Единая норма

Функция в математическом анализе

Периметр квадрата — это множество точек в ℝ ² , где sup-норма равна фиксированной положительной константе. Например, точки (2, 0) , (2, 1) и (2, 2) лежат вдоль периметра квадрата и принадлежат множеству векторов, sup-норма которых равна 2.

В математическом анализе равномерная норма (илиsup norm ) присваиваетдействительнымиликомплекснымограниченнымфункциям ⁠⁠, ${\displaystyle f}$определенным намножестве ⁠⁠ , ${\displaystyle S}$неотрицательное число

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

Эту норму также называютсупремум норма,Чебышевская норма,норма бесконечности ,или, когдасупремумфактически является максимумом,max norm . Название «равномерная норма» происходит от того факта, что последовательность функций⁠⁠ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$сходится к⁠⁠ ${\displaystyle f}$в метрике,полученной из равномерной нормы, тогда и только тогда, когда ⁠⁠ ${\displaystyle f_{n}}$сходится к⁠⁠ ${\displaystyle f}$ равномерно.^[1]

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ — непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале или, в более общем смысле, на компактном множестве, то она ограничена, и супремум в приведенном выше определении достигается теоремой Вейерштрасса об экстремальном значении , поэтому мы можем заменить супремум максимумом. В этом случае норма также называетсямаксимальная норма . В частности, если⁠⁠ ${\displaystyle x}$— некоторый вектор, такой чтовконечномерномкоординатномпространстве, он принимает вид: ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

Это называется -нормой . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Определение

Равномерные нормы определяются, в общем случае, для ограниченных функций, имеющих значения в нормированном пространстве . Пусть будет множеством и пусть будет нормированным пространством . На множестве функций из в существует расширенная норма, определяемая как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].}$

Это в общем случае расширенная норма, поскольку функция может не быть ограниченной. Ограничение этой расширенной нормы ограниченными функциями (т. е. функциями с конечной выше расширенной нормой) дает (конечнозначную) норму, называемую равномерной нормой на . Обратите внимание, что определение равномерной нормы не опирается на какую-либо дополнительную структуру на множестве , хотя на практике часто является по крайней мере топологическим пространством . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Сходимость на в топологии, индуцированной равномерной расширенной нормой, является равномерной сходимостью для последовательностей, а также для сетей и фильтров на . ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Мы можем определить замкнутые множества и замыкания множеств относительно этой метрической топологии; замкнутые множества в равномерной норме иногда называются равномерно замкнутыми , а замыкания — равномерными замыканиями . Равномерное замыкание множества функций A — это пространство всех функций, которые могут быть аппроксимированы последовательностью равномерно сходящихся функций на Например, одно из переформулирований теоремы Стоуна–Вейерштрасса заключается в том, что множество всех непрерывных функций на является равномерным замыканием множества полиномов на ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Для комплексных непрерывных функций на компактном пространстве это превращает его в алгебру C* (ср. представление Гельфанда ).

Более слабые структуры, индуцирующие топологию равномерной сходимости

Единая метрика

Равномерная метрика между двумя ограниченными функциями из множества в метрическом пространстве определяется как ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

Равномерная метрика также называетсяМетрика Чебышева , в честьПафнутия Чебышева, который первым систематически ее изучил. В этом случаеограничена точно, есликонечна для некоторойпостоянной функции. Если мы допускаем неограниченные функции, эта формула не дает нормы или метрики в строгом смысле, хотя полученная так называемаярасширенная метрикавсе еще позволяет определить топологию на рассматриваемом функциональном пространстве; сходимость тогда все еще являетсяравномерной сходимостью. В частности, последовательностьравномерно сходитсяк функциитогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d(f,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,}$$

Если является нормированным пространством , то оно является метрическим пространством естественным образом. Расширенная метрика на , индуцированная равномерной расширенной нормой, совпадает с равномерной расширенной метрикой ${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}}$

на ${\displaystyle Y^{X}}$

Равномерность равномерной сходимости

Пусть будет множеством и пусть будет равномерным пространством . Говорят, что последовательность функций из в сходится равномерно к функции, если для каждого окружения существует натуральное число такое, что принадлежит всякий раз, когда и . Аналогично для сети. Это сходимость в топологии на . Фактически, множества ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}_{Y}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle (f_{n}(x),f(x))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle \{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}}$

где пробегает окружения из образует фундаментальную систему окружений однородности на , называемую однородностью равномерной сходимости на . Равномерная сходимость — это в точности сходимость при ее равномерной топологии. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Если — метрическое пространство , то оно по умолчанию снабжено метрической равномерностью. Метрическая равномерность на относительно равномерной расширенной метрики тогда является равномерностью равномерной сходимости на . ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Характеристики

Множество векторов, бесконечная норма которых является заданной константой, образует поверхность гиперкуба с длиной ребра  ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

Причина использования нижнего индекса « » заключается в том, что всякий раз, когда является непрерывным и для некоторого , то где , где является областью определения ; интеграл представляет собой сумму, если является дискретным множеством (см. p -норму ). ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$ ${\displaystyle p\in (0,\infty )}$ $${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$ $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Смотрите также

• L-infinity  – Пространство ограниченных последовательностей
• Равномерная непрерывность  – Равномерное ограничение изменения функций
• Равномерное пространство  – топологическое пространство с понятием равномерных свойств.
• Расстояние Чебышева  – Математическая метрика

Ссылки

1. Рудин, Уолтер (1964). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 151. ISBN 0-07-054235-X.