В математике , особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория представлений , точным представлением ρ группы G в векторном пространстве V является линейное представление , в котором различные элементы g группы G представлены различными линейными отображениями ρ ( g ) . На более абстрактном языке это означает, что гомоморфизм группы инъективен (или взаимно однозначен ).
Хотя представления G над полем K де-факто совпадают с K [ G ] -модулями (где K [ G ] обозначает групповую алгебру группы G ), точное представление G не обязательно является точным модулем для группы алгебра. В действительности каждый точный K [ G ] -модуль является точным представлением G , но обратное неверно. Рассмотрим, например, естественное представление симметрической группы Sn в n измерениях с помощью матриц перестановок , которое, безусловно, является точным. Здесь порядок группы равен n ! в то время как матрицы размера n × n образуют векторное пространство размерности n 2 . Как только n становится хотя бы 4, подсчет размерностей означает, что между матрицами перестановок должна возникнуть некоторая линейная зависимость (поскольку 24 > 16 ); это соотношение означает, что модуль групповой алгебры не является точным.
Представление V конечной группы G над алгебраически замкнутым полем K нулевой характеристики является точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление группы G встречается как подпредставление Sn V ( n -я симметрическая степень представление V ) для достаточно большого n . Кроме того, V является точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление группы G встречается как подпредставление группы G.
( n -я тензорная степень представления V ) для достаточно большого n . [1]
