Тонкая структура

Детали спектра излучения атома

Интерференционные полосы , показывающие тонкую структуру (расщепление) охлажденного источника дейтерия , наблюдаемые через интерферометр Фабри – Перо .

В атомной физике тонкая структура описывает расщепление спектральных линий атомов из-за спина электрона и релятивистских поправок к нерелятивистскому уравнению Шрёдингера . Впервые он был точно измерен для атома водорода Альбертом А. Майкельсоном и Эдвардом В. Морли в 1887 году, ^{[1] [2],} заложив основу для теоретического рассмотрения Арнольда Зоммерфельда , введя константу тонкой структуры . ^[3]

Фон

Валовая структура

Общая структура линейчатых спектров — это структура, предсказанная квантовой механикой нерелятивистских электронов без спина. Для водородного атома уровни энергии грубой структуры зависят только от главного квантового числа n . Однако более точная модель учитывает релятивистские и спиновые эффекты, которые нарушают вырождение энергетических уровней и расщепляют спектральные линии. Масштаб расщепления тонкой структуры относительно общих энергий структуры имеет порядок ( Zα ) ² , где Z — атомный номер , а α — константа тонкой структуры , безразмерное число, равное примерно 1/137.

Релятивистские поправки

Поправки к энергии тонкой структуры можно получить с помощью теории возмущений . Чтобы выполнить этот расчет, необходимо добавить к гамильтониану три корректирующих члена : релятивистскую поправку ведущего порядка к кинетической энергии, поправку, обусловленную спин-орбитальным взаимодействием , и дарвиновский член, возникающий из-за квантового флуктуационного движения или zitterbewegung электрона.

Эти поправки также можно получить из нерелятивистского предела уравнения Дирака , поскольку теория Дирака естественным образом включает в себя теорию относительности и спиновые взаимодействия.

Атом водорода

В этом разделе обсуждаются аналитические решения для атома водорода , поскольку проблема разрешима аналитически и является базовой моделью для расчета уровней энергии в более сложных атомах.

Релятивистская поправка к кинетической энергии

Грубая структура предполагает, что член кинетической энергии гамильтониана принимает ту же форму, что и в классической механике , что для одного электрона означает

$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}+V}$$

Vпотенциальная энергияпокоя электрона ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m_{e}}$

Однако при рассмотрении более точной теории природы с помощью специальной теории относительности мы должны использовать релятивистскую форму кинетической энергии:

$${\displaystyle T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{e}^{2}c^{4}}}-m_{e}c^{2}=m_{e}c^{2}\left[{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m_{e}^{2}c^{2}}}}}-1\right]}$$

энергия покоясвета ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}}+\cdots }$$

Хотя в этой серии бесконечное число членов, последние намного меньше предыдущих, поэтому мы можем игнорировать все, кроме первых двух. Поскольку первый член выше уже является частью классического гамильтониана, поправка первого порядка к гамильтониану равна

$${\displaystyle {\mathcal {H}}'=-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}}}$$

Используя это как возмущение , мы можем вычислить поправки к энергии первого порядка, обусловленные релятивистскими эффектами.

$${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle \psi ^{0}\right\vert {\mathcal {H}}'\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{4}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle }$$

где – невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим ${\displaystyle \psi ^{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}^{0}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\\left({\frac {p^{2}}{2m_{e}}}+V\right)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=2m_{e}(E_{n}-V)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \end{aligned}}}$$

Мы можем использовать этот результат для дальнейшего расчета релятивистской поправки:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert (2m_{e})^{2}(E_{n}-V)^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{2m_{e}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\left\langle V^{2}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$$

Для атома водорода

$${\displaystyle V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}},}$$

$${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle ={\frac {1}{a_{0}n^{2}}},}$$

$${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle ={\frac {1}{(\ell +1/2)n^{3}a_{0}^{2}}},}$$

где - элементарный заряд , - диэлектрическая проницаемость вакуума , - радиус Бора , - главное квантовое число , - азимутальное квантовое число , - расстояние электрона от ядра. Следовательно, релятивистская поправка первого порядка для атома водорода равна ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2m_{e}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}{\frac {e^{4}}{\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)\\&=-{\frac {E_{n}^{2}}{2m_{e}c^{2}}}\left({\frac {4n}{\ell +{\frac {1}{2}}}}-3\right)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle E_{n}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a_{0}n^{2}}}}$$

При окончательном расчете порядок величины релятивистской поправки к основному состоянию равен . ${\displaystyle -9.056\times 10^{-4}\ {\text{eV}}}$

