Большая и малая полуоси

Термин в геометрии; наибольший и наименьший полудиаметры эллипса.

Большая ( а ) и малая полуось ( б ) эллипса

В геометрии большая ось эллипса — это его наибольший диаметр : отрезок прямой , проходящий через центр и оба фокуса , с концами в двух наиболее удаленных друг от друга точках периметра . Большая полуось ( большая полуось ) — это наибольший полудиаметр или половина большой оси, и, таким образом, проходит от центра, через фокус и к периметру. Малая полуось ( малая полуось ) эллипса или гиперболы — это отрезок прямой, который находится под прямым углом к ​​большой полуоси и имеет один конец в центре конического сечения . Для особого случая окружности длины обеих полуосей равны радиусу окружности .

Длина большой полуоси a эллипса связана с длиной малой полуоси b через эксцентриситет e и прямую полуось следующим образом: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Большая полуось гиперболы , в зависимости от соглашения, равна плюс или минус половине расстояния между двумя ветвями. Таким образом, это расстояние от центра до любой из вершин гиперболы.

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остается неподвижным, а другой может перемещаться произвольно далеко в одном направлении, оставаясь неподвижным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, a быстрее, чем b . ${\displaystyle \ell }$

Большая и малая оси являются осями симметрии кривой: в эллипсе малая ось — более короткая, в гиперболе — та, которая не пересекает гиперболу.

Эллипс

Уравнение эллипса имеет вид

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

где ( h ,  k ) — центр эллипса в декартовых координатах , в которых произвольная точка задается как ( x ,  y ).

Большая полуось — это среднее значение максимального и минимального расстояний эллипса от фокуса, то есть расстояний от фокуса до конечных точек большой оси. ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ ${\displaystyle r_{\text{min}}}$

Эксцентриситет e относительно большой полуоси a и малой полуоси b : e ² + ( b/a )² = 1

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

В астрономии эти крайние точки называются апсидами . ^[1]

Малая полуось эллипса представляет собой среднее геометрическое этих расстояний:

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

Эксцентриситет эллипса определяется как

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

так

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах , с одним фокусом в начале координат, а другим — в направлении: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

Среднее значение и для и равно ${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$ ${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

В эллипсе большая полуось представляет собой среднее геометрическое расстояние от центра до любого из фокусов и расстояние от центра до любой из директрис.

Малая полуось эллипса проходит от центра эллипса (точка на полпути между фокусами и на линии, проходящей между ними ) к краю эллипса. Малая полуось составляет половину малой оси. Малая ось — это самый длинный отрезок прямой, перпендикулярный большой оси, который соединяет две точки на краю эллипса.

Малая полуось b связана с большой полуосью a через эксцентриситет e и полушироту прямой кишки следующим образом: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остается неподвижным, а другой может перемещаться произвольно далеко в одном направлении, оставаясь неподвижным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, a быстрее, чем b . ${\displaystyle \ell }$

Длину малой полуоси можно также найти, используя следующую формулу: ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

где f — расстояние между фокусами, p и q — расстояния от каждого фокуса до любой точки эллипса.

Гипербола

Большая полуось гиперболы , в зависимости от соглашения, равна плюс или минус половине расстояния между двумя ветвями; если это a в направлении x, то уравнение имеет вид: ^[3]

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

С точки зрения полуширокой прямой кишки и эксцентриситета мы имеем

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

Поперечная ось гиперболы совпадает с большой осью. ^[4]

В гиперболе сопряженная ось или малая ось длиной , соответствующая малой оси эллипса, может быть проведена перпендикулярно поперечной оси или большой оси, последняя соединяет две вершины (точки поворота) гиперболы, при этом две оси пересекаются в центре гиперболы. Концы малой оси лежат на высоте асимптот над/под вершинами гиперболы. Любая половина малой оси называется малой полуосью, длиной b . Обозначая длину большой полуоси (расстояние от центра до вершины) как a , длины малой и большой полуосей появляются в уравнении гиперболы относительно этих осей следующим образом: ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Малая полуось также является расстоянием от одного из фокусов гиперболы до асимптоты. Часто называемый параметром удара , он важен в физике и астрономии и измеряет расстояние, на которое частица пролетит мимо фокуса, если ее путь не будет возмущен телом в фокусе. ^{[ необходима цитата ]}

Малая полуось и большая полуось связаны через эксцентриситет следующим образом:

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[5]

Обратите внимание, что в гиперболе b может быть больше, чем a . ^[6]

Астрономия

Период обращения

График в двойном логарифмическом масштабе периода T в зависимости от большой полуоси a (среднее значение афелия и перигелия) некоторых орбит Солнечной системы (крестики обозначают значения Кеплера), показывающий, что a ³  /  T ^{‍ 2} является постоянной величиной (зеленая линия)

В астродинамике орбитальный период T малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен: ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

где:

а — длина большой полуоси орбиты,

${\displaystyle \mu }$— стандартный гравитационный параметр центрального тела.

Обратите внимание, что для всех эллипсов с заданной большой полуосью орбитальный период одинаков, независимо от их эксцентриситета.

Удельный момент импульса h малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

где:

а и такие, как определено выше, ${\displaystyle \mu }$

е — эксцентриситет орбиты.

