Инвариантная масса

Независимая от движения масса, равна общей массе в состоянии покоя.

Инвариантная масса , масса покоя , собственная масса , собственная масса или, в случае связанных систем, просто масса — это часть общей массы объекта или системы объектов , которая не зависит от общего движения системы. Точнее, это характеристика полной энергии и импульса системы , одинаковая во всех системах отсчета , связанных преобразованиями Лоренца . ^[1] Если для системы существует центр импульса системы отсчета , то инвариантная масса системы равна ее полной массе в этой «системе покоя». В других системах отсчета, где импульс системы отличен от нуля, полная масса (она же релятивистская масса ) системы больше инвариантной массы, но инвариантная масса остается неизменной.

Из-за эквивалентности массы и энергии остаточная энергия системы представляет собой просто инвариантную массу, умноженную на квадрат скорости света . Точно так же полная энергия системы равна ее полной (релятивистской) массе, умноженной на квадрат скорости света.

Системы, четырехимпульс которых представляет собой нулевой вектор (например, один фотон или множество фотонов, движущихся в одном и том же направлении), имеют нулевую инвариантную массу и называются безмассовыми . Физический объект или частица, движущаяся быстрее скорости света, будет иметь космические четыре импульса (такие как гипотетический тахион ), а они, похоже, не существуют. Любой времениподобный четырехимпульс обладает системой отсчета, в которой импульс (3-мерный) равен нулю, что является центром системы импульса. В этом случае инвариантная масса положительна и называется массой покоя.

Если объекты внутри системы находятся в относительном движении, то инвариантная масса всей системы будет отличаться от суммы масс покоя объектов. Это также равно полной энергии системы, деленной на c ² . См. эквивалентность массы и энергии для обсуждения определений массы. Поскольку масса систем должна измеряться с помощью весов или весов массы в системе с центром импульса, в которой вся система имеет нулевой импульс, такие весы всегда измеряют инвариантную массу системы. Например, весы будут измерять кинетическую энергию молекул в баллоне с газом, которая будет частью инвариантной массы баллона и, следовательно, также его массы покоя. То же самое верно и для безмассовых частиц в такой системе, которые добавляют системам инвариантную массу, а также массу покоя в соответствии с их энергией.

Для изолированной массивной системы центр масс системы движется прямолинейно с постоянной досветовой скоростью (со скоростью, зависящей от системы отсчета, используемой для ее просмотра). Таким образом, наблюдателя всегда можно разместить так, чтобы он двигался вместе с ним. В этой системе отсчета, которая является системой с центром импульса, общий импульс равен нулю, и систему в целом можно считать находящейся «в состоянии покоя», если это связанная система (например, баллон с газом). В этой системе отсчета, которая существует при этих предположениях, инвариантная масса системы равна полной энергии системы (в системе с нулевым импульсом), деленной на c ² . Эта полная энергия в центре системы импульса представляет собой минимальную энергию, которую можно наблюдать за системой, если ее видят различные наблюдатели из разных инерциальных систем отсчета.

Обратите внимание, что по причинам, указанным выше, такая система покоя не существует для одиночных фотонов или лучей света , движущихся в одном направлении. Однако когда два или более фотонов движутся в разных направлениях, существует система центра масс (или «система покоя», если система связана). Таким образом, масса системы из нескольких фотонов, движущихся в разных направлениях, положительна, а это означает, что инвариантная масса существует для этой системы, даже если она не существует для каждого фотона.

Возможные 4-импульсы частиц. Один имеет нулевую инвариантную массу, другой массивен.

Сумма масс покоя

Инвариантная масса системы включает массу любой кинетической энергии составляющих системы, которая остается в центре системы импульсов, поэтому инвариантная масса системы может быть больше суммы инвариантных масс (масс покоя) ее отдельных составляющих. . Например, масса покоя и инвариантная масса равны нулю для отдельных фотонов, хотя они могут добавлять массу к инвариантной массе систем. По этой причине инвариантная масса, как правило, не является аддитивной величиной (хотя есть несколько редких ситуаций, когда она может быть такой, как в случае, когда массивные частицы в системе без потенциальной или кинетической энергии могут быть добавлены к общей массе).

Рассмотрим простой случай системы двух тел, когда объект A движется к другому объекту B, который первоначально находится в состоянии покоя (в любой конкретной системе отсчета). Величина инвариантной массы этой системы двух тел (см. определение ниже) отличается от суммы масс покоя (т.е. их соответствующей массы в стационарном состоянии). Даже если мы рассмотрим ту же систему из системы центра импульса, где чистый импульс равен нулю, величина инвариантной массы системы не равна сумме масс покоя частиц внутри нее.

Кинетическая энергия таких частиц и потенциальная энергия силовых полей увеличивают общую энергию выше суммы масс покоя частиц, и оба члена вносят вклад в инвариантную массу системы. Сумма кинетических энергий частиц, рассчитанная наблюдателем, наименьшая в центре системы импульса (опять же, называемой «системой покоя», если система связана).

Они также часто взаимодействуют через одну или несколько фундаментальных сил , что придает им потенциальную энергию взаимодействия, возможно, отрицательную .

