волны Комптона , или эквивалентно . Поэтому можно выбрать верхний и нижний предел интеграла, и эти пределы заставят результат сходитьсья. ${\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}$ ${\displaystyle k>\pi /a_{0}}$ ${\displaystyle k<mc/\hbar }$

${\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}}$.

Для атомной орбитали и кулоновского потенциала ,

${\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},}$

так как известно, что

${\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}}).}$

Для p -орбиталей нерелятивистская волновая функция исчезает в начале координат (в ядре), поэтому сдвига энергии нет. Но для s -орбиталей есть некоторое конечное значение в начале координат,

${\displaystyle \psi _{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}},}$

где радиус Бора равен

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}.}$

Поэтому,

${\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi _{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}}$.

Наконец, разность потенциальной энергии становится:

${\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {4}{3}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}{\frac {1}{8\pi a_{0}^{3}}}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}=\alpha ^{5}mc^{2}{\frac {1}{6\pi }}\ln {\frac {1}{\pi \alpha }},}$

где - постоянная тонкой структуры . Этот сдвиг составляет около 500 МГц, в пределах порядка наблюдаемого сдвига в 1057 МГц. Это равно энергии всего лишь 7,00 x 10^-25 Дж, или 4,37 x 10^-6 эВ. ${\displaystyle \alpha }$

Эвристический вывод Уэлтона сдвига Лэмба похож на расчет дарвиновского члена с использованием Zitterbewegung , но отличается от него, вклад в тонкую структуру , который имеет более низкий порядок, чем сдвиг Лэмба. ^{[5] : 80–81} ${\displaystyle \alpha }$

Эксперимент Лэмба–Резерфорда

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Резерфорд провели эксперимент, используя микроволновые методы для стимуляции радиочастотных переходов между уровнями водорода ² S _1/2 и ² P _{1/2 .} ^[6] Используя более низкие частоты, чем для оптических переходов, можно было пренебречь доплеровским уширением (доплеровское уширение пропорционально частоте). Разница энергий, обнаруженная Лэмбом и Резерфордом, составила подъем примерно на 1000 МГц (0,03 см ⁻¹ ) уровня ² S _1/2 над уровнем ² P _1/2 .

Это особое различие является однопетлевым эффектом квантовой электродинамики и может быть интерпретировано как влияние виртуальных фотонов , которые были испущены и повторно поглощены атомом. В квантовой электродинамике электромагнитное поле квантуется и, как и гармонический осциллятор в квантовой механике , его низшее состояние не равно нулю. Таким образом, существуют небольшие нулевые колебания, которые заставляют электрон совершать быстрые колебательные движения. Электрон «размазывается», и каждое значение радиуса изменяется от r до r + δr (малое, но конечное возмущение).

Кулоновский потенциал, таким образом, возмущен на небольшую величину, и вырождение двух энергетических уровней снимается. Новый потенциал может быть аппроксимирован (используя атомные единицы ) следующим образом:

${\displaystyle \langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .}$

Сам сдвиг Лэмба определяется как

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}\ \mathrm {for} \ \ell =0\,}$

с k ( n , 0) около 13, слегка меняющимся с n , и

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,\ell )\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(\ell +{\frac {1}{2}})}}\right]\ \mathrm {for} \ \ell \neq 0\ \mathrm {and} \ j=\ell \pm {\frac {1}{2}},}$

с log( k ( n ,ℓ)) — небольшим числом (приблизительно −0,05), делающим k ( n ,ℓ) близким к единице.

Для вывода Δ E _Lamb см., например: ^[7]

В спектре водорода

В 1947 году Ганс Бете первым объяснил сдвиг Лэмба в спектре водорода , и таким образом заложил основу для современного развития квантовой электродинамики . Бете смог вывести сдвиг Лэмба, реализовав идею перенормировки массы, что позволило ему рассчитать наблюдаемый сдвиг энергии как разницу между сдвигом связанного электрона и сдвигом свободного электрона. ^[8] В настоящее время сдвиг Лэмба обеспечивает измерение постоянной тонкой структуры α с точностью лучше, чем одна часть на миллион, что позволяет проводить точную проверку квантовой электродинамики .

Смотрите также

• Физический портал

• Потенциал Юлинга , первое приближение к сдвигу Лэмба
• Конференция острова Шелтер
• Эффект Зеемана, используемый для измерения сдвига Лэмба

Ссылки

1. G Aruldhas (2009). "§15.15 Lamb Shift". Квантовая механика (2-е изд.). Prentice-Hall of India Pvt. Ltd. стр. 404. ISBN 978-81-203-3635-3.
2. "Уиллис Э. Лэмб, младший 1913—2008" (PDF) . Биографические мемуары Национальной академии наук : 6. 2009.
3. Марлан Орвил Скалли; Мухаммад Сухайл Зубайри (1997). Квантовая оптика. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. С. 13–16. ISBN 0-521-43595-1.
4. Уэлтон, Теодор А. (1948-11-01). «Некоторые наблюдаемые эффекты квантово-механических флуктуаций электромагнитного поля». Physical Review . 74 (9): 1157–1167. Bibcode : 1948PhRv...74.1157W. doi : 10.1103/PhysRev.74.1157. ISSN  0031-899X.
5. Ициксон, Клод ; Зубер, Жан-Бернар (2012). Квантовая теория поля . Dover Publications. ISBN 9780486134697. OCLC  868270376.
6. Лэмб, Уиллис Э .; Ретерфорд, Роберт К. (1947). «Тонкая структура атома водорода с помощью микроволнового метода». Physical Review . 72 (3): 241–243. Bibcode : 1947PhRv...72..241L. doi : 10.1103/PhysRev.72.241 .
7. Бете, HA; Солпитер, EE (2013) [1957]. "c) Радиационные и другие поправки §21. Тонкая структура и сдвиг Лэмба". Квантовая механика одно- и двухэлектронных атомов . Springer. стр. 103. ISBN 978-3-662-12869-5.
8. Бете, HA (1947). «Электромагнитный сдвиг уровней энергии». Phys. Rev. 72 ( 4): 339–341. Bibcode :1947PhRv...72..339B. doi :10.1103/PhysRev.72.339. S2CID  120434909.

Дальнейшее чтение

• Смирнов, Борис М. (2003). Физика атомов и ионов. Springer. С. 39–41. ISBN 0-387-95550-X.
• Скалли, Миссури ; Зубайри, Миссисипи (1997). "§1.3 Сдвиг Лэмба". Квантовая оптика . Cambridge University Press. стр. 13–16. ISBN 0-521-43595-1.

Внешние ссылки

• Ганс Бете рассказывает о расчетах сдвига Лэмба в Web of Stories
• Нобелевская премия биография Уиллиса Лэмба
• Нобелевская лекция Уиллиса Лэмба: Тонкая структура атома водорода