мартингейл Вальда

Экспоненциальный мартингал, связанный с суммой независимых случайных величин

В теории вероятностей мартингал Вальда — это название, которое иногда дается мартингалу , используемому для изучения сумм случайных величин, распределенных по независимому распределению . Он назван в честь математика Абрахама Вальда , который использовал эти идеи в серии влиятельных публикаций. ^{[1] [2] [3]}

Мартингал Вальда можно рассматривать как дискретный во времени эквивалент экспоненциала Долеана-Дейда .

Официальное заявление

Пусть будет последовательностью случайных величин iid, функция генерации моментов которых конечна для некоторого , и пусть , причем . Тогда процесс, определяемый формулой ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle M:\theta \mapsto \mathbb {E} (e^{\theta X_{1}})}$ ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ ${\displaystyle S_{0}=0}$ ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 0}}$

${\displaystyle W_{n}={\frac {e^{\theta S_{n}}}{M(\theta )^{n}}}}$

— это мартингал, известный как мартингал Вальда . ^[4] В частности, для всех . ${\displaystyle \mathbb {E} (W_{n})=1}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Смотрите также

• Мартингейл
• геометрическое броуновское движение
• Экспоненциальный Долеан-Дейд
• Уравнение Вальда

Примечания

1. Вальд, Абрахам (1944). «О кумулятивных суммах случайных величин». Ann. Math. Stat . 15 (3): 283–296. doi : 10.1214/aoms/1177731235 .
2. Вальд, Абрахам (1945). «Последовательные проверки статистических гипотез». Ann. Math. Stat . 16 (2): 117–186. doi : 10.1214/aoms/1177731118 .
3. Вальд, Абрахам (1945). Последовательный анализ (1-е изд.). John Wiley and Sons.
4. Гамарник, Дэвид (2013). «Расширенные стохастические процессы, лекция 10». MIT OpenCourseWare . Получено 24 июня 2023 г. .