В астрономии большая полуось является одним из важнейших элементов орбиты , наряду с ее орбитальным периодом . Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально выведенным эмпирическим путем ): ^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

где T — период, a — большая полуось. Эта форма оказывается упрощением общей формы для задачи двух тел , определенной Ньютоном : ^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

где G — гравитационная постоянная , M — масса центрального тела, а m — масса вращающегося тела. Обычно масса центрального тела настолько больше массы вращающегося тела, что m можно игнорировать. При таком предположении и использовании типичных астрономических единиц получается более простая форма, которую открыл Кеплер.

Траектория тела, вращающегося вокруг барицентра , и его траектория относительно его первичного тела являются эллипсами. ^[1] Большая полуось иногда используется в астрономии как расстояние между первичным и вторичным телом, когда отношение масс первичного тела к вторичному значительно велико ( ); таким образом, орбитальные параметры планет даются в гелиоцентрических терминах. Разницу между первичноцентрическими и «абсолютными» орбитами можно лучше всего проиллюстрировать, рассмотрев систему Земля–Луна. Отношение масс в этом случае равно ${\displaystyle M\gg m}$81,300 59 . Характерное расстояние Земля-Луна, большая полуось геоцентрической лунной орбиты, составляет 384 400 км. (Учитывая эксцентриситет лунной орбиты e  = 0,0549, ее малая полуось составляет 383 800 км. Таким образом, орбита Луны почти круговая.) Барицентрическая лунная орбита, с другой стороны, имеет большую полуось 379 730 км, а земная контрорбита занимает разницу, 4 670 км. Средняя барицентрическая орбитальная скорость Луны составляет 1,010 км/с, тогда как у Земли она составляет 0,012 км/с. Сумма этих скоростей дает среднюю геоцентрическую лунную орбитальную скорость 1,022 км/с; то же значение можно получить, рассматривая только значение геоцентрической большой полуоси. ^{[ необходима ссылка ]}

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось — это «среднее» расстояние между первичным фокусом эллипса и вращающимся телом. Это не совсем точно, поскольку зависит от того, по чему берется среднее. Усредненное по времени и углу расстояние вращающегося тела может отличаться на 50–100 % от большой полуоси орбиты в зависимости от эксцентриситета. ^[7]

• Усреднение расстояния по эксцентрической аномалии действительно дает большую полуось.
• Усреднение по истинной аномалии (истинный орбитальный угол, измеренный в фокусе) дает малую полуось . ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• усреднение по средней аномалии (доля орбитального периода, прошедшая с момента перицентра, выраженная в виде угла) дает среднее по времени . ${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

Усредненное по времени значение обратной величины радиуса равно . ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Энергия; расчет большой полуоси из векторов состояния

В астродинамике большую полуось a можно рассчитать из векторов орбитального состояния :

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

для эллиптической орбиты и, в зависимости от соглашения, то же самое или

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

для гиперболической траектории и

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

( удельная орбитальная энергия ) и

${\displaystyle \mu =GM,}$

( стандартный гравитационный параметр ), где:

v — орбитальная скорость от вектора скорости орбитального объекта,

r — декартов вектор положения орбитального объекта в координатах системы отсчета , относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрической экваториальной для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрической эклиптической для орбиты вокруг Солнца),

G — гравитационная постоянная ,

M — масса гравитирующего тела, а

${\displaystyle \varepsilon }$— удельная энергия вращающегося тела.

Обратите внимание, что для заданного количества общей массы удельная энергия и большая полуось всегда одинаковы, независимо от эксцентриситета или соотношения масс. И наоборот, для заданной общей массы и большой полуоси общая удельная орбитальная энергия всегда одинакова. Это утверждение всегда будет верным при любых заданных условиях. ^{[ необходима цитата ]}

Большая и малая полуоси орбит планет

Орбиты планет всегда приводятся в качестве основных примеров эллипсов ( первый закон Кеплера ). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круглые по внешнему виду. Эта разница (или отношение) основана на эксцентриситете и вычисляется как , что для типичных эксцентриситетов планет дает очень маленькие результаты. ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

Причина предположения о выдающихся эллиптических орбитах, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или отношение) также основана на эксцентриситете и вычисляется как . Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко визуализируется. ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

1 а.е. (астрономическая единица) равна 149,6 млн км.

Ссылки

1. Лиссауэр, Джек Дж.; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 24–31. ISBN 9781108411981.
2. «Большая / малая ось эллипса», Math Open Reference, 12 мая 2013 г.
3. Weisstein, Eric W. "Эллипс". mathworld.wolfram.com . Получено 20 августа 2024 г.
4. "7.1 Альтернативная характеристика". www.geom.uiuc.edu . Архивировано из оригинала 2018-10-24 . Получено 2007-09-06 .
5. «Геометрия орбит: эллипсы, параболы и гиперболы». www.bogan.ca .
6. "7.1 Альтернативная характеристика". Архивировано из оригинала 2018-10-24 . Получено 2007-09-06 .
7. Уильямс, Даррен М. (ноябрь 2003 г.). «Среднее расстояние между звездой и планетой на эксцентричной орбите». American Journal of Physics . 71 (11): 1198–1200. Bibcode :2003AmJPh..71.1198W. doi :10.1119/1.1578073.

Внешние ссылки

• Большая и малая полуоси эллипса С интерактивной анимацией