Спин-орбитальная связь

Для водородоподобного атома с протонами ( для водорода), орбитальным угловым моментом и спином электрона спин-орбитальный член определяется выражением: ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=1}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\left({\frac {g_{s}-1}{2m_{e}^{2}c^{2}}}\right){\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}}$$

g-фактор ${\displaystyle g_{s}}$

Спин - орбитальную поправку можно понять, перейдя от стандартной системы отсчета (где электрон вращается вокруг ядра ) к той, где электрон неподвижен, а ядро ​​вместо этого вращается вокруг него. В этом случае орбитальное ядро ​​действует как эффективная токовая петля, которая, в свою очередь, генерирует магнитное поле. Однако сам электрон обладает магнитным моментом благодаря своему собственному угловому моменту . Два магнитных вектора соединяются вместе, так что существует определенная стоимость энергии, зависящая от их относительной ориентации. Это приводит к энергетической коррекции вида ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}}$

$${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {SO} }=\xi (r)\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$

Обратите внимание, что к расчетам необходимо добавить важный коэффициент 2, называемый прецессией Томаса , который возникает из релятивистских расчетов, которые возвращаются к системе координат электрона из системы ядра.

С

$${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {Z^{3}}{n^{3}a_{0}^{3}}}{\frac {1}{\ell \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)(\ell +1)}}}$$

по соотношениям Крамерса-Пастернака и

$${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left[j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1)\right]}$$

математическое ожидание гамильтониана равно:

$${\displaystyle \left\langle {\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }\right\rangle ={\frac {E_{n}{}^{2}}{m_{e}c^{2}}}~n~{\frac {j(j+1)-\ell (\ell +1)-{\frac {3}{4}}}{\ell \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)(\ell +1)}}}$$

Таким образом, порядок величины спин-орбитальной связи следующий:

$${\displaystyle {\frac {Z^{4}}{n^{3}\left(j+{\frac {1}{2}}\right)}}10^{-5}{\text{ eV}}}$$

При приложении слабых внешних магнитных полей спин-орбитальная связь способствует эффекту Зеемана .

Дарвиновский термин

В нерелятивистском разложении уравнения Дирака есть один последний член . Его называют термином Дарвина, поскольку он был впервые выведен Чарльзом Гальтоном Дарвином и определяется следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{\text{Darwin}}&={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}{\left(\mathbf {r} \right)}\\\langle {\mathcal {H}}_{\text{Darwin}}\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)|\psi (0)|^{2}\\[3pt]\psi (0)&={\begin{cases}0&{\text{ for }}\ell >0\\{\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,2\left({\frac {Z}{na_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}&{\text{ for }}\ell =0\end{cases}}\\[2pt]{\mathcal {H}}_{\text{Darwin}}&={\frac {2n}{m_{e}c^{2}}}\,E_{n}^{2}\end{aligned}}}$$

Член Дарвина влияет только на s-орбитали. Это связано с тем, что волновая функция электрона исчезает в начале координат, следовательно, дельта-функция не оказывает никакого влияния. Например, это дает орбитали 2s ту же энергию, что и орбитали 2p, повышая состояние 2s на ${\displaystyle \ell >0}$9,057 × 10 ^-5  эВ .

Член Дарвина изменяет потенциальную энергию электрона. Его можно интерпретировать как размытие электростатического взаимодействия между электроном и ядром из-за zitterbewegung или быстрых квантовых колебаний электрона. Это можно продемонстрировать с помощью короткого расчета. ^[4]

Квантовые флуктуации позволяют создавать виртуальные электрон-позитронные пары, время жизни которых оценивается принципом неопределенности . Расстояние, на которое частицы могут переместиться за это время , равно комптоновской длине волны . Электроны атома взаимодействуют с этими парами. Это приводит к колеблющемуся положению электрона . Используя разложение Тейлора , можно оценить влияние на потенциал : ${\displaystyle \Delta t\approx \hbar /\Delta E\approx \hbar /mc^{2}}$ ${\displaystyle \xi \approx c\Delta t\approx \hbar /mc=\lambda _{c}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} +{\boldsymbol {\xi }}}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle U(\mathbf {r} +{\boldsymbol {\xi }})\approx U(\mathbf {r} )+\xi \cdot \nabla U(\mathbf {r} )+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\xi _{i}\xi _{j}\partial _{i}\partial _{j}U(\mathbf {r} )}$$

Усреднение по колебаниям ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$

$${\displaystyle {\overline {\xi }}=0,\quad {\overline {\xi _{i}\xi _{j}}}={\frac {1}{3}}{\overline {{\boldsymbol {\xi }}^{2}}}\delta _{ij},}$$