Как определено в физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц инвариантная масса m ₀ равна массе в системе покоя частицы и может быть рассчитана по энергии частицы  E и ее импульсу  p , измеренному в любой системе отсчета, с помощью соотношения энергия-импульс :

$${\displaystyle m_{0}^{2}c^{2}=\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}}$$

натуральных единицахc = 1

$${\displaystyle m_{0}^{2}=E^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}.}$$

Эта инвариантная масса одинакова во всех системах отсчета (см. также специальную теорию относительности ). Это уравнение говорит, что инвариантная масса — это псевдоевклидова длина четырехвектора ( E , p  ) , рассчитанная с использованием релятивистской версии теоремы Пифагора, которая имеет другой знак для измерений пространства и времени. Эта длина сохраняется при любом повышении Лоренца или вращении в четырех измерениях, точно так же, как обычная длина вектора сохраняется при вращении. В квантовой теории инвариантная масса является параметром релятивистского уравнения Дирака для элементарной частицы. Квантовый оператор Дирака соответствует вектору четырехимпульса частицы.

Поскольку инвариантная масса определяется из величин, сохраняющихся при распаде, инвариантная масса, рассчитанная с использованием энергии и импульса продуктов распада одиночной частицы, равна массе распавшейся частицы. Массу системы частиц можно рассчитать по общей формуле:

$${\displaystyle \left(Wc^{2}\right)^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} c\right\|^{2},}$$

• ${\displaystyle W}$– инвариантная масса системы частиц, равная массе распадающейся частицы.
• ${\textstyle \sum E}$представляет собой сумму энергий частиц
• ${\textstyle \sum \mathbf {p} }$- векторная сумма импульсов частиц (включает как величину, так и направление импульсов)

Термин «инвариантная масса» также используется в экспериментах по неупругому рассеянию. Учитывая неупругую реакцию с общей входящей энергией, превышающей полную обнаруженную энергию (т.е. не все исходящие частицы обнаруживаются в эксперименте), инвариантная масса (также известная как «недостающая масса») W реакции определяется следующим образом (в натуральные единицы):

$${\displaystyle W^{2}=\left(\sum E_{\text{in}}-\sum E_{\text{out}}\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} _{\text{in}}-\sum \mathbf {p} _{\text{out}}\right\|^{2}.}$$

Если есть одна доминирующая частица, которая не была обнаружена в ходе эксперимента, на графике инвариантной массы будет виден резкий пик массы недостающей частицы.

В тех случаях, когда импульс в одном направлении измерить невозможно (т. е. в случае нейтрино, о наличии которого можно судить только по недостающей энергии ) , используется поперечная масса .

Пример: столкновение двух частиц

При двухчастичном столкновении (или двухчастичном распаде) квадрат инвариантной массы (в натуральных единицах ) равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\right\|^{2}\\&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\left(E_{1}E_{2}-\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}\right).\end{aligned}}}$$

Безмассовые частицы

Инвариантная масса системы, состоящей из двух безмассовых частиц, импульсы которых образуют угол, имеет удобное выражение: ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|{\textbf {p}}_{1}+{\textbf {p}}_{2}\right\|^{2}\\&=[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}\sin \theta ,p_{2}\cos \theta )]^{2}\\&=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}\sin ^{2}\theta -(p_{1}+p_{2}\cos \theta )^{2}\\&=2p_{1}p_{2}(1-\cos \theta ).\end{aligned}}}$$

Коллайдерные эксперименты

В экспериментах на коллайдере частиц угловое положение частицы часто определяют через азимутальный угол  и псевдобыстроту . Дополнительно обычно измеряется поперечный импульс . В этом случае, если частицы безмассовые или высокорелятивистские ( ), тогда инвариантная масса становится: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle p_{T}}$ ${\displaystyle E\gg m}$

$${\displaystyle M^{2}=2p_{T1}p_{T2}(\cosh(\eta _{1}-\eta _{2})-\cos(\phi _{1}-\phi _{2})).}$$

Энергия покоя

Энергия покоя (также называемая энергией массы покоя ) — это энергия, связанная с инвариантной массой частицы. ^{[2] [3]}

Энергия покоя частицы определяется как ${\displaystyle E_{0}}$

$${\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2},}$$

света в вакууме^{[2] [3] [4]}энергии . ^[5] ${\displaystyle c}$

Понятие энергии покоя вытекает из специальной теории относительности , которая приводит к знаменитому выводу Эйнштейна об эквивалентности энергии и массы. См. Специальную теорию относительности § Релятивистская динамика и инвариантность .

Смотрите также

• Масса в специальной теории относительности
• Инвариант (физика)
• Поперечная масса

Рекомендации

• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория поля: 4-е переработанное английское издание: Курс теоретической физики Том. 2 . Баттерворт Хайнеманн. ISBN 0-7506-2768-9.
• Хальцен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-88741-2.

Цитаты

1. Лоуренс С. Лернер. Физика для ученых и инженеров, том 2, стр. 1073. 1997.
2. Nave, CR "Релятивистская энергия". Гиперфизика . Государственный университет Джорджии . Проверено 28 августа 2023 г.
3. «13.6 Релятивистская энергия или E = mc^2».
4. Филип Л. Реу (март 2007 г.). Разработка доплеровского электронного измерителя скорости - теория (PDF) (Отчет). Сандианские национальные лаборатории. ПЕСОК2006-6063. Архивировано из оригинала (PDF) 23 июня 2015 г.
5. Моделл, Майкл; Рид, Роберт К. (1974). Термодинамика и ее приложения . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN 0-13-914861-2.