В математике существуют магмы , которые являются коммутативными , но не ассоциативными . Простой пример такой магмы можно получить из детской игры « камень, ножницы, бумага» . Такие магмы порождают неассоциативные алгебры .
Магма, которая одновременно коммутативна и ассоциативна, является коммутативной полугруппой .
Пример: камень, бумага, ножницы.
В игре «камень-ножницы-бумага» пусть , обозначающие жесты «камень», «бумага» и «ножницы» соответственно, и рассмотрим бинарную операцию , полученную из следующих правил игры: [1]
![{\displaystyle \cdot :M\times M\to M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Для всех :
![{\displaystyle x,y\in M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если и бьет в игре, то
![{\displaystyle x\neq y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Т.е. каждый идемпотентен .![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Так что, например:
«бумага побеждает камень»;
«ножницы галстук с ножницами».
В результате получается таблица Кэли : [1]
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}\cdot &r&p&s\\\hline r&r&p&r\\p&p&p&s\\s&r&s&s\end{array}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По определению магма коммутативна, но она также неассоциативна, [2], как показано:![{\displaystyle (M,\cdot)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle r \ cdot (p \ cdot s) = r \ cdot s = r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
но
![{\displaystyle (r\cdot p)\cdot s = p\cdot s = s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
т.е.
![{\ displaystyle r \ cdot (p \ cdot s) \ neq (r \ cdot p) \ cdot s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это простейшая некоммутативная магма, которая консервативна в том смысле, что результатом любой операции с магмой является одно из двух значений, заданных в качестве аргументов операции. [2]
Приложения
Среднее арифметическое и обобщенные средние числа или величин более высокой размерности, такие как средние Фреше , часто являются коммутативными, но неассоциативными. [3]
Коммутативная, но неассоциативная магма может использоваться для анализа генетической рекомбинации . [4]
Рекомендации
- ^ ab Атен, Шарлотта (2020), «Многопользовательский камень-ножницы-бумага», Algebra Universalis , 81 (3): Статья № 40, 31, arXiv : 1903.07252 , doi : 10.1007/s00012-020-00667-5, MR 4123817
- ^ аб Бодри, Мартин; Дубе, Дэнни; Дюбе, Максим; Латендресс, Марио; Тессон, Паскаль (2014), «Консервативные группоиды распознают только обычные языки», Information and Computation , 239 : 13–28, doi : 10.1016/j.ic.2014.08.005, MR 3281897
- ^ Гинесте, Седрик Э.; Симмонс, Эндрю; Колачик, Эрик Д. (2012), «Взвешенные средства Фреше как выпуклые комбинации в метрических пространствах: свойства и обобщенные медианные неравенства», «Statistics & Probability Letters» , 82 (10): 1859–1863, arXiv : 1204.2194 , doi : 10.1016/j .спл.2012.06.001, МР 2956628
- ^ Этерингтон, IMH (1941), «Неассоциативная алгебра и символика генетики», Труды Королевского общества Эдинбурга, Раздел B: Биология , 61 (1): 24–42, doi : 10.1017/s0080455x00011334