дает средний потенциал

$${\displaystyle {\overline {U\left(\mathbf {r} +{\boldsymbol {\xi }}\right)}}=U{\left(\mathbf {r} \right)}+{\frac {1}{6}}{\overline {{\boldsymbol {\xi }}^{2}}}\nabla ^{2}U\left(\mathbf {r} \right).}$$

Аппроксимируя , это дает возмущение потенциала из-за флуктуаций: ${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {\xi }}^{2}}}\approx \lambda _{c}^{2}}$

$${\displaystyle \delta U\approx {\frac {1}{6}}\lambda _{c}^{2}\nabla ^{2}U={\frac {\hbar ^{2}}{6m_{e}^{2}c^{2}}}\nabla ^{2}U}$$

Чтобы сравнить с выражением выше, подставьте кулоновский потенциал :

$${\displaystyle \nabla ^{2}U=-\nabla ^{2}{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} )\quad \Rightarrow \quad \delta U\approx {\frac {\hbar ^{2}}{6m_{e}^{2}c^{2}}}4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} )}$$

Это лишь немного другое.

Другим механизмом, который влияет только на s-состояние, является лэмбовский сдвиг , дальнейшая, меньшая поправка, возникающая в квантовой электродинамике , которую не следует путать с дарвиновским членом. Член Дарвина дает s-состоянию и p-состоянию одинаковую энергию, но лэмбовский сдвиг делает s-состояние более высоким по энергии, чем p-состояние.

Общий эффект

Полный гамильтониан имеет вид

$${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\text{Coulomb}}+{\mathcal {H}}_{\text{kinetic}}+{\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }+{\mathcal {H}}_{\text{Darwin}},}$$

взаимодействия ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Coulomb}}}$

Общий эффект, полученный суммированием трех компонентов, определяется следующим выражением: ^[5]

$${\displaystyle \Delta E={\frac {E_{n}(Z\alpha )^{2}}{n}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)\,,}$$

квантовое число полного углового моментастарой теории Бораквантовая механика ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j=1/2}$ ${\displaystyle \ell =0}$ ${\displaystyle j=\ell \pm 1/2}$

Энергетическая диаграмма атома водорода для n =2, скорректированная тонкой структурой и магнитным полем. В первом столбце показан нерелятивистский случай (только кинетическая энергия и кулоновский потенциал), во втором столбце добавлена ​​релятивистская поправка к кинетической энергии, третий столбец включает всю тонкую структуру, а четвертый добавляет эффект Зеемана ( магнитный зависимость от поля).

Точные релятивистские энергии

Релятивистские поправки (Дирака) к энергетическим уровням атома водорода из модели Бора. Поправка тонкой структуры предсказывает, что линия Лайман-альфа (излученная при переходе от n = 2 к n = 1) должна расщепиться на дублет.

Суммарный эффект также можно получить, используя уравнение Дирака. В этом случае электрон считается нерелятивистским. Точные энергии даны из ^[6]

$${\displaystyle E_{j\,n}=-m_{\text{e}}c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\right].}$$

Это выражение, которое содержит все члены более высокого порядка, которые были исключены в других расчетах, расширяется до первого порядка, чтобы дать поправки к энергии, полученные из теории возмущений. Однако это уравнение не содержит поправок сверхтонкой структуры , обусловленных взаимодействием со спином ядра. Другие поправки из квантовой теории поля, такие как лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный дипольный момент электрона, не включены.

Смотрите также

• Муфта углового момента
• Тонкая электронная структура

Рекомендации

1. А. А. Майкельсон ; Э. У. Морли (1887). «О методе превращения длины волны натриевого света в фактический практический стандарт длины». Американский научный журнал . 34 : 427.
2. А. А. Майкельсон ; Э. У. Морли (1887). «О методе превращения длины волны натриевого света в фактический практический стандарт длины». Философский журнал . 24 : 463.
3. А. Зоммерфельд (июль 1940 г.). «Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie». Naturwissenschaften (на немецком языке). 28 (27): 417–423. дои : 10.1007/BF01490583. S2CID  45670149.
4. Зелевинский, Владимир (2011), Квантовая физика, Том 1: От основ к симметрии и возмущениям , WILEY-VCH, с. 551, ISBN 978-3-527-40979-2
5. Берестецкий, В.Б.; Е.М. Лифшиц; Л. П. Питаевский (1982). Квантовая электродинамика . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-3371-0.
6. Зоммерфельд, Арнольд (1919). Атомбау и спектральная линия. Брауншвейг: Фридрих Видег и Зон. ISBN 3-87144-484-7.немецкий английский

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х.
• Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5.

Внешние ссылки

• Гиперфизика: тонкая структура
• Техасский университет: тонкая структура